1、第五講 微積分的產(chǎn)生,早在2500多年前，東西方都已萌發(fā)了微積分思想的萌芽。隨后阿基米德、劉徽各自為西方與中國微積分的發(fā)展開辟了道路。然而直到十多個世紀后，才有人繼續(xù)他們的工作。這期間漫長的時間是微積分發(fā)展的一個蟄伏期。,1,PPT學(xué)習(xí)交流,1.1 解析幾何的誕生,公元511世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力。在封建宗教統(tǒng)治下，歐洲文明在整個中世紀處于凝滯狀態(tài)。 1100年左右，貿(mào)易、旅游、戰(zhàn)爭（十字軍東征）等因素促進了東西方文化的交流。隨著東方文化的傳入，歐洲開始從黑暗時代覺醒了。 12世紀，大量的數(shù)學(xué)著作從阿拉伯文翻譯成拉丁文，保存在阿拉伯人手中的希臘典籍又重返歐

2、洲。在穿越過黑暗后，歐洲出現(xiàn)的第一位偉大的數(shù)學(xué)家是意大利的斐波那契（約11701250），他的名著算盤書（也譯作算經(jīng)）是中世紀歐洲最重要的數(shù)學(xué)著。,2,PPT學(xué)習(xí)交流,在書中斐波那契向歐洲介紹了印度阿拉伯?dāng)?shù)字。這對改變歐洲的數(shù)學(xué)面貌起到了極為重要的作用。另外算盤書中還載有如下的“兔子問題”：,某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假 定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？ 對這個問題的回答，導(dǎo)致了著名的斐波那契數(shù)列： 1，1，2，3，5，8，13，21，,3,PPT學(xué)習(xí)交流,歐洲數(shù)學(xué)的復(fù)蘇過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會中的

3、經(jīng)院哲學(xué)派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學(xué)的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒玫的一些學(xué)說奉為絕對正確的教條，企圖用這種新的權(quán)威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。 進入15、16世紀，西方數(shù)學(xué)的主要成就體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展上。一方面，代數(shù)方程論取得了長足的進展，意大利數(shù)學(xué)家獲得了三次、四次方程的公式解法。另一方面，人們在代數(shù)中引入符號，符號體系對于代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展以及后來分析學(xué)的發(fā)展來說，都是至關(guān)重要的。,4,PPT學(xué)習(xí)交流,在符號體系上使代數(shù)產(chǎn)生最大變革的使法國數(shù)學(xué)家韋達（15401603），描述根與系數(shù)關(guān)系的韋達定理就是以他的名字命名的。他是第一個系統(tǒng)地在代數(shù)中使用字母的人，他的名著

4、分析術(shù)引論被認為是一部符號代數(shù)的最早著作。韋達被譽為“代數(shù)學(xué)之父”。在韋達之后，數(shù)學(xué)符號陸續(xù)被引入，符號體系不斷得到改進和完善，最終形成了我們現(xiàn)在使用的簡捷、優(yōu)美的數(shù)學(xué)符號體系。,5,PPT學(xué)習(xí)交流,17世紀，隨著社會生產(chǎn)力的發(fā)展，西方在天文、力學(xué)等方面獲得一些新發(fā)現(xiàn)。比如德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿著橢圓軌道運行，意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體沿著拋物線運動等等，這些發(fā)現(xiàn)重新激發(fā)起人們對曲線研究的熱情。而代數(shù)學(xué)科已日趨成熟并且其解決問題的威力也日漸顯現(xiàn)。于是通過代數(shù)尋求解決幾何問題，找到研究曲線額新途徑成為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢。解析幾何的出現(xiàn)成為大勢所趨。,6,PPT學(xué)習(xí)交流,笛卡兒（159616

