1、存檔編號(hào)_ _贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 方差的性質(zhì)及其應(yīng)用自己把全文通讀一遍，仔細(xì)檢查一下格式排版，就可以定稿了 系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 屆 別 2010屆 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 1020151237 姓 名 鄢婷 指導(dǎo)老師 羅友泉 完成日期 2013年12月 目錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words11 引言22 方差的基本性質(zhì)及其證明22.1 方差的定義22.2方差的性質(zhì)63 方差在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用83.1方差在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)用83.2 方差在儀器比較方面的應(yīng)用93.3 方差在農(nóng)業(yè)決策問(wèn)題中的應(yīng)用114 總結(jié)12參考文獻(xiàn)13內(nèi)容摘要：方

2、差的性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論是概率論中的一個(gè)重要概念。本文講述了方差的定義和性質(zhì)，并用方差解決了一些生活中的實(shí)際問(wèn)題。關(guān)鍵詞：方差 性質(zhì) 應(yīng)用Abstract：The nature of the variance and the relevant conclusion is an important concept in probability theory. This article tells the story of the definitions and properties of variance and variance to solve some practical problems in

3、 their lives.Key words：The variance character application1 引言方差（Variance），應(yīng)用數(shù)學(xué)里的專有名詞。在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)隨機(jī)變量的方差描述的是它的離散程度，也就是該變量離其期望值的距離?，F(xiàn)代的生產(chǎn)方案決策則更多的應(yīng)用了這一思想，對(duì)各因素發(fā)生大小的可能性數(shù)量化，通過(guò)計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從中選擇最佳方案，來(lái)指導(dǎo)生產(chǎn)，提高生產(chǎn)效率及收益。對(duì)于追求效益最大化的今天它的意義非常的重大。以下我們就現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，利用離散型隨機(jī)變量的方差思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算，通過(guò)各個(gè)方案的比較選出最佳

4、方案。下面我們介紹一些基本知識(shí)。 2 方差的基本性質(zhì)及其證明2.1 方差的定義數(shù)學(xué)期望描述了隨機(jī)變量取值的“平均”.有時(shí)僅知道這個(gè)平均值還不夠.例如，有A，B兩名射手，他們每次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為X，Y，已知X，Y的分布律為：X89100.20.60.2表1 Y89100.10.80.1表2由于（環(huán)），可見(jiàn)從均值的角度是分不出誰(shuí)的射擊技術(shù)更高，故還需考慮其他的因素.通常的想法是：在射擊的平均環(huán)數(shù)相等的條件下進(jìn)一步衡量誰(shuí)的射擊技術(shù)更穩(wěn)定些.也就是看誰(shuí)命中的環(huán)數(shù)比較集中于平均值的附近，通常人們會(huì)采用命中的環(huán)數(shù)X與它的平均值之間的離差的均值來(lái)度量，愈小，表明X的值愈集中于的附近，即技術(shù)穩(wěn)定；愈大，表

5、明X的值很分散，技術(shù)不穩(wěn)定.但由于帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不便，故通常采用X與的離差的平方平均值來(lái)度量隨機(jī)變量X取值的分散程度.此例中，由于由此可見(jiàn)B的技術(shù)更穩(wěn)定些.定義1 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方差（Variance），記為，即. （1）稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差（ Standard deviation ）或均方差(Mean square deviation)，記為.根據(jù)定義可知，隨機(jī)變量X的方差反映了隨機(jī)變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度.若X取值比較集中，則較小，反之，若X取值比較分散，則較大.由于方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.若離散型隨機(jī)變量X的分布律為.，則. （2）若連續(xù)型隨

6、機(jī)變量X的概率密度為，則 （3）由此可見(jiàn)，方差是一個(gè)常數(shù)，它由隨機(jī)變量的分布惟一確定.根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：.于是得到常用計(jì)算方差的簡(jiǎn)便公式. （4）例 1 設(shè)有甲，乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表：X2829303132P0.10.150.50.150.1表3Y2829303132P0.130.170.40.170.13表4其中X，Y分別表示甲，乙兩種棉花的纖維的長(zhǎng)度（單位：毫米），求與，且評(píng)定它們的質(zhì)量.解 由于，故得，.因，所以甲種棉花纖維長(zhǎng)度的方差小些，說(shuō)明其纖維比較均勻，故甲種棉花質(zhì)量較好.例 2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求.解 ， ， 于是 .2.2

7、方差的性質(zhì)方差有下面幾條重要的性質(zhì).設(shè)隨機(jī)變量X與Y的方差存在，則1設(shè)為常數(shù)，則；2設(shè)為常數(shù)，則；3；4若X，Y相互獨(dú)立，則；5對(duì)任意的常數(shù)，有.證 僅證性質(zhì)4，5.4 = .當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，與也相互獨(dú)立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有.因此有.性質(zhì)4可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.5對(duì)任意常數(shù)c .故對(duì)任意常數(shù),有.例 3 設(shè)相互獨(dú)立，且服從同一分布，分布律為 , .證明 服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，并求和.解 X所有可能取值為0，1，n，由獨(dú)立性知X以特定的方式（例如前k個(gè)取1，后n-k個(gè)取0）取k（）的概率為,而X取k的兩兩互不相容的方式共有種，故, k=0，1，2，n,即X服從參

