1、第九章壓桿穩(wěn)定,2020年7月4日星期六,桁架中的壓桿,高壓輸電線路保持相間距離的受壓構(gòu)件,腳手架中的壓桿,硬氣功頂槍,91壓桿穩(wěn)定性的概念,構(gòu)件的承載能力：,工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。,穩(wěn)定性,一.問(wèn)題的提出,1881-1897年間，世界上曾有24座較大的金屬桁架結(jié)構(gòu)的橋梁發(fā)生了整體破壞,分析其破壞的原因，不是由于強(qiáng)度不足造成的，而是由于部分受壓桿件因?yàn)檩S向壓力超過(guò)一定的限度而使其直線平衡形式變?yōu)椴环€(wěn)定引起的，也就是失穩(wěn)造成的,1907年,加拿大長(zhǎng)達(dá)548米的魁北克大橋在施工時(shí)突然倒塌,是由于兩根受壓桿失穩(wěn)引起的,19世紀(jì)末，加拿大人準(zhǔn)備在圣勞倫斯河上建造

2、一座大橋，選定橋址后卻發(fā)現(xiàn)橋址兩岸恰好是印第安人的墳?zāi)?，一?6座。為了建橋，加拿大人遷走了這些墳?zāi)梗〉诎踩藙t滿懷怨憤，他們公開(kāi)詛咒這座橋要斷三次！1903年，魁北克鐵路橋梁公司請(qǐng)了當(dāng)時(shí)最有名的橋梁建筑師美國(guó)的特奧多羅庫(kù)帕來(lái)設(shè)計(jì)建造。該橋采用了比較新穎的懸臂構(gòu)造，這樣的結(jié)構(gòu)非常流行,庫(kù)帕曾稱(chēng)他的設(shè)計(jì)是“最佳、最省的”。庫(kù)帕自我陶醉于他的設(shè)計(jì)，而忘乎所以地把大橋的長(zhǎng)度由原來(lái)的500米加到600米，以成為世界上最長(zhǎng)的橋。但魁北克大橋卻存在設(shè)計(jì)問(wèn)題，自重過(guò)大而橋身無(wú)法承擔(dān)。在接近完工時(shí)，悲劇發(fā)生了。8月29日，魁北克大橋的南懸臂和一些中央鋼結(jié)構(gòu)像冰柱融化一樣坍塌并掉進(jìn)了圣勞倫斯河中，發(fā)生事故時(shí)橋

3、上一共有86個(gè)工人，死了75個(gè)。大橋第一次倒塌后，加拿大人不信邪，經(jīng)過(guò)事故調(diào)查，另請(qǐng)高明，繼續(xù)建造魁北克大橋，這次橋的規(guī)模擴(kuò)大了?？墒牵?916年9月11日，在吊裝預(yù)制的橋梁中央段時(shí)，大橋再次倒塌，這次事故中死了11人。由于這次事故屬于施工事故，所以原設(shè)計(jì)沒(méi)有變更。后來(lái)，新的橋梁中央段終于被成功地吊裝到了兩邊的懸臂上。1919年8月，耗時(shí)近20年的魁北克大橋終于完工通車(chē)，這座橋是當(dāng)時(shí)全世界最長(zhǎng)的懸臂橋，主跨度為549米。至今，魁北克大橋已經(jīng)先后斷了兩次，一共死了86人，正好和遷走的印第安人的墳?zāi)箶?shù)相等，人們都感嘆印第安人的詛咒竟然如此靈驗(yàn)！印第安人詛咒的三次斷橋已經(jīng)發(fā)生了兩次，那么，下一次會(huì)

