1、多元函數微積分的概念, 理論, 方法是一元函數微積分中相應概念, 理論, 方法的推廣和發(fā)展, 它們既有相似之處(概念及處理問題的思想方法), 又有許多本質的不同, 要善于進行比較, 既要認識到它們的共同點和相互聯系, 更要注意它們的區(qū)別, 研究新情況和新問題, 深刻理解, 融會貫通.,第八章 多元函數微分學,上學期, 我們學習了一元函數微積分. 但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數多元函數的形式, 我們需要學習多元函數微積分問題.,函數的微分法從一元函數發(fā)展到二元函數本質上要出現一些新東西, 但從二元函數到二元以上函數則可以類推, 因此這里基本上以討論二元函數為主.,重點: 多元函數

2、基本概念, 偏導數, 全微分, 復合函數求偏導, 隱函數求偏導, 偏導數的幾何應用, 多元函數極值.,難點: 復合函數求偏導, 多元函數極值.,掌握多元函數基本概念, 會表示定義域, 了解二元函數極限, 連續(xù); 深刻理解二元函數偏導數, 能熟練求出一階和高階偏導數; 掌握全微分概念; 掌握復合函數, 隱函數的求偏導方法; 會求曲線的切線, 法平面, 曲面的切平面和法線; 掌握求多元函數極值的方法.,基本要求,8.1 多元函數基本概念,一元函數的基本概念是建立在實數集合或數軸上的點的集合之上的. 這些概念包括點集, 兩點間的距離,區(qū)間, 鄰域等概念. 為了介紹多元函數及其微積分的概念, 需要介紹

3、高維空間的相關概念. 我們先介紹2維空間的相關概念, 然后將其推廣到n維空間.,一、平面點集與n維空間,平面直角坐標系(xoy平面)中用二元實有序數組(x, y)表示平面上的點. 平面上具有某種性質P的點作為元素構成的集合稱為平面點集, 記作 E= (x, y) | (x, y)具有性質P ,例如: C= (x, y) | x2 + y2 r2 ,也可表示為: C= M | |OM|r ,設M0(x0, y0)是xoy平面上的一個點, 是某一正數, 與點M0(x0, y0)的距離小于的點M(x, y)的全體, 稱為點M0的鄰域, 記為U(M0, ), 即 U(M0, )= M | |M0M|

4、,或,點M0的去心鄰域, 記為Uo(M0, ), 即 Uo(M0, )= M | 0 |M0M| ,在幾何上, U(M0, )表示xoy平面上以M0為中心, 0為半徑的圓內的所有點的全體.,如果不需要強調鄰域的半徑時, 用U(M0)(Uo(M0)表示點M0的鄰域(去心鄰域).,xoy平面上的任意一點M和任意一點集E之間有以下三種關系中的一種:,(1) 內點: 如果存在點M的某鄰域U(M)E, 則稱M為E的內點;,(3) 邊界點: 如果點M的任意鄰域U(M)內都既含有E的點, 又含有不屬于E的點, 則稱M為E的邊界點.,(2) 外點: 如果存在點M的某鄰域U(M)E=, 則稱M為E的外點;,點集

5、E的邊界點的全體稱為E的邊界. 記作E.,點集E的內點必屬于E; 點集E的外點必不屬于E;點集E的邊界點可能屬于E, 也可能不屬于E.,如果對任意給定0, 點M的去心鄰域Uo(M, )內總有點集E的點, 則稱M為E的聚點.,點集E的聚點M既可以屬于E, 也可以不屬于E. 實際上聚點M的任意鄰域內包含有E的無窮多個點. 點集E的內點都是聚點; 但邊界點未必是聚點. 例如僅有有限個點的集合的每一個點都是邊界點, 而它們每一個點都不可能成為聚點.,又例如: E= (x, y) | 01的所有點都是E的外點.,如果點集E的所有點都是內點, 則稱E為開集. 如果點集E的補(余)集Ec為開集, 則稱E為閉

6、集.,例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 為開集, E2= (x, y) | 1x2+y24 為閉集, E3= (x, y) | 1x2+y24 既非開集又非閉集.,如果存在連接點集E內的任意兩點的折線上的點都屬于E, 則稱E為連通集.,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.,(開)區(qū)域連同它的邊界所構成的點集稱為閉區(qū)域.,例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 為開區(qū)域, E2= (x, y) | 1x2+y24 為閉區(qū)域, E3= (x, y) | 1x2+y24 既非開區(qū)域又非閉區(qū)域.,如果存在某一正數 r , 使得EU(O, r), 則稱E為有界集, 否則稱E為無界集.,

7、例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 為有界開區(qū)域, E2= (x, y) | x+y0 為無界閉區(qū)域.,設n為取定的一個正整數, 我們稱n元有序數組 (x1, x2, , xn)的全體構成的集合為n維空間, 記作Rn. 而每個n元有序數組(x1, x2, , xn)稱為n維空間Rn中的一個點. 數xi( i =1, 2, , n)稱為該點的第 i 個坐標. O(0, 0, , 0)稱為Rn中的零元或原點.,數軸上的所有點構成一維空間, 記為R1, 簡記為R; xoy平面上的所有點構成二維空間, 記為R2; 空間直角坐標系中的所有點構成三維空間, 記為R3.,Rn中的兩點P1(x1

