1、兩種平面問題的比較,5-8 楔形體受重力及液體壓力,設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。,o,y,x,n,用半逆解法求解。,因?yàn)閼?yīng)力 , 而應(yīng)力的量綱只比,高一次（L），,所以應(yīng)力,(x , y 一次式）,=,即可假設(shè)應(yīng)力為x , y 的一次式。,（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:,（2）由應(yīng)力 關(guān)系式， 應(yīng)為x,y的三次式，,（3） 滿足相容方程,（4）由 求應(yīng)力，,（5）考察邊界條件-本題只有兩個大邊 界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件。,x=0 鉛直面，,解出,解出,斜邊界上，,須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有,其中,由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答,水平截面上的應(yīng)力

2、分布如圖所示。,例題1,設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計， 圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù) 求解 應(yīng)力分量。,圖3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,解：,本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù) ，可按下列步驟求解。,1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。,2. 將 代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量。,考察邊界條件： 主要邊界 上應(yīng)精確滿足式(2-15),在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖3-5中表示了負(fù)x面上的 的正方向，由此得：,由(a),(b) 解出,最后一個次要邊界條件(x=l

3、上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。,代入應(yīng)力公式，得,例題2,擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應(yīng)力分量。,y,o,x,解：,用半逆解法求解。,假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 因?yàn)樵?y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 沿x 向 也是一次式變化，即,2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測 的形式，,所以,3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得,要使上式在任意的x處都成立，必須,代入 ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。,4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應(yīng)力

4、分量為,考察邊界條件： 主要邊界 上,有,得,得,得,由上式得到,求解各系數(shù)，由,得,得,得,得,由此得,又有,代入A,得,在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：,由式(g),(h)解出,代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得最后的應(yīng)力解答：,例題3,已知,試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？,解：,作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，,將 代入，,(a) 其中A= 0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；,(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。,例題4,圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù),求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。,b,b,

5、A,y,x,h,O,F,Fb/2,解：,應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：,(1) 校核 相容方程 ，滿足.,(2) 求應(yīng)力分量 ，在無體力時，得,(3) 考察主要邊界條件，,均已滿足,考察次要邊界條件，在y=0上，,滿足。,得,得,上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。,代入，得應(yīng)力的解答，,(4) 求應(yīng)變分量，,(5) 求位移分量，,將u,v代入幾何方程的第三式，,兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即,從上式分別積分，求出,代入u,v, 得,再由剛體約束條件，,得,得,得,代入u,v,得到位移分量的解答,在頂點(diǎn)x=y=0，,例題5,圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函

6、數(shù),求解應(yīng)力分量。,y,x,o,h/2,h/2,l,解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：,(1) 將 代入相容方程，,由此，,(2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得,(3) 考察主要邊界條件,對于任意的x值，上式均滿足，由此得,(a),(b),(c),(d),由(3)+(4)得,由(3)-(4)得,由(5)-(1)得,(e),(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由,得,由式(2)和(6)解出,（f）,另兩個積分的邊界條件，,顯然是滿足的。,于是將各系數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得最后的應(yīng)力解答。,讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件是滿足的，,例題6,矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩M的作用，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù),求解其應(yīng)力分量。,M,q,q,h,y,x,o,b/2