1、1 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)求極限的求極限的 14 種方法種方法 一、一、極限的極限的定義定義 1.極限的保號(hào)性很重要：設(shè)Axf xx )( lim 0 ， （i）若 A0，則有0，使得當(dāng)|0 0 xx時(shí)，0)(xf； （ii）若有, 0使得當(dāng)|0 0 xx時(shí)，0A, 0)(則xf。 2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為x時(shí)函數(shù)的極限和 0 xx 的極限。要特別注意判定極 限是否存在在： （i）數(shù)列 的充要條件收斂于a n x是它的所有子數(shù)列均收斂于 a。常用的是其推論，即“一個(gè)數(shù)列收斂于 a 的 充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于 a” （ii）A x xf x Axf x limli

2、mlim )()( (iii) A xxxx Axf xx limlimlim 00 0 )( (iv)單調(diào)有界準(zhǔn)則 （v）兩邊夾擠準(zhǔn)則（夾逼定理/夾逼原理） （ vi ） 柯 西 收 斂 準(zhǔn) 則 （ 不 需 要 掌 握 ） 。 極 限 )( lim 0 xf xx 存 在 的 充 分 必 要 條 件 是 ： | )()(|)(, 0, 0 21021 xfxfxUxx o 時(shí)，恒有、使得當(dāng) 二二解決極限的方法如下：解決極限的方法如下： 1.等價(jià)無(wú)窮小代換。只能在乘除 時(shí)候使用。例題略。 2.洛必達(dá)（Lhospital）法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法） 它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首

3、先必須是 X 趨近，而不是 N 趨近，所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求 x 趨 近情況下的極限，數(shù)列極限的 n 當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的，不可能是負(fù)無(wú)窮。其次,必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在，假 如告訴 f（x）、g（x）,沒(méi)告訴是否可導(dǎo)，不可直接用洛必達(dá)法則。另外，必須是“0 比 0”或“無(wú)窮大比無(wú)窮大”, 并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為 0。洛必達(dá)法則分為 3 種情況： （i）“ 0 0 ”“ ”時(shí)候直接用 (ii)“0”“”，應(yīng)為無(wú)窮大和無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通 項(xiàng)之后，就能變成(i)中的形式了。即 )( 1 )( )()( )( 1 )( )()( xf xg xgxf

4、 xg xf xgxf或 ； )()( 1 )( 1 )( 1 )()( xgxf xfxg xgxf (iii)“ 0 0”“ 1”“ 0 ”對(duì)于冪指函數(shù),方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，即 e xfxg xg xf )(ln)( )( )( ， 這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，變成“0”型未定式。 2 3.泰勒公式(含有 x e的時(shí)候，含有正余弦的加減的時(shí)候） 1 2 )!1(! 2 1 n xn x x n e n xx xe ； 321 1253 )!32( cos ) 1( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin mm m m x m x m xxx xx cos= 221 242

5、 )!22( cos ) 1( )!2( ) 1( ! 4! 2 1 mm m m x m x m xxx ln（1+x）=x- 1 1 1 32 )1)(1( ) 1() 1( 32 n n n n n xn x n xxx (1+x) u = 1112 )1 ( ! 2 ) 1( 1 nnun u nn u xxCxCx uu ux 以上公式對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助 4.兩多項(xiàng)式相除:設(shè)均不為零 mn ba ,， P（x）= 01 1 1 axaxaxa n n n n , 01 1 1 )(bxbxbxbxQ m m m m (i) )( , )( , 0 )( , )( )( lim mn

6、 mn nm b a xQ xP x n n （ii）若0)( 0 xQ，則 )( )( )( )( 0 0 lim 0 xQ xP xQ xP xx 5.無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。 面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的 函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了。 6.夾逼定理： 主要是應(yīng)用于數(shù)列極限， 常應(yīng)用放縮和擴(kuò)大不等式的技巧。 以下面幾個(gè)題目為例： （1） 設(shè)0cba， nnnn n cbax，求 n n x lim 解：由于aaaaaxa n nn n n )3(, 3 limlim 以及，由夾逼定理可知axn n

7、lim （2）求 222 )2( 1 ) 1( 11 lim nnn n 解：由 nnnnnnn 1111 )2( 1 ) 1( 11 0 222222 ，以及0 1 0 limlim n nn 可知，原式=0 (3)求 nnnnn 222 1 2 1 1 1 lim 解：由 nn n nnnnnnnn n n nnn 222222 1111 2 1 1 1 1 111 ,以及 3 1 1 1 1 1 limlimlim 2 n nn n nnn 得，原式=1 7.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（等比數(shù)列的公比 q 絕對(duì)值要小于 1）。例如： 求 12 321 lim n n nxxx ) 1

8、|(|x。提示：先利用錯(cuò)位相減得方法對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子求和。 8.數(shù)列極限中各項(xiàng)的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)數(shù)列）。例如： ) 1( 1 32 1 21 1 lim nn n = 1 ) 1( 1 1 ) 1( 11 3 1 2 1 2 1 1 limlim nnn nn 9.利用 1nx xx 與極限相同求極限。例如： （1）已知 n n a aa 1 2, 2 11 ，且已知 n n a lim 存在，求該極限值。 解:設(shè) n n a lim =A，（顯然 A0）則 A A 1 2 ，即012 2 AA，解得結(jié)果并舍去負(fù)值得 A=1+2 （2）利用 單調(diào)有界的性質(zhì) 。 利用這種方法

9、時(shí)一定要先證明單調(diào)性和有界性。 例如 設(shè) n n nn xxxxx lim ,2,22,2 121 求 解：（i）顯然2 21 xx（ii）假設(shè), 2 1 kk xx則2222 1 kk xx，即2 1 kk xx。所以， n x是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)A n lim ，（顯然)0A則AA2，即02 2 AA。 解方程并舍去負(fù)值得 A=2.即2 lim n n x 10.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。 （i） 1 sin lim 0 x x x 常用語(yǔ)含三角函數(shù)的“ 0 0” 型未定式 (ii)exx x 1 0 1 lim ，在“ 1”型未定式中常用 11.還有個(gè)非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無(wú)

10、窮大時(shí)候不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的， n n快于 n！,n！快 于指數(shù)型函數(shù) n b(b 為常數(shù))，指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù),冪函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)。當(dāng) x 趨近無(wú)窮的時(shí)候，它們比值的 極限就可一眼看出。 12.換元法。這是一種技巧，對(duì)一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中。例如：求極限 x x x 2sin 2 arccos lim 0 。解：設(shè)ttxtxxtsin) 2 cos(, 00, 2 arccos 且時(shí)，則。 原式= 2 1 sin22 2 arccos 2 2 arccos 2sin 2 limlimlim 000 t t x x x x x x txx 13利用定積分求數(shù)列極限。例如：求極限 nnnn n 1 2 1 1 1 lim 。由于 n i n in 1 1 1 ，所以 4 2ln 11 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 limlim xn n n n nnnn nn 14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求“ 0 0”型未定式極限。一般都是 x0 時(shí)候，分子上是“ )()(afxaf”的形式，看見(jiàn)了這 種形式要注意記得利用導(dǎo)數(shù)的定義。（當(dāng)題目中告訴你m ）（af告訴函數(shù)在具體某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值時(shí)，基本上 就是暗示一定要用導(dǎo)數(shù)定義） 例:設(shè) )(, 0)( afaf 存在，求 n n af