5、49）法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。一生涉獵極廣，他最有影響的方面是哲學(xué)和數(shù)學(xué)。在哲學(xué)上,笛卡兒被恩格斯譽為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。在數(shù)學(xué)上，他貢獻很多，比如用a,b,c表示已知數(shù)，用x,y,z表示未知數(shù)就是笛卡兒的創(chuàng)造。當(dāng)然最重要的貢獻就是創(chuàng)建了解析幾何，跨出了從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的第一步，把被古希臘人割裂的代數(shù)與幾何、數(shù)與形重新粘合在一起，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合，最重要的，它直接促使了微積分的誕生。,1637年，笛卡兒出版了方法談一書，在作為附錄之一出現(xiàn)的幾何學(xué)中，他闡述了解析幾何的主要思想和方法。方法談的出版標(biāo)志著解析幾何的誕生。,7,PPT學(xué)習(xí)交流,正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。

6、有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了?！?8,PPT學(xué)習(xí)交流,1.2 半個世紀的醞釀,從前面的學(xué)習(xí)我們知道，積分學(xué)的歷史很早就開始了，其原因主要在于，人們不得不面對求曲邊形的面積和不規(guī)則立體的體積，這些問題的求解成為積分概念形成的重要源泉之一。 進入17世紀，數(shù)學(xué)家們開始需要求出更多曲線的長度、所圍的面積，以及旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積等。雖然，當(dāng)時數(shù)學(xué)家已經(jīng)熟悉了阿基米德的方法，但這種方法過于復(fù)雜，一種粗糙的，不嚴格地，但卻非常管用的方法被數(shù)學(xué)家們發(fā)展起來了。,9,PPT學(xué)習(xí)交流,一、積分學(xué)的發(fā)展 最早使用這種成功的富有啟發(fā)性的方法的是開

7、普勒。,開普勒（15711630），德國天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。自幼體弱多病，但智力超群。1587年進入蒂賓根大學(xué)學(xué)習(xí)，胡到奧地利擔(dān)任數(shù)學(xué)教師，1596年出版宇宙的奧妙，初顯光芒。1600年，開普勒到布拉格擔(dān)任天文觀測家第谷的助手。1601年第谷去世后，他接過了第谷一生積累的觀測資料。 開普勒畢生是一個狂熱的畢達哥拉斯主義者。深信上帝是依照完美的數(shù)的原則創(chuàng)造世界的。他很早就接受了哥白尼的日心說，通過仔細分析研究第谷的資料，發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運行，并且提出了意義深遠、影響巨大的行星運動三定律（即開普勒定律），為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律打下了基礎(chǔ)。,10,PPT學(xué)習(xí)交流,開普勒在探索行星運動的規(guī)

8、律時，遇到如何確定一個橢圓扇形的面積和橢圓弧長的問題。逐漸地，他建立起一種應(yīng)用無窮小的方法。 例1：圓的面積 例2：球的體積 1615年，開普勒出版數(shù)學(xué)著作測量酒桶的新立體幾何。在該書中，開普勒向人們展現(xiàn)了如何應(yīng)用自己的新方法來解決更為復(fù)雜的問題，他最終給出了包括各種各樣的旋成體在內(nèi)的92種幾何體體積的計算公式。,11,PPT學(xué)習(xí)交流,不難看出，開普勒隨意使用的這種方法是粗糙的。比如在求圓的面積時，他把圓看作無窮多個無窮小的三角形，這意味著在這種情況下，圓周上的極短弧變成了三角形的底，半徑變成了三角形的高。但實際上，無論這個弧多么小，它都是曲線，不可能是直的，而高總是小于圓的半徑。 盡管存在缺

9、點，開普勒的方法仍然開辟了一個廣闊的新思路。不久后，另一位數(shù)學(xué)家卡瓦列里進一步發(fā)展了這一方法，并成功地解決了開普勒提出但未能解決的某些較難的問題。,12,PPT學(xué)習(xí)交流,卡瓦列里，約1598年生于意大利米蘭；1647年卒于意大利波倫亞早年是耶穌會修士。后來，在伽利略的一個學(xué)生卡斯泰利引導(dǎo)下，開始研究幾何學(xué)，并很快被歐幾里德、阿基米德等人的經(jīng)典著作所吸引，并表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才能。1617年后，卡瓦列里直接就學(xué)于伽利略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽利略的學(xué)生。1629年，卡瓦列里得到波倫亞大學(xué)的首席數(shù)學(xué)教職，并在這個崗位上一直工作到去世,13,PPT學(xué)習(xí)交流,卡瓦列里的主要貢獻是建立了不可分量方法