8、, x2, , xn), P2(y1, y2, , yn)之間的距離(范數) | P1P2 | (或(P1, P2)定義為,| P1P2 | =,Rn中的兩點之間距離的定義是R3的推廣.,設P(x1, x2, , xn), A(a1, a2, , an)Rn, 如果 | PA |0,則稱變元P在Rn中趨向于固定元A, 記作PA.,顯然, PA x1a1, x2a2, , xnan.,設A(a1, a2, , an)Rn, 0, 則Rn中的點集 U(A, ) = P | PRn, | PA | 稱為點A的鄰域; 而 Uo(A, ) = P | PRn, 0| PA | 稱為點A的去心鄰域.,類似

9、地, 定義Rn中的內點, 外點, 邊界點, 聚點, 開集, 閉集, 區(qū)域等概念, 不再一一重述.,設D是Rn中的非空點集, 如果對于每個點PD, 按照一定的法則總有確定的值zR與P對應, 則稱z是變元P的一個n元函數, 記為 z = f(P), PD, 或記為 z = f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D. 其中點集D稱為函數的定義域, PD稱為自變元, x1, x2, , xn稱為自變量, z 稱為因變量.,當 n=1時, 稱為一元函數; 當 n=2時, 稱為二元函數; 類似地, n=3時稱為三元函數等等. 當n2時, 統(tǒng)稱為多元函數. 以后我們重點介紹二元函數的

10、有關問題.,考慮二元函數 z = f(x, y), (x, y)D, 與自變量x, y的一對值(即二元有序實數組(x, y)對應的因變量 z 的值, 也稱 z 為函數 f 在點(x, y)處的函數值.,二、多元函數的定義,函數值f(x, y)的全體所構成的集合稱為函數 f 的值域, 記為 f(D), 即 f(D)= z | z = f(x, y) (x, y)D ,一般地, 由一個解析表達式表示的多元函數, 以其有意義的變元x1, x2, , xn的所有值組成的點集, 稱為該多元函數的自然定義域. 由實際問題建立的多元函數的定義域由其實際意義確定.,解:,即,所求定義域為 D= (x, y)

11、| 2x2+y24, xy2 .,二元函數的圖形 設二元函數 z = f(x, y) (x, y)D, 對于任意取定的P(x, y)D, 對應的函數值為 z = f(x, y), 以x為橫坐標, y為縱坐標, z為豎坐標, 在空間就確定一點M(x, y, z), 當 (x, y)取遍D上的一切點時, 得一個空間點集,(x, y, z)| z=f(x, y), (x, y)D . 這個點集稱為該二元函數的圖形.,二元函數的圖形通常是一張如圖所示的曲面.,三、二元函數的極限,定義1: 設二元函數 z = f(x, y), (x, y)D, P0(x0, y0)為定義域D的聚點, 如果對于任意給定0

12、, 總存在0, 使得對于適合不等式,的一切點P(x, y)D, 都有 | f(x, y) A | 成立, 則稱A為函數 z = f(x, y)當 xx0, yy0(或PP0)時的極限, 記為,或 f(x, y)A, = | PP0 |0等等.,或,說明(1): 定義中PP0 的方式是多種多樣的, 方向是任意多的, 路徑是千姿百態(tài)的, 所謂極限存在是指當動點P從四面八方以可能有的任何方式和路徑趨于定點P0時, 函數都趨于同一常數A這是產生與一元函數極限(僅有兩個方向)有本質性差異的根本原因;,說明(2): 二元函數的極限也叫二重極限;,說明(3): 二元函數極限的運算法則和性質與一元函數極限類似

13、, 如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等, 建議自行復習, 寫出有關結論以鞏固和加深對兩種極限概念的理解.,例2: 求極限,解:,其中,所以,證: 取,其值隨k的不同而變化.,故極限不存在.,確定極限不存在的方法:,(1): 令P(x, y)沿 y=kf(x) 趨向于P0(x0, y0), 若極限值與 k有關, 則可斷言極限不存在;,定義2: 設n元函數f(P)的定義域為點集D, P0是D的聚點, 如果對于任意給定的0, 總存在0, 使得對于適合不等式 0| PP0 | 的一切點PD, 都有 | f(P) A | 成立, 則稱A為n元函數f (P)當PP0時的極限, 記

14、為,四、多元函數的連續(xù)性,定義3: 設n元函數 f(P)的定義域為點集D, P0是D的聚點, 且P0D, 如果,則稱 n元函數 f(P)在點P0處連續(xù).,設P0是n元函數 f(P)的定義域內的聚點, 如果f(P)在點P0處不連續(xù), 則稱P0為函數 f(P)的間斷點.,解: 取 x = rcos, y = rsin. 則 | f(x, y) f(0, 0) | = | r(cos3 + sin3) | 2r,故函數f(x, y)在點(0, 0)處連續(xù).,解: 取 y=kx, 則,其值隨 k 的不同而變化, 即極限不存在. 故函數f(x, y)在點(0, 0)處不連續(xù).,| f(x, y) f(0

15、, 0) | 2r ,= f(0, 0),多元函數的間斷性也與一元函數的情形有所不同.,如,其定義域為: D=(x, y)| x2+y2 1.,而圓周C=(x, y)| x2 + y2 = 1上的點都是D的聚點, 但函數 f(x, y)在C上無定義, 故在C上的點都是函數 f(x, y)的間斷點.,由極限, 連續(xù)的定義和性質, 多元連續(xù)函數的和, 差, 積仍為連續(xù)函數, 多元連續(xù)函數的商, 在分母不為零處仍為連續(xù)函數. 多元連續(xù)函數的復合函數也是連續(xù)函數.,一個可以由常數及其不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合而得到可用一個表達式表示的函數, 稱為多元初等函數.,閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質:,可以證明: 多元初等函數在其定義域內是連續(xù).,性質1 (最大值和最小值定理): 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數, 必在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性質2 (介值