4、在什么時(shí)候呢？19661970年，在魁北克大橋的旁邊，又造了一座新的斜拉橋，一開(kāi)始稱(chēng)“新魁北克大橋”，后改名為Pierre-LaporteBridge(皮埃爾-拉波特,可能是忌諱“魁北克大橋”這幾個(gè)字不吉利），這座橋主跨度為667.5米，超過(guò)了魁北克大橋?，F(xiàn)在，主要的交通都由這座新橋承擔(dān)，老魁北克大橋有了喘息的機(jī)會(huì)，大家也大可不必心驚膽戰(zhàn)地過(guò)橋。,魁北克大橋第一次斷橋（1907年）,魁北克大橋第二次斷橋（1916年）,現(xiàn)在的魁北克大橋,多種形式的平衡都存在穩(wěn)定的問(wèn)題,失穩(wěn)現(xiàn)象在受壓和受扭的薄壁結(jié)構(gòu)中也見(jiàn)過(guò)。,1.穩(wěn)定平衡,二、三種平衡形式,2.不穩(wěn)定平衡,3.隨遇平衡,FFCr,F=FCr,F

5、FCr,對(duì)于理想壓桿（軸線筆直、桿的材料均勻，荷載的作用線與軸線重合），它的平衡也有與上類(lèi)似的三種形式：,微彎平衡,穩(wěn)定的平衡,不穩(wěn)定的平衡,三.壓桿失穩(wěn)與臨界壓力,(1)保持平衡。我們說(shuō)，桿件在F的作用下處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，此時(shí)的平衡具有抗干擾性.在桿端加F小于某個(gè)臨界值Fcr,鋼條能保持直線位置平衡狀態(tài)。加干擾：用手指橫向推動(dòng)桿端，這時(shí)鋼條彎了，但手指一離開(kāi)，鋼條就來(lái)回?cái)[動(dòng)，最后回到原來(lái)的直線位置。,(2)當(dāng)F等于某個(gè)臨界值Fcr時(shí)，若沒(méi)有干擾，桿件可保持直線平衡狀態(tài)，只要一加干擾，桿件將彎曲，干擾去掉后，桿件保持在微彎狀態(tài)下的平衡，不再回到原來(lái)的直線平衡形式，我們說(shuō)桿原來(lái)的直線平衡狀態(tài)是

6、不穩(wěn)定的。從上面的分析，我們知道：,F=Fcr壓桿失穩(wěn),所謂穩(wěn)定性，指的是構(gòu)件保持其原有的平衡形式的能力，是指平衡的穩(wěn)定性。,實(shí)際上，這種橫向干擾是普遍存在的，象載荷往往存在偏心，風(fēng)力的存在，材料不均勻，或者桿件存在初曲率等等，所以對(duì)壓桿穩(wěn)定性的研究具有很實(shí)際的意義。工程實(shí)際中的壓桿不允許失穩(wěn)。從上面的分析，我們知道，研究壓桿穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定：,Fcr臨界壓力臨界力,失穩(wěn):構(gòu)件不能維持原有直線形狀的平衡狀態(tài)而突然變彎,這一現(xiàn)象稱(chēng)喪失穩(wěn)定,又叫失穩(wěn)。,92細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式,1、兩端鉸支壓桿的臨界力:,假定壓力已達(dá)到臨界值Fcr，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖，從撓曲線入手，求臨界力Fcr

7、。,彎矩：,撓曲線近似微分方程：,二階常系數(shù)線性微分方程,微分方程的通解：,確定積分常數(shù)：,臨界力Fcr是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1.,2、此公式的應(yīng)用條件：,1.理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻）；,2.線彈性小變形范圍內(nèi)；,3.兩端為球鉸支座。,兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式,1.不考慮桿的軸向變形；不考慮剪切變形的影響。,注:,A為壓桿中點(diǎn)撓度。,問(wèn)題：壓桿為空間實(shí)體，在軸向力作用下如失穩(wěn)，它朝哪個(gè)方向彎？,例如矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？（繞哪個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)）,臨界壓力公式中是對(duì)哪根軸的I？,Fcr維持微彎平衡狀態(tài)最小的壓力,各方向約束情況相同時(shí)：,IImin最