10、，代表作是1635年出版的用新方法促進的連續(xù)不可分幾何學(xué)，該方法以下述假設(shè)為基礎(chǔ)：線是由無窮多個點組成的，面是由無窮多條線組成的，體是由無窮多個面組成的。書中還給出卡瓦列里原理，與公元6世紀中國數(shù)學(xué)家祖暅的祖氏原理本質(zhì)相同。 依據(jù)上述原理，他用幾何方法求得若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體表面積和體積等公式。他在六個幾何問題(1647)中進一步發(fā)展了他的方法。在以后十年中不可分量方法是數(shù)學(xué)家研究幾何中無窮小問題引用最多的理論，被萊布尼茲譽為當(dāng)時幾何學(xué)的頂峰，對微積分的創(chuàng)立有重要影響。,14,PPT學(xué)習(xí)交流,卡瓦列里的方法與開普勒的方法有些差異.比如開普勒是認為幾何圖形是由同一維數(shù)的不可分量(無

11、窮小的面積或體積)組成的;而卡瓦列里認為幾何圖形是由無窮多個較低維數(shù)的不可分量組成的. 卡瓦列里推出了區(qū)間0,a上的曲線y=xn(n為正整數(shù))下的圖形面積為an+1/(n+1).從而在求積方法的統(tǒng)一行上邁出了決定性的一步,使早期積分學(xué)突破了體積計算的現(xiàn)實模型而向一般算法過渡. 然而,不可分量究竟是什么?卡瓦列里對此的解釋是含糊的.比如不可分量究竟有沒有寬度或厚薄呢?如果有?如果沒有?,15,PPT學(xué)習(xí)交流,在卡瓦列里之后,沃利斯在他的名著無窮算術(shù)中,研究了分數(shù)冪的積分.用現(xiàn)代的符號表示他的結(jié)果就是,他給出了定積分: 例: 但冪指數(shù)為-1時,即雙曲線y=1/x下的面積的計算卻是一種不規(guī)則的情況.

12、17世紀的英國數(shù)學(xué)家對此進行了研究,發(fā)現(xiàn)表示雙曲線下面積的函數(shù)看起來很像是一個對數(shù).直到18世紀的歐拉才完全弄清這個問題.,16,PPT學(xué)習(xí)交流,沃利斯(16161703) Wallis，John英國數(shù)學(xué)家。微積分學(xué)的先驅(qū)。1616年生于英國肯特郡的阿什福德，1703年卒于牛津。早年在劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文、數(shù)學(xué)等科，1640年獲碩士學(xué)位。1649年起任牛津大學(xué)薩維爾教授。1656年出版他的名著無窮算術(shù)，引入了有理指數(shù)和負指數(shù)。這本書對于微積分的創(chuàng)建者之一的牛頓早期的數(shù)學(xué)工作有極大的影響。在論圓錐曲線中，沃利斯第一次擺脫錐線是錐面截線的看法，定義錐線為二次曲線。此外還有代數(shù)、力學(xué)等多種著

13、作。 我們現(xiàn)在使用的無窮大符號也是沃利斯的發(fā)明。 沃利斯是他那個時代最有才能和最有獨創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一，他推動英國數(shù)學(xué)界的發(fā)展長達半個多世紀，在這段時間中，他為了促使數(shù)學(xué)在英國能享有與在歐洲大陸相同的顯赫地位而做出了極大的努力。1662年英國皇家學(xué)會成立，沃利斯是創(chuàng)建人之一。,17,PPT學(xué)習(xí)交流,另一位對積分早期發(fā)展做出重要貢獻的數(shù)學(xué)家是法國的帕斯卡。,帕斯卡（16231662），中學(xué)物理教科書中帕斯卡定律的提出者。這位法國物理學(xué)家同時還是一位哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。 帕斯卡是數(shù)學(xué)神童，12歲掌握了幾何原本，16歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡神秘六邊形定理”即一個內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形，其相對各邊的三個交點共線

