1、個人住房抵押貸款以及其它金融問題,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),正如文學(xué)誘導(dǎo)人們的情感一樣，數(shù)學(xué)啟發(fā)人們的想象與推測。 Chaserole,方法就是把我們應(yīng)注意的事物進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗团帕? R.Descartes,實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 介紹差分方程, 復(fù)習(xí)：數(shù)列及其極限、線性代數(shù)方程 組、矩陣及其運(yùn)算、方程的求根, 運(yùn)用 Mathematica 進(jìn)行迭代運(yùn)算、求 根、矩陣等運(yùn)算, 學(xué)習(xí)相關(guān)問題建模,背景,隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正越來越多地進(jìn)入普通人的生活：貸款、保險養(yǎng)老金和信用卡等；個人住房抵押貸款是其中重要的項(xiàng)。,個人住房商業(yè)抵押貸款 養(yǎng)老保險 金融公司的支付基金的流動,本節(jié)主要討論：,小知識個人住房貸款,個人住房貸款是指

2、銀行向借款人發(fā)放的用于購買自用普通住房的貸款。借款人申請個人住房貸款時必須提供擔(dān)保。目前，個人住房貸款主要公積金貸款、商業(yè)貸款和組合貸款三種。,1、住房公積金貸款:是指由各地住房公積金管理中心運(yùn)用職工以其所在單位所繳納的住房公積金，委托商業(yè)銀行向繳存住房公積金的在職職工和在職期間繳存住房公積金的離退休職工發(fā)放的房屋抵押貸款 2、個人住房商業(yè)貸款:是中國公民因購買商品房而向銀行申請的一種貸款，是銀行用其信貸資金所發(fā)放的自營性貸款。 3、組合貸款:是指符合個人住房商業(yè)性貸款條件的借款人又同時繳存住房公積金的，在辦理個人住房商業(yè)貸款的同時還可以申請個人住房公積金貸款，及借款人以所購本市城鎮(zhèn)自住住房（

3、或其他銀行認(rèn)可的擔(dān)保方式）作為抵押可同時向銀行申請個人住房公積金貸款和個人住房商業(yè)性貸款。,首付比例：買房子時不能全部貸款。要先付一部分，余下的從銀行貸款?，F(xiàn)在的要求是付房款的20%-30%。因?yàn)榭紤]到貸款的還款風(fēng)險，相關(guān)的部門都會要求購房人提供一部分首付，就是預(yù)先由個人支付一部分房款，以證明你有還款能力。,還款方式 貸款期限在一年以上的房屋貸款還款方式一般有等額本金還款和等額本息還款兩種。 1、等額本金 是在還款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。 每月還款金額 = （貸款本金 / 還款月數(shù)）+（本金 已歸還本金累計(jì)額）每月利率 特點(diǎn)：由于每月的還款本金

4、額固定，而利息越來越少，貸款人起初還款壓力較大，但是隨時間的推移每月還款數(shù)也越來越少。 2、等額本息 在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)。 每月還款金額 = 貸款本金月利率（1月利率）還款月數(shù)（1月利率）還款月數(shù)1 特點(diǎn)：相對于等額本金還款法的劣勢在于支出利息較多，還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。但該方法每月的還款額固定，可以有計(jì)劃地控制家庭收入的支出，也便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。,實(shí)際案例,1998年12月，中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平 ,其中貸款利率如下表所列:, 中國人民銀行再次調(diào)整存、貸款利率,貸款期限半

5、年 1年 3年 5年 5年以上 利率/ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,(當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時，利率為對應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者.),最新貸款利率表（ 2010年10月20日） 貸款期限半年 1年 3年 5年 5年以上 利率/ 5.10 5.56 5.60 5.96 6.14,根據(jù)央行的貸款利率表，上海商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率作出相應(yīng)調(diào)整，公布新的利率表和還款表,個人住房商業(yè)抵押貸款年利率表 貸款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,個人住房商業(yè)抵押貸款(萬元)還款表 貸款期 年 1 2 3

6、4 5 月 12 24 36 48 60 月還款額 到期一次還清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息總額 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,提出問題,個人住房商業(yè)抵押貸款年利率表和個人住房商業(yè)抵押貸款還款表是如何根據(jù)中央銀行的貸款利率水平制定的？,分析一下年利率和月還款額表：,貸款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 貸款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月還款額 到期一次還清 444.356 305.98

7、96 237.2649 196.4118 本息總額 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,建立模型 (差分方程),則由Ak到Ak+1，應(yīng)有 Ak+1-AkrAk-m 即得模型,Ak+1(r1)Ak -m (k=0,1,),其中r為利息，當(dāng)然應(yīng)該用月利率 r0.06255/120.0052125,設(shè)貸款后第k個月時欠款余數(shù)為Ak ,月還款額m元,另外顯然有 A010000,分析求解, 月還款額的確定,令 BkAkAk1 , (k1，2,.),推得 Bk+1(1+ r)Bk (等比) 從而 Bk+1B1(1+ r)k,利用以上關(guān)系導(dǎo)出,AkA0(1

8、+ r)k(1+ r)k1m/r,Bk+1 Ak+1Ak (r1)Ak -m ) (r1)Ak-1-m ),A010000, k24 ,A24= 0 r0.0052125,M A0(1+ r)k r/(1+ r)k1,= 52.125(1.0052125)24 /(1.0052125 )241,In1:= 52.125*1.005212524/(1.0012524-1) Out1= 444.356 (24個月還款本息總額10664.54元),考慮二年期情況：,使用Mathematica, 年利率如何得到,比較央行公布貸款利率與上海住房商業(yè)貸款， 有數(shù)字相同：6.12、6.66，但年限不同,中間