8、小形心主慣性軸,各方向約束情況不同時(shí)：,使Fcr最小的方向?yàn)閷?shí)際彎曲方向，I取撓曲時(shí)橫截面對(duì)其中性軸的慣性矩。,朝哪個(gè)方向彎?,例91：求一端固定，一端自由細(xì)長(zhǎng)桿的臨界壓力。,由平衡條件,M(x)=F(w),代入撓曲線近似微分方程,EIw=M(x)=F(w),9-3不同桿端約束下，細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式壓桿的長(zhǎng)度因數(shù),EIw+Fw=F,w+k2w=k2,通解為w=Asinkx+Bcoskx+,邊界條件:,w(0)=Asink0+Bcosk0+=0,B+=0B=,w(0)=kAcos(k0)kBsin(k0)=0,kA=0,w(x)=kAcoskxkBsinkx,A=0,w(x)=(1cosk

9、x),w(l)=(1coskl)=,n=1，3，5,n=1，3，5，,w(l)=0,取最小值n=1，即得壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式為：,(0 xl),半個(gè)正弦波,個(gè)正弦波,MA=MB=0,MA=MA=0,相當(dāng)長(zhǎng)為2l的兩端簡(jiǎn)支桿,對(duì)比：,圖形比擬：失穩(wěn)時(shí)撓曲線上拐點(diǎn)處的彎矩為0，故可設(shè)想此處有一鉸，而將壓桿在撓曲線上兩個(gè)拐點(diǎn)間的一段看成為兩端鉸支的桿，利用兩端鉸支的臨界壓力公式，就可得到原支承條件下的臨界壓力公式。兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度l稱(chēng)為原壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度，即相當(dāng)l這么長(zhǎng)的兩端鉸支桿。,一端固定，一端鉸支,兩端固定,不同約束情況下，細(xì)長(zhǎng)桿的臨界壓力歐拉公式可統(tǒng)一寫(xiě)成：,：長(zhǎng)度系數(shù)l：相當(dāng)長(zhǎng)度,2,解：變

10、形如圖，其撓曲線近似微分方程為：,邊界條件為:,例92：試由撓曲線近似微分方程，導(dǎo)出下述細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式。,為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即取：,所以，臨界力為：,=0.5,壓桿的臨界力,例93:求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。,=1.0，,解：繞y軸，兩端鉸支：,=0.7，,繞z軸，左端固定，右端鉸支：,x,例9-4:求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。,解：圖(a),圖(b),作業(yè):思考題9-1,2,4習(xí)題9-49-6,94歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖,一、基本概念,1.臨界應(yīng)力：壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力。,3.柔度：,2.細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界應(yīng)力：,4.大柔度桿的分界：,S時(shí)：,二

11、、中小柔度壓桿的臨界應(yīng)力計(jì)算,1.直線型經(jīng)驗(yàn)公式,PS時(shí)（中柔度桿）：,式中a、b是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。,三、壓桿的臨界應(yīng)力總圖,1）0s稱(chēng)為小柔度桿,cr=s,2）sp稱(chēng)為中柔度桿,cr=ab,3）稱(chēng)為大柔度桿，,曲線A、B、C、D稱(chēng)為臨界應(yīng)力總圖，越大，cr越小，F(xiàn)cr=crA越小，越容易失穩(wěn)。,壓桿將發(fā)生彈性屈曲,壓桿發(fā)生非彈性屈曲,壓桿不會(huì)發(fā)生屈曲,但將會(huì)發(fā)生屈服.,例9-5:截面為120mm200mm的矩形木柱，長(zhǎng)L=7m，材料的彈性模量E=10GPa，p=8MPa。其支承情況是：在屏幕平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)柱的兩端可視為固定端(圖a)；若在垂直于屏幕平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，柱的兩端可視為鉸支端(圖b