14、。 盡管帕斯卡生命短暫，但他的名字卻與帕斯卡三角、概率論、世界第一臺數(shù)字計算器的發(fā)明者以及微積分等聯(lián)系在一起。,18,PPT學(xué)習(xí)交流,1654年，帕斯卡開始研究幾個方面的數(shù)學(xué)問題。他深入探討了不可分原理，得出求不同曲線所圍面積和重心的一般方法，并以積分學(xué)的原理解決了擺線問題。他研究中使用的“特征三角形”曾給微積分的創(chuàng)建者之一的萊布尼茲以很大啟發(fā)。 二、微分學(xué)的發(fā)展 在歷史上，微分的思想直到17世紀才出現(xiàn)。這一時期，許許多多與微分思想相關(guān)的問題涌現(xiàn)出來。如運動問題、極值問題，特別是切線問題成為當(dāng)時數(shù)學(xué)家們討論最熱烈的問題之一。,19,PPT學(xué)習(xí)交流,17世紀30年代解析幾何創(chuàng)建后，許多著名的數(shù)學(xué)

15、家都參與到這些問題的研究中，從而促進了微分學(xué)的誕生。 笛卡兒在他的幾何學(xué)中最早公開發(fā)表了一種求曲線切線的方法：圓法。這種利用圓以及方程重根的關(guān)系求切線的思路，本質(zhì)上是一種代數(shù)方法，而且比較麻煩。此后，其他數(shù)學(xué)家相繼發(fā)現(xiàn)和提出了一些不同的切線求法。 例：笛卡兒的圓法。,20,PPT學(xué)習(xí)交流,17世紀30、40年代，意大利數(shù)學(xué)家托里拆利和法國數(shù)學(xué)家羅伯瓦爾從運動學(xué)的角度來考慮曲線的切線，發(fā)展了利用瞬時運動的直觀概念求切線的方法。他們的思想是把曲線看成動點的軌跡，把切線看成動點的瞬時運動的方向。于是當(dāng)一個點的運動是由兩個比較簡單的運動合成時，運動的瞬時速度就可以通過這兩個比較簡單運動的瞬時速度用平行

16、四邊形法則確定出來。這種方法只對一些特殊問題有效，不具有通用性。,21,PPT學(xué)習(xí)交流,一種既具有一般性，又簡捷的方式是由費馬給出的。,費馬（也譯為“費爾馬”）(16011665）法國數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。” “近代數(shù)論之父” 作為17世紀最卓越的數(shù)學(xué)家，費馬的職業(yè)卻是律師，并以圖盧茲議會的議員的身份終其一生。年僅30開始研究數(shù)學(xué)。 除了費馬大定理外，他和笛卡兒一起創(chuàng)建了解析幾何，與帕斯卡創(chuàng)立了概率論。此外他也是創(chuàng)建微積分的杰出的先驅(qū)者。,22,PPT學(xué)習(xí)交流,費馬在積分與微分兩方面都做出了重要貢獻。我們這里介紹他在微分學(xué)方面的貢獻。在這方面，他給出了一個統(tǒng)一的方法，用以解決微分學(xué)中

17、的兩個基本問題（極值和切線問題）。他的方法稱為“虛擬等式法”。實際上，早在1629年費馬就找到了這種方法，但世人到1637年才通過他的手稿求最大值和最小值的方法了解了他的這一工作。 例： 用這種方法可以推出y=xn的斜率是nxn-1.他用這種方法獲得的結(jié)果是正確的，然而這種方法的邏輯基礎(chǔ)并不清楚。,23,PPT學(xué)習(xí)交流,費馬的方法對有些問題就不那么容易了，如笛卡兒向費馬提出的求x3+y3-3xy=0的切線問題。作為對費馬方法的改進，牛頓的老師巴羅給出了一種更一般的做切線的方法。,巴羅(16301677) ，英國數(shù)學(xué)家、光學(xué)家。1643年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1648年獲學(xué)士學(xué)位，1662年任倫敦

