1、天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)1量子力學(xué)和統(tǒng)計物理量子力學(xué)和統(tǒng)計物理實踐參考答案練習(xí)參考答案量子力學(xué)通用積分公式量子力學(xué)通用積分公式(1)dxex a n ex a dxex axnaxaxn=1)0(n(2)cossin(sin 22 bxbxaba e=axdxxsin 2 ax a ax a x cos)2(sin 2 22(6)ax a x ax a axdxxsincos 1 cos 2=(7ax aa x ax a x axdxxsin)2(cos 2 cos 3 2=) 12(2=nn axn a n dxex請參見：)12(531！)！12(=nnl的階乘僅取奇數(shù)(14)

2、 1 0 12 2！2=n axn a n dxex(15)2 sin 0 2 a dx x ax=(16)=0 222)(2 sin ba ab bxd xxe ax(0a)=0 222)(cos ba bxd xxe ax一維運動粒子為=) 0 (0) 0 () (x xaxex的狀態(tài)，形式0，球體(1)規(guī)格化因子a；(2)粒子的概率密度；(3)粒子最有可能出現(xiàn)嗎？解決方案：(1)由波函數(shù)規(guī)格化且為1) (0 222=dxexdxxx x是積分公式(11) 1 0！=n nax a n dxxe為1 4)2(！2/3 2=a(2 0 222=a ad xexa x解決方案2/3=a (2)

3、粒子概率密度x exxx xp 2234)()(=(3)在極值點的一階導(dǎo)數(shù)為0)=x；/1=x是極值點。極值點的概率密度值0)0(=p；0)(lim=xp x；2 4)/1 (=ep是升序函數(shù)，因為p(x)在間隔(0，1/)處的一階導(dǎo)數(shù)大于0。由于間距(1/，)的一階導(dǎo)數(shù)小于0且是減法函數(shù)，因此概率密度的最大值為2 4 e，出現(xiàn)在/1=x中。2.一維線性諧振子的狀態(tài)tix aetx 2 1 2 1 22)，(=(1)正則化系數(shù)a；(2)求諧振子坐標(biāo)x的平均值。(3)求諧振子勢能的平均值。天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)4解決方案：(1)積分公式(12) a dxe ax 2 1 0 2=，

4、可用=0 222222 dxeaxeadx xx 2 2 1 2=a 2 a=通過規(guī)范化定義1=dxde=a)！12(2=nn axn a n dxex或教材p429附錄i，3 4 1=k u 2 4 k=2=k，h=2可替換，0 2 1 4 1 eu=h是諧振子勢能的平均值是總能量的一半，能量守恒定律ute=也就是動能的平均值和勢能的一半。天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)5 3將寬度為a的一維無限極地大氣井的坐標(biāo)原點放在勢阱的中點=) 2/| (|，)2/| (|，0) (ax xu考試具體求解一定狀態(tài)的薛定諤方程，使勢阱中粒子的波函數(shù)為2/|，)由于是無限深的勢阱，粒子無法到達井外，

5、因此滿足井外2/|，0) (axx=井內(nèi)波函數(shù)滿足正常薛定諤方程2/| | |)(2 axx ex=h常識可轉(zhuǎn)化為0)(2)(2=x e x0 (2/2/=ax x x不能為0 2 cos 2 sin 0 2 cos 0 2 sin=ka b ka a a不能為0 2 cos 0 2 sin=ka a天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)6 a和b同時為0。對于0a，l、6、4、2，0 2 sin=n a n k a n 0b，l、5、3、1，0 2 cos=n a n k a n的方程式為=l、6、4、cos )(nx a n a nx a n b x n由規(guī)格化條件=1dx nn確定，其中1

6、 sin 2/2/2=a dxx a n a=2/0 2/2/2 2 2 2 cos 1 2 sin aa dxx a n adxx a=2 0 2 22 cos 1 2 a x a n dx a n a=2/0 2/0 2 sin 2 aa x a n aa 1 2 0 2=aa n aa n aa解決方案，aa/2=相同，12/cos 2/2/2 2 cos2) (nx a n a x n粒子的能量l hh，4，3，2，1，22 2 2222=nn a k en天津大學(xué)電子科學(xué)技術(shù)7波函數(shù)的兩個表達式可以合并為一個表達式l，3，2，1，2 (sin 2) (=) 被解釋為l，3，2，1，s

7、in 2)(=nxa n a x n因此，如果使用2 1 a xx=而不是坐標(biāo)變換將坐標(biāo)原點移動到勢能井中心，就可以直接得到練習(xí)結(jié)果了。6粒子是三維無限深井=) 2/|，2/|，2/| (|，)2/|，2/|，2/|，2/|，2/| (|，0)，()解決方案：勢能不包含時間是穩(wěn)態(tài)問題。在井外，波函數(shù)2/|，2/|，2 2/|，2/|，2/|，0)，(czbyaxzyx=在井內(nèi)，波函數(shù)正常狀態(tài)薛定諤方程2/| 將值0 111 2 2 2 2 2=kz d z y y x dx x k2擴展到三個組件表達式2222 zyx kk=。 自下而上0 111 222 2 2 2 2=zyx kkkz d

8、z d z y dy d y x dx x自下而上配置還需要三向組件。因此，天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)8 2 2 1 1 z x kz dz dz dz kydy d y kx dxd x=0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2=zkz dykydy d xkx dx d z y x通過函數(shù)連續(xù)性在邊界上的位置為0/() 2/() 2/(=czzbyby axax由方程式和邊界條件決定=l l，6，4，2，sin，5，3，1，cos)(nxa n a nxa n a xxx b bb 2=c cc 2=l l，6，4，2，sin 2，5，3，1，cos 2) (nx a nxa n a xxxn天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)9=l，6，) 2，1)，2 (sin2) (=n a x a n a xxxn l，3，2，1)，2(sin 2)(=m b y b m b yyyml，3，2) ，2，1；2，1，2 (sin) 2 (sin) 2 (sin 8)，(=lmn c z c lb y b ma x