1、二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個(gè)？,45,下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？,計(jì)算(a+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表,對(duì)稱性,詳解九章算法中記載的表,楊 輝,楊輝三角,每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1 從第二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和,展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：,從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是：,當(dāng) 時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn),（1）對(duì)稱性,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,這一性質(zhì)可直接由公式 得到,圖象的對(duì)稱軸：,（2）增減性與最大值,由于：,所以

2、相對(duì)于 的增減情況由 決定,由：,可知，當(dāng) 時(shí)，,二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。,（2）增減性與最大值,（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和,在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：,這就是說(shuō)， 的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：,（1）,一般地， 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下基本性質(zhì)：,（2）,（4）,（對(duì)稱性）,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 1,第5行 1 5 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,第7行 1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=,35,

3、5,15,20,10,4,“斜線和”,=,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如圖，寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和，,這就是著名的斐波那契數(shù)列 ，也稱為兔子數(shù)列。,斐波那契數(shù)列,斐波那契 （11701250）,意大利商人兼數(shù)學(xué)家,他的著作算盤書(shū)中,首先引入阿拉伯?dāng)?shù)字，將“十進(jìn)制”介紹給歐洲人認(rèn)識(shí)，對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。,例1 證明：在(a+b)n展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。,在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：,已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4),變式:若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？,解,類型：求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng),方法:利用通項(xiàng)公式建立不等式組,變式練習(xí)： 在(3x -2y)20的展開(kāi)式中，求： (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).,解:(2)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)