18、格雷沙姆幾何教授，1664年任劍橋首屆盧卡斯教授，1672年任三一學(xué)院院長。巴羅最重要的科學(xué)著作是光學(xué)講義和幾何學(xué)講義，后者包含了他對無窮小分析的卓越貢獻，特別是其中“通過計算求切線的方法”已十分接近微積分基本定理，微積分的最終制定后來由其學(xué)生I.牛頓完成。巴羅最先發(fā)現(xiàn)了牛頓的天才，并于1669年自動辭去盧卡斯教授之職，舉薦26歲的牛頓繼任。,24,PPT學(xué)習(xí)交流,例：笛卡兒問題的巴羅解法 巴羅的方法了使用了一個三角形，帕斯卡也曾使用過，稱為特征三角形，也有人稱之為“巴羅三角形” 。 在經(jīng)過半個世紀的醞釀與如此眾多的數(shù)學(xué)家的努力之后，微分和積分的大量知識積累起來了。但這些知識都是零散的，在創(chuàng)建

19、微積分的過程中所需要的最后一步也是最關(guān)鍵的一步是：以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系，創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正規(guī)程序或算法。這個工作是由兩位巨人各自獨立完成的。,25,PPT學(xué)習(xí)交流,一、牛頓和流數(shù)術(shù),1.3 巨人登場：微積分的發(fā)現(xiàn),艾薩克牛頓爵士（1642年1727）英格蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士。 1687年發(fā)表的論文自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此后三個世紀里物理世界的科學(xué)觀點，并成為了現(xiàn)代工程學(xué)的基礎(chǔ)。他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然

20、定律；從而消除了對太陽中心說的最后一絲疑慮，并推動了科學(xué)革命。,26,PPT學(xué)習(xí)交流,1、I dont know what I may seem to the world,but,as to myself,I seem to have been only like a boy playing on the sea shore,and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,whilst the great ocean of truth lay all

21、 undiscovered before me. 譯文：我不知道在別人看來，我是什么樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。 2、If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants. 譯文：如果說我比別人看得更遠些,那是因為我站在了巨人的肩上.,27,PPT學(xué)習(xí)交流,牛頓生于1642年，是遺腹子且早產(chǎn)，生后

22、勉強存活。2、3歲時母親改嫁，與外祖母一起生活，讀過了一個孤獨寡歡的童年。少年牛頓不是神童，但酷愛讀書與制作玩具。 1661年進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研了笛卡兒、開普勒、伽利略和沃利斯等人的數(shù)學(xué)和物理學(xué)著作。就數(shù)學(xué)思想形成而言，笛卡兒的幾何學(xué)與沃利斯的無窮算術(shù)對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1665年，牛頓躲避瘟疫離?；氐郊亦l(xiāng)，度過了兩年的鄉(xiāng)村生活。他一生的三大成就（微積分、光的性質(zhì)和萬有引力定律）的藍圖都是在這一時期繪就的。,28,PPT學(xué)習(xí)交流,牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒的幾何學(xué)，對迪卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并

23、試圖尋找更好的方法。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明了“流數(shù)術(shù)”，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”。1666年10月，牛頓將這兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性的論文，此文現(xiàn)以流數(shù)簡論著稱，流數(shù)簡論是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。然而，遺憾的是牛頓只讓它在朋友與同事中傳閱，未正式發(fā)表。,29,PPT學(xué)習(xí)交流,在這篇論文中，牛頓以運動學(xué)為背景，實際上以速度的形式引進了“流數(shù)”概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語。牛頓在流數(shù)簡論中提出微積分的基本問題如下： （a) 設(shè)有兩個或更多個物體A,B,C在同一時刻內(nèi)描畫線段x,y,z。已知表示這些

24、線段關(guān)系的方程，求它們的速度p,q,r,的關(guān)系。 （b) 已知表示線段x和運動速度p,q之比p/q的關(guān)系方程式，求另一線段y。,30,PPT學(xué)習(xí)交流,在解決問題中，牛頓引入了時間的無窮小瞬o的概念，并指出：“正如速度為p的物體A在某一瞬描畫的無窮小線段為po，速度為q的物體B在同一瞬內(nèi)將描畫出無窮小線段qo，這樣，若在某一瞬已描畫的線段是x和y，則至下一瞬它們將變成x+po和y+qo?！蔽覀円缘芽柼岢龅膯栴}為例，看看牛頓解決第一類為題的方法。 例：笛卡爾問題的牛頓的解法。,31,PPT學(xué)習(xí)交流,牛頓對所有多項式給出了問題(a)的標(biāo)準的算法。 更值得關(guān)注的是牛頓對問題 (b)的解法。事實上，牛