9、年限的利率如何得出 (建議作圖，從得到線性插值),任務(wù)1：制定住房商業(yè)性貸款利率表和還款表, 還款周期越短越好嗎,如果逐年還款，對二年期貸款，用公式 AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r 其中: r= 0.06255 應(yīng)為年利率 k=2 年還款額為m=5473.867元 本息總額 2m=10947.63元， 比逐月還款本息總額10664.54元多,任務(wù)2：討論還款周期問題,對于公式 Ak+1(r1)Ak m (*),平衡點(diǎn),若 Ak+1Ak = A,則 A=m/r 成為方程（*）的平衡點(diǎn),由此若 A0m/r 則衡有 Akm/r,這就意味著如果貸款利率r和月還款額m固定，第一個月還m/r

10、,正好抵上利息，每個月的欠款額始終不變。(穩(wěn)定） 若第一個月還款大于或小于m/r，則欠款額就會遠(yuǎn)離m/r（不穩(wěn)定）,對于一般差分方程 Ak+1f(Ak),平衡點(diǎn)（續(xù)）,當(dāng)初始值A(chǔ)0稍大于或小于差分方程的平衡點(diǎn)A時 若有 AkA (k),稱A為穩(wěn)定的，否則稱A為不穩(wěn)定的,判斷A是否穩(wěn)定的方法是： |f(Ak)|1,A是不穩(wěn)定的,其它金融或經(jīng)濟(jì)問題, 養(yǎng)老保險,某保險公司的一份材料指出：在每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時月養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元., 問題,交保險費(fèi)所得利率如何？(假定投保人所得完

11、全由其交款及利息產(chǎn)生),(注意：顯然結(jié)果依于投保人壽命),設(shè)投保人在投保后第k個月所交保險費(fèi)及利息的累計(jì)總額Fk為，那么易得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的差分方程,Fk+1=Fk(1+ r) p, k = 0,1, N Fk+1=Fk(1+ r) q, k =N+1, M,其中p、q分別為60歲前所交月保險費(fèi)和60歲起所領(lǐng)月養(yǎng)老金的數(shù)目(元)，r是所交保險金獲得的利率，N, M分別是自投保起至停交保險費(fèi)和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時間(月).顯然M依賴于投保人的壽命,取 M= 75(歲) （統(tǒng)計(jì)平均值）,以25歲起投保為例,則有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600,如前可推出差

12、分方程的解,Fk = F0 (1+ r )k (1+ r )k1 p/r, k = 0, 1, N Fk = FN (1+ r )k N (1+ r )k1 q/r, k =N+1, M,在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F0 = FM = 0，消去FN ，,(1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0,記 x 1+ r， 代入數(shù)據(jù) x60012.41x18011.410,( Newton法,方程求根),使用Mathematica,In2:= FindRootx600-12.41x180+11.41 = =0,x,1.01 Out1= x-1.00485,x

13、1.00485 , r 0.00485,交保險費(fèi)所得月利率為 0.00485 年利率為 0.0582,某保險公司的推出結(jié)合養(yǎng)老的壽險 計(jì)劃，例子為：若40歲的男性投保人每 年交保險費(fèi)1540元，交費(fèi)期20年至60歲,任務(wù)3：一個人壽保險計(jì)劃的利率分析,試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？若該投保人的壽命為74歲，其交保險費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率又是多少？,則在他生存時期，45歲時(投保滿5年)可獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼；而在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元,每過一周 A城公司

14、基金10 B城公司 A城公司 B城公司基金12, 金融公司的支付基金的流動,(形式的推廣) 新問題,總額$540萬基金,放置A公司和B公司 要求：周末結(jié)算時總額仍為$540萬,A公司基金額A0$260萬 B公司基金額B0$280萬, 問題 資金流動趨勢？ 會否少于警戒數(shù)220(萬), 數(shù)學(xué)模型,設(shè)第k周末結(jié)算時,A城公司和B城公司支付基金數(shù)分別為ak和bk(單位:萬美元),則有,差分方程組,ak+1= 0.9ak + 0.12 bk bk+1= 0.1ak + 0.88 bk, 觀察數(shù)據(jù) 通過對數(shù)據(jù)的觀測估計(jì)結(jié)論 (12周數(shù)據(jù)),Fora0=260;b0=280;k=0,k=12,k+, Pr

15、intk; ak+1=0.9ak+0.12bk;Printak/N; bk+1=0.1ak+0.88bk;Printbk/N,使用Mathematica,A城公司基金數(shù)在逐步增加,但增幅逐步變小;B城公司的基金數(shù)變化則正好相反.,任務(wù)4 ak是否有上界、bk是否有下界? bk是否會小 于220？, 矩陣形式,導(dǎo)出表達(dá)式,進(jìn)一步的任務(wù),根據(jù)兩地公司的業(yè)務(wù)情況，該金融機(jī)構(gòu)決定在每周末結(jié)算時，將A城公司的基金增加$6萬，相應(yīng)地B城公司的支付基金減少$6萬.,此時，機(jī)構(gòu)中一位的職員 (他曾就讀于某大學(xué)數(shù)學(xué)系)向 機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)人建議將增減數(shù)額改 為$5.5萬.,任務(wù)5:試問機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)人是否應(yīng)該采納這個建議， 為什么？,此任務(wù)可改作修改，例如周末分別給A、B公司增減加資金3，可嘗試討論,ak+1= 0.9ak + 0.12 bk+m bk+1= 0.1ak + 0.88