1、十年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題一試解析幾何圓錐曲線部分解答題2000、已知c0:x2+y2=1和c1:(ab0)。試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，對(duì)c1上任意一點(diǎn)p，均存在以p為項(xiàng)點(diǎn),與c0外切,與c1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。2002已知點(diǎn)a(0，2)和拋物線y2=x4上兩點(diǎn)b，c，使得abbc，求點(diǎn)c的縱坐標(biāo)的取值范圍2006. 給定整數(shù)，設(shè) 是拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn). 試證明對(duì)于任意正整數(shù)，必存在整數(shù)，使為拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn).2008如圖，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值2000.答案：所求條件為+=1.證明：必要性：易知，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即

2、菱形中心.假設(shè)論成立,則對(duì)點(diǎn)( a, 0 ), 有( a, 0 )為項(xiàng)點(diǎn)的菱形與c1內(nèi)接,與co外切. ( a, 0 )的相對(duì)頂點(diǎn)為( - a, 0 ),由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分,另外兩個(gè)頂點(diǎn)必在y軸上,為(0, b) 和 (0, -b) .菱形一條邊的方程為+=1,即bx+ay=ab.由于菱形與co外切,故必有 =1,整理得+=1. 必要性得證.充分性:設(shè)+=1,p是c1上任意一點(diǎn),過(guò)p、o作c1的弦pr，再過(guò)o作與pr垂直的弦qs，則pqrs為與c1內(nèi)接菱形.設(shè) op = r1, oq =r2, 則點(diǎn)o的坐標(biāo)為(r1cos, r1sin),點(diǎn)q的坐標(biāo)為(r2cos(+),r2sin(+

3、),代入橢圓方程,得+=1, +=1,于是,+=()+=+=1. 又在rtpoq中，設(shè)點(diǎn)o到pq的距離為h，則=+=1,故得h=1同理，點(diǎn)o到qr，rs，sp的距離也為1，故菱形pqrs與c0外切.充分性得證.注對(duì)于給出 ，=1等條件者，應(yīng)同樣給分.2002. 解：設(shè)b(y024，y0)，c(y124，y1)則kab=kbc=由kabkbc=1，得(y1+y0)(y0+2)=1 y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124y10， y10，y14當(dāng)y1=0時(shí)，得b(3，1)，當(dāng)y1=4時(shí)，得b(5，3)均滿足要求，故點(diǎn)c的縱坐標(biāo)的取值范圍是(，04，

4、+)2005.過(guò)拋物線上的一點(diǎn)a（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于d，交軸于b.點(diǎn)c在拋物線上，點(diǎn)e在線段ac上，滿足;點(diǎn)f在線段bc上，滿足，且，線段cd與ef交于點(diǎn)p.當(dāng)點(diǎn)c在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡方程.解一：過(guò)拋物線上點(diǎn)a的切線斜率為：切線ab的方程為的坐標(biāo)為是線段ab的中點(diǎn). 5分設(shè)、，則由知，得ef所在直線方程為：化簡(jiǎn)得10分當(dāng)時(shí)，直線cd的方程為：聯(lián)立、解得，消去，得p點(diǎn)軌跡方程為：15分當(dāng)時(shí)，ef方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在p點(diǎn)軌跡上.因c與a不能重合，所求軌跡方程為20分解二：由解一知，ab的方程為故d是ab的中點(diǎn). 5分令則因?yàn)閏d為的中線，而是的重心. 10分設(shè)因點(diǎn)c異于a，則故重心p的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為20分2006.【證明】 因?yàn)榕c的交點(diǎn)為.顯然有。（5分）若為拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)，則. （10分）記，則 ，（13.1）由于是整數(shù)，也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，通過(guò)（13.1）式可證明對(duì)于一切正整數(shù)，是正整數(shù). 現(xiàn)在對(duì)于任意正整數(shù)，取，使得與的交點(diǎn)為. （20分）2008.解 設(shè)，不妨設(shè)直線的方程:，化簡(jiǎn)得 又圓心到的距離為1