25、頓是把問題(b)看作問題(a)的解的逆運算，并且也是逐步列出了標(biāo)準算法。特別重要的是，流數(shù)簡論中討論了如何借助于這種逆運算來求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”。牛頓在流數(shù)簡論中是這樣推導(dǎo)微積分基本定理的： 面積z在點x處的變化率是曲線在該點處的y值。,32,PPT學(xué)習(xí)交流,作為例子，牛頓算出縱坐標(biāo)為y=xn的曲線下的面積是xn+1/(n+1)；反之縱坐標(biāo)為xn+1/(n+1)的曲線的斜率為xn。 當(dāng)然，流數(shù)簡論中對微積分基本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下的嚴格證明。牛頓在后來的著作中對微積分基本定理又給出了不依賴于運動學(xué)的較為清楚的證明。 在牛頓之前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，

26、牛頓則從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積。,33,PPT學(xué)習(xí)交流,牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法正、反流數(shù)術(shù)，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類元算進一步統(tǒng)一成整體，正是在這個意義上，我們說牛頓發(fā)明了微積分。 流數(shù)簡論標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年回到劍橋，對自己的重大發(fā)現(xiàn)卻未加宣揚。此后20多年，牛頓始終不渝地努力改進、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了3篇微積分論文。,34,PPT學(xué)習(xí)交流,分析學(xué)（完成于1669年）、流數(shù)法（完成于1671年）和求積術(shù)（完成于1691年）。 這三篇論文反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程。第一篇分

27、析學(xué)體現(xiàn)了牛頓微積分與無窮級數(shù)緊密結(jié)合的特點。關(guān)于微積分本身，論文一開始敘述了計算曲線y=f(x)下面積的法則。牛頓在論證中取x而不是時間t的無限小增量“瞬”為o，回避了流數(shù)簡論中的運動學(xué)背景，然而卻將“瞬”看成是靜止的無限小量，有時直截了當(dāng)令其為0，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。第二篇流數(shù)法可以看作是1666年流數(shù)簡論的直接發(fā)展。牛頓在其中又恢復(fù)了運動學(xué)觀點，但對以物體速度為原型的流數(shù)概念作了進一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)”。,35,PPT學(xué)習(xí)交流,流數(shù)法以清楚明白的流數(shù)語言表述微積分的基本問題為： “已知流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系”； 以及反過來 “已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量

28、間的關(guān)系”。 大約到17世紀80年代中，牛頓關(guān)于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，這就是“首末比方法”的提出。該方法首先已幾何的形式在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 （1687年）一書中發(fā)布，其詳細的分析表述則是在求積術(shù)中給出的。,36,PPT學(xué)習(xí)交流,求積術(shù)是牛頓最成熟的微積分論著。 例：流數(shù)的求法 牛頓在求積術(shù)中第一次引進了后來被普遍采用的流數(shù)記號，即點記號。 牛頓對于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹慎。他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促下拿出來發(fā)表。上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇求積術(shù)（1704年），分析學(xué)和流數(shù)法分別發(fā)表于1711年和1736年。牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687

29、年出版的力學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理之中。,37,PPT學(xué)習(xí)交流,牛頓在數(shù)學(xué)上的貢獻除了微積分的創(chuàng)立外還有： 代數(shù)名著普遍算術(shù)包含了方程論的許多重要成果。如虛根成對出現(xiàn)、笛卡兒符號法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等。 幾何杰作三次曲線的枚舉首創(chuàng)三次曲線的整體分類研究，是解析幾何發(fā)展新的一頁。 此外，牛頓的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、幾何概率和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。,38,PPT學(xué)習(xí)交流,可能是由于早年經(jīng)歷所致，牛頓性格沉郁內(nèi)向，不善在公眾場合表達思想。牛頓終身未娶，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家。牛頓的許多言論、軼聞，就是凱瑟琳和她丈夫記錄流傳下來的。 1703年牛頓擔(dān)任了皇家學(xué)會的會長。1705年被女王