8、數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.由于， i=1，2，n，故有由于相互獨(dú)立，得3 方差在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)期望反應(yīng)的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反應(yīng)隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度?，F(xiàn)代實(shí)際生活中，越來(lái)越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差這思想來(lái)對(duì)事件發(fā)生大小的可能性進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案。 在當(dāng)前社會(huì)生產(chǎn)中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我將就現(xiàn)實(shí)生活中的種種問(wèn)題，利用離散型隨機(jī)變量的期望和方差的思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算，并通過(guò)各個(gè)方案的比較得出最佳方案。3.1方差在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)用在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理決策之前

9、, 往往存在不確定的隨機(jī)因素, 從而所作的決策有一定的風(fēng)險(xiǎn), 只有正確科學(xué)的決策才能達(dá)到以最小的成本獲得最大的安全保障的總目標(biāo), 才能盡可能節(jié)約成本.利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以獲得合理的決策, 從而實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo).下面以數(shù)學(xué)方差等數(shù)字特征為例說(shuō)明它在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)用.例 4：某人有一筆資金,可投入3個(gè)項(xiàng)目:房產(chǎn)x、地產(chǎn)y和商業(yè)z, 其收益和市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān), 若把未來(lái)市場(chǎng)劃分為好、中、差3個(gè)等級(jí), 其發(fā)生的概率分別為,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研的情況可知不同等級(jí)狀態(tài)下各種投資的年收益(萬(wàn)元), 見(jiàn)表請(qǐng)問(wèn):該投資者如何投資好？ 各種投資年收益分布表好 中 差房產(chǎn) 11 3 -3地產(chǎn) 6 4 -1商業(yè) 10 2 -2解

10、 我們先考慮數(shù)學(xué)期望，可知: 根據(jù)數(shù)學(xué)期望可知, 投資房產(chǎn)的平均收益最大, 可能選擇房產(chǎn), 但投資也要考慮風(fēng)險(xiǎn).我們?cè)賮?lái)考慮它們的方差:因?yàn)榉讲钣? 則收益的波動(dòng)大, 從而風(fēng)險(xiǎn)也大, 所以從方差看,投資房產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)比投資地產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大得多, 若收益與風(fēng)險(xiǎn)綜合權(quán)衡, 該投資者還是應(yīng)該選擇投資地產(chǎn)為好, 雖然平均收益少0.1萬(wàn)元, 但風(fēng)險(xiǎn)要小一半以上。 3.2 方差在儀器比較方面的應(yīng)用 儀器的優(yōu)劣，以及其使用價(jià)值對(duì)于生產(chǎn)家來(lái)說(shuō)是很重要的一個(gè)因素，同時(shí)也是企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的保障，因此，數(shù)學(xué)期望與方差這一數(shù)字特征給商家在對(duì)儀器進(jìn)行選購(gòu)時(shí)提供了參考。例 5：分別用A、B兩種測(cè)量?jī)x器多次測(cè)量某一零件的直徑，

11、結(jié)果如下：1181191201211220.060.140.600.150.051181191201211220.090.150.520.160.08試比較這兩種儀器的優(yōu)劣。解：用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望與方差來(lái)做比較： ； ,因?yàn)锳的方差小于B的方差，說(shuō)明A儀器的精確度比B儀器好，所以選擇A儀器優(yōu)于B儀器。3.3 方差在農(nóng)業(yè)決策問(wèn)題中的應(yīng)用 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)當(dāng)中，選種優(yōu)良農(nóng)作物品種是去的豐收的前提，人們通過(guò)在某一特定的區(qū)域分別種兩種以上品種。經(jīng)過(guò)連續(xù)幾年的實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)有關(guān)數(shù)據(jù)應(yīng)用概率中的方差的思想確定產(chǎn)量穩(wěn)定的品種即最優(yōu)品種，以下我們看選小麥種的例子。例 6：甲乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積

12、產(chǎn)量如下（單位：噸/平方千米）品種第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：（1）先求出甲乙兩種小麥產(chǎn)量的期望值可以得出甲乙兩種小麥期望相等（2）求出甲乙兩種小麥產(chǎn)量的方差甲的方差小于乙的方差，從而可以得出小麥品種甲單位比較穩(wěn)定，選擇種植甲小麥。 4 總結(jié) 以上從多個(gè)方面列舉了數(shù)學(xué)期望與方差在實(shí)際生活生產(chǎn)中的應(yīng)用，這一思想從理論的角度測(cè)出方案所能達(dá)到的預(yù)期效果和存在風(fēng)險(xiǎn)的大小等，給實(shí)際生活生產(chǎn)提供了指導(dǎo)性的建議，從而使決策者選擇最佳方案。在當(dāng)前實(shí)際生活中，還有更多的問(wèn)題需要用數(shù)學(xué)期望與方差這一思想來(lái)解決，掌握并利用好這一思想，便能給生活工作帶來(lái)更多方便。參考文獻(xiàn)1 茆詩(shī)松，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程，高等教育出版社2 孫榮恒，應(yīng)用概率論，科學(xué)出版社3 嚴(yán)士健，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社4 復(fù)