12、)，試求該木柱的臨界力。,解：由于該柱在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的支承條件不相同，因此，首先必須判斷，如果木柱失穩(wěn)，朝哪個(gè)方向彎？從臨界應(yīng)力總圖，我們知道，越大，越容易失穩(wěn)。,兩端固定,y=0.5,在屏幕平面繞y軸失穩(wěn)時(shí),在垂直于屏幕平面內(nèi)繞z軸失穩(wěn)時(shí),兩端鉸支,z=1,zy,如果木柱失穩(wěn)，將在垂直于屏幕平面內(nèi)繞z軸失穩(wěn)。,而zp應(yīng)采用歐拉公式計(jì)算,例9-6:圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件不相同。試：1.分析哪一根桿的臨界荷載較大？2.計(jì)算d160mm，E206GPa時(shí)，二桿的臨界荷載。,1.計(jì)算柔度判斷兩桿的臨界荷載,兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿

13、的臨界荷載。,解:,2.計(jì)算各桿的臨界荷載,例9-7:Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示（a）為正視圖（b）為俯視圖），在AB兩處為銷(xiāo)釘連接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。,解:正視圖平面彎曲截面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)；俯視圖平面彎曲截面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,正視圖：,俯視圖：,練習(xí)1:A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷(xiāo)釘支撐情況如圖所示，b40mm，h75mm，L2100mm，L12000mm，E206GPa，試求壓桿的臨界應(yīng)力。,補(bǔ)充：拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式,我國(guó)建筑業(yè)常用：,Ps時(shí)：,例9-8:一壓桿長(zhǎng)L=1.5m，由

14、兩根56568等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力P=150kN，角鋼為A3鋼，試用歐拉公式或拋物線公式求臨界壓力和安全系數(shù)。,解：一個(gè)角鋼：,兩根角鋼圖示組合之后,所以，應(yīng)由拋物線公式求臨界壓力。,安全系數(shù),96壓桿的穩(wěn)定校核及其合理截面,一、壓桿的穩(wěn)定容許應(yīng)力:,1.安全系數(shù)法確定容許應(yīng)力:,2.折減系數(shù)法確定容許應(yīng)力:,二、壓桿的穩(wěn)定條件:,例9-9:圖示起重機(jī)，AB桿為圓松木，長(zhǎng)L=6m，=11MPa，直徑為:d=0.3m，試求此桿的容許壓力。,解：折減系數(shù)法,最大柔度,xy面內(nèi)，=1.0,zy面內(nèi)，=2.0,求折減系數(shù),求容許壓力,例9-10:圖示結(jié)構(gòu)，立柱CD為外徑D=100mm，內(nèi)徑d=

15、80mm的鋼管，其材料為Q235鋼，,P=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，穩(wěn)定安全系數(shù)為nW=3。試求容許荷載F。,解：由桿ACB的平衡條件易求得外力F與CD桿軸向壓力的關(guān)系為：,兩端鉸支=1,p,可用歐拉公式,由穩(wěn)定條件,例9-11:圖示千斤頂，已知絲桿長(zhǎng)度l=0.375m，,直徑為d=0.04m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力=160MPa，符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GBJ1788)中b類(lèi)桿件要求，最大起重量為F=80kN，試校核該絲桿的穩(wěn)定性。,解：首先計(jì)算該壓桿柔度，該絲桿可簡(jiǎn)化為圖示下端固定，上端自由的壓桿。,查表，=0.72,故此千斤頂穩(wěn)定性足夠。,例9-12:簡(jiǎn)易起重

16、架由兩圓鋼桿組成，桿AB：，桿AC：,兩桿材料均為Q235鋼,規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)，試確定起重機(jī)架的最大起重量。,解:,、受力分析,2、由桿AC的強(qiáng)度條件確定。,3、由桿AB的穩(wěn)定條件確定。,柔度:,0p,可用直線公式.,因此,所以起重機(jī)架的最大起重量取決于桿AC的強(qiáng)度，為,三、壓桿的合理截面:,合理,合理截面是使壓桿的臨界壓力盡可能大的截面。,盡可能使I增大；,盡可能使各方向值相等。,從桿端約束來(lái)看，越小越好，即桿端所受約束越強(qiáng)越好。,從桿的長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，桿越短越好?？梢栽谥虚g加一些約束。,影響壓桿承載能力的因素:,1.細(xì)長(zhǎng)桿,影響因素較多,與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條