30、安娜封爵，達到了他一生榮譽之巔。1727年牛頓去世，葬禮極為隆重。當(dāng)時參加了牛頓葬禮的伏爾泰“看到英國的大人物都爭抬牛頓的靈柩”，感慨說：“英國人悼念牛頓就像悼念一位造福于民的國王”。,39,PPT學(xué)習(xí)交流,二、萊布尼茲的微積分 在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茲分享榮譽。,萊布尼茲(16461716）德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。,“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”萊布尼茲,40,PPT學(xué)習(xí)交流,萊布尼茲1646年生于德國萊比錫一個教授家庭。他

31、6歲時父親去世，但給他留下了豐富藏書。1661年，15歲的萊布尼茨進入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、迪卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思想。1667年，他獲得阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，這一年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文論組合的藝術(shù)。次年擔(dān)任了緬因茨選帝候的外交官，后被派往巴黎任大使。萊布尼茲在巴黎居留了4年（16721676），這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓呆在家鄉(xiāng)的兩年類比，萊布尼茲許多重大成就包括創(chuàng)立微積分都是這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)。1676年后，漢諾威成了他的永久居住地，在那里擔(dān)任不倫瑞克公爵樞密顧問兼圖書館館長。,41,PPT學(xué)習(xí)交流,在巴黎期間，萊布尼

32、茲結(jié)識了荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯?；莞瓜仁墙唤o他一個問題：求三角形數(shù)倒數(shù)組成的級數(shù)之和。他成功解決了這個問題后，在惠更斯的指點下，開始研究數(shù)學(xué)。通過自學(xué)卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，迅速走到數(shù)學(xué)的前沿。不久后開始研究當(dāng)時數(shù)學(xué)家普遍關(guān)注的求曲線的切線以及求平面曲線所圍的面積、立體圖形體積等問題。 與牛頓流數(shù)論的運動學(xué)背景不同，萊布尼茲創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1673年，在研究帕斯卡的論文關(guān)于四分之一圓的正弦時，他從這篇短文的一個例子中“突然看到一束光明”。他發(fā)現(xiàn)可以對任意給定的曲線都可以構(gòu)造論文中的那種特征三角形。,42,PPT學(xué)習(xí)交流,不久后，萊布尼

33、茲根據(jù)惠更斯的勸告，又開始研讀迪卡兒的理論，他發(fā)現(xiàn)“求切線不過是求差，求積不過是求和，只要這些差是不可比擬地小的”。這段來自萊布尼茲本人的話，是后來他對自己最初邁出的幾步所做的總結(jié)。我們沿著他的總結(jié)，去看看他是如何從自己的早期工作基礎(chǔ)上拓展處微積分思想的。 考慮定義在某區(qū)間上的一條曲線。把區(qū)間分為許多子區(qū)間，把每個分點xi對應(yīng)的縱坐標(biāo)記為yi。構(gòu)造這些縱坐標(biāo)差的序列yi,那么它的和等于最末和最開始的縱坐標(biāo)的差（一般取最開始縱坐標(biāo)為0）。萊布尼茲引進了新的記號dy表示無窮小的差，無窮多無窮小縱坐標(biāo)的和用表示。那么就有dy = y。,43,PPT學(xué)習(xí)交流,反過來，也有dy = y，但沒有明確的幾何

34、解釋。萊布尼茲作了這樣的修正： dydx = ydx。 因而，萊布尼茲是把微分看作變量相鄰兩值無限小的差，而積分則是由變量分成無窮多個微分之和。事實上，萊布尼茲把最初的微積分就稱為求差的方法與求和的方法。因為求差與求和的運算是互逆的，因此當(dāng)萊布尼茲從這一思路去發(fā)展微積分時，微積分定理是顯然的。,44,PPT學(xué)習(xí)交流,與他關(guān)于特征三角形的研究相結(jié)合，他認識到：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值但這些 差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和。在這種認識下，萊布尼茲在1677年的一篇手稿中用與牛頓不同的方式得到了微積分基本定理。在1693年的另一篇手稿中，萊

35、布尼茲更清楚地闡述了微分與積分的互逆關(guān)系，表明他已經(jīng)純熟地掌握了微積分的原理。,45,PPT學(xué)習(xí)交流,如上所述，萊布尼茲從1672年開始認真研究數(shù)學(xué)，隨后在巴黎的4年是他在數(shù)學(xué)方面“發(fā)明創(chuàng)造的黃金時代”，在這期間，他構(gòu)想出他所建立的微積分的主要特征。此后多年，萊布尼茲又一直改進并發(fā)展自己的微積分理論。1684年，萊布尼茲發(fā)表了題名簡稱為新方法的第一篇微分學(xué)論文，它概括、總結(jié)了萊布尼茲自1673年以來微分學(xué)研究方面取得的成果。其中明確陳述了他1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式，給出了復(fù)合函數(shù)的微分法則，并將乘積微分法推廣到高階微分的情形。,46,PPT學(xué)習(xí)交流,1686年

36、，萊布尼茲又發(fā)表了題為深奧的幾何與不可分量及無限的分析的第一篇積分學(xué)論文。這篇文章總結(jié)了他在積分學(xué)方面的多年研究成果，初步討論了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。 萊布尼茲認識到好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx 表示x的微分，表示積分，這些符號體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實質(zhì)，后來獲得普遍接受并沿用至今。相對而言，牛頓的點符號在某些場合還在使用，而表示積分的撇符號完全被淘汰了。,47,PPT學(xué)習(xí)交流,除了創(chuàng)立微積分外，萊布尼茲還在許多方面發(fā)展了這門新的數(shù)學(xué)分支。如研究了無窮級數(shù)；在微分方程方面于1691

37、年提出了求解常微分方程的分離變量法等。 萊布尼茲還是位科學(xué)活動家，從1695年起，萊布尼茨就一直為在柏林建立科學(xué)院四處奔波1700年，終于一手促成了柏林科學(xué)院的創(chuàng)建并出任首任院長。彼得堡科學(xué)院、維也納科學(xué)院也是在他的倡議下成立的。據(jù)說他還曾寫信給康熙皇帝建議成立北京科學(xué)院。,48,PPT學(xué)習(xí)交流,萊布尼茨一生沒有結(jié)婚，沒有在大學(xué)當(dāng)教授。晚年凄慘悲涼，1716年臥床一年后離開人世，終年70歲。彌留之際，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘書艾克哈特。一位朋友在回憶錄中寫道：萊布尼茲的 “喪事辦得更像是埋葬強盜，而不是為這個國家的光輝人物送行”。1793年，在他的居住地漢諾威人們?yōu)樗⒘思o念碑；1

38、883年，在萊比錫的一座教堂附近豎起了他的一座立式雕像；1983年，漢諾威市政府照原樣重修了被毀于第二次世界大戰(zhàn)中的“萊布尼茨故居”，供人們瞻仰。,49,PPT學(xué)習(xí)交流,然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學(xué)上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，（牛頓：（16651667）萊布尼茲（16721676） ），但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓。萊布尼茲分別在1684年和1686年發(fā)表了他的微分和積分著作；而牛頓則是在1687年出版的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中公開表述了他的微積分學(xué)說。因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學(xué)方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學(xué)的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。,三、巨人之爭,50,PPT學(xué)習(xí)交流,優(yōu)先權(quán)爭論被認為是“科學(xué)史上最不幸的一章”。微積分發(fā)明權(quán)的爭論，對整個18世紀英國與歐洲大陸國家在數(shù)學(xué)發(fā)展上的分道揚鑣，產(chǎn)生了嚴重影響。雖然牛頓在微積分應(yīng)用方面的輝煌成就極大地促進了科學(xué)進步，但由于英國數(shù)學(xué)家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠離分析的主流。分析的進