17、件等因素有關(guān)。,2.中長(zhǎng)桿,影響因素主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長(zhǎng)細(xì)比及壓桿的橫截面面積,2.粗短桿,影響因素主要取決于材料的屈服強(qiáng)度和桿件的橫截面面積。,提高壓桿承載能力的主要途徑,為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長(zhǎng)、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響?？赡艿拇胧┯幸韵聨追矫妫?（1）盡量減少壓桿桿長(zhǎng),對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界荷載與桿長(zhǎng)平方成反比。因此，減少桿長(zhǎng)可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長(zhǎng)從而提高壓桿承載能力的目的。,兩種桁架中的、桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖a中的壓桿。,（2）增強(qiáng)支承的剛性,支承的剛性越大，壓桿

18、長(zhǎng)度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如，將兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將呈數(shù)倍增加。,（3）合理選擇截面形狀,當(dāng)壓桿兩端在各個(gè)方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時(shí),壓桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時(shí)如果只增加截面某個(gè)反方向的慣性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計(jì)成空的,且盡量使從而加大截面的慣性矩.并使截面對(duì)各個(gè)方向軸的慣性矩均相同.因此,對(duì)一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好,空心截面比實(shí)心截面好.,當(dāng)壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時(shí),應(yīng)采用最大與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強(qiáng)剛性的約束.,（4）合理選用材料,在其

19、他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細(xì)長(zhǎng)壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對(duì)壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。,但對(duì)于粗短桿或中長(zhǎng)桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時(shí)選用高強(qiáng)度鋼會(huì)使臨界載荷有所提高。,1.壓桿穩(wěn)定問(wèn)題中的長(zhǎng)細(xì)比反應(yīng)了桿的尺寸，（）和（）對(duì)臨界壓力的綜合影響。,截面形狀,約束,2.兩根細(xì)長(zhǎng)壓桿a與b的長(zhǎng)度、橫截面面積、約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則二壓桿的臨界壓力Facr和Fbc

20、r的關(guān)系為（）。,A.Facr=Fbcr；B.FacrFbcr；C.FacrFbcr；D.不確定,C,3.材料和柔度都相同的兩根壓桿（）。,A.臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等；B.臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等；C.臨界應(yīng)力和壓力都一定相等；D.臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。,A,課堂練習(xí)：,4.圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當(dāng)其失穩(wěn)時(shí)，（）。,A.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；B.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)；C.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；D.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。,B,5.圖示三根壓桿，橫

21、截面面積及材料各不相同，但它們的（）相同。,A.長(zhǎng)度因數(shù)；B.相當(dāng)長(zhǎng)度；C.柔度；D.臨界壓力。,B,6.在下列有關(guān)壓桿臨界應(yīng)力cr的結(jié)論中，（）是正確的。,A.細(xì)長(zhǎng)桿的cr值與桿的材料無(wú)關(guān)；,B.中長(zhǎng)桿的cr值與桿的柔度無(wú)關(guān)；,C.中長(zhǎng)桿的cr值與桿的材料無(wú)關(guān)；,D.短粗桿的cr值與桿的柔度無(wú)關(guān)。,D,7.圖示各桿橫截面面積相等，在其它條件均相同的條件下，壓桿采用圖（）所示截面形狀，其穩(wěn)定性最好。,(A),(B),(C),(D),D,8.將低碳鋼改為優(yōu)質(zhì)高強(qiáng)度鋼后，并不能提高（）壓桿的承壓能力。,A.細(xì)長(zhǎng)；B.中長(zhǎng)；C.短粗D.非短粗。,9.由低碳鋼組成的細(xì)長(zhǎng)壓桿，經(jīng)冷作硬化后，其（）。,A.穩(wěn)定性提高，強(qiáng)度不變；