1、3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),新知探求,課堂探究,新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成,知識點一,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的圖象如圖所示:,極值點與極值,問題1:y=f(x)在x1,x2,x3,x4處的導(dǎo)數(shù)等于多少? 答案:都等于零. 問題2:在x=x1和x=x2附近兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f(x)的符號有什么特點? 答案:f(x)在x=x1左側(cè)符號為正,右側(cè)符號為負; 在x=x2左側(cè)符號為負,右側(cè)符號為正. 問題3:函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎?在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值和極小值是否唯一? 答案:函數(shù)的極大值不一定大于極小值,如圖所示極大值f(x1)小于極小值f(x4).函數(shù)的極大值和極小值并不唯一如f(x1),f(x3)

2、都是極大值;f(x2),f(x4)都是極小值. 問題4:導(dǎo)數(shù)等于零的點一定是極值點嗎?導(dǎo)數(shù)為零是該點為極值點的什么條件? 答案:導(dǎo)數(shù)等于零的點不一定是極值點,如y=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但x=0不是極值點;極值點的導(dǎo)數(shù)一定為零,因此導(dǎo)數(shù)為零是該點為極值點的必要不充分條件.,梳理 1.函數(shù)的極小值與極小值點 若函數(shù)f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值 ,且f(a)=0,而且在x=a附近的左側(cè) ,右側(cè) ,則點a叫做函數(shù)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)的極小值. 2.函數(shù)的極大值與極大值點 若函數(shù)f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值 ,

3、且f(b)=0,而且在x=b附近的左側(cè) ,右側(cè) ,則點b叫做函數(shù)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)的極大值.,都小,f(x)0,f(x)0,都大,f(x)0,f(x)0,知識點二,求定義域求f(x)求方程f(x)=0的根列表檢驗f(x)在f(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號下結(jié)論. 名師點津:(1)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件. (2)f(x0)=0時,x0不一定是極值點.,函數(shù)極值的求法,題型一,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,課堂探究 素養(yǎng)提升,【例1】 求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.,方法技巧 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定定義域,求導(dǎo)

4、函數(shù)f(x); (2)求解不等式f(x)0得增區(qū)間,求解f(x)0得減區(qū)間,再判斷f(x) =0的解左右f(x)的正負得極值點; (3)求出極值.,答案:0024,題型二,由極值求參數(shù),【例2】 (2017馬山縣期末)設(shè)x=-2與x=4是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點. (1)求常數(shù)a,b; (2)判斷x=-2,x=4是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.,解:(1)f(x)=3x2+2ax+b.可知x=-2和x=4是方程f(x)=0的兩根, 則a=-3,b=-24. (2)x=-2是f(x)的極大值點,x=4是f(x)的極小值點.理由如下: f(x)=3(x+2)(

5、x-4),得 當(dāng)x0; 當(dāng)-24時,f(x)0,則x=4是f(x)的極小值點.,方法技巧 已知函數(shù)的極值點,求參數(shù)問題的解題步驟 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x); (2)由極值點的導(dǎo)數(shù)為0,列出方程(組),求解參數(shù). (3)當(dāng)求出參數(shù)多于一組解時,一定要驗證是否滿足題目的條件.,即時訓(xùn)練2:(2016四川卷)我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.,(1)求直方圖中a的值; (2)設(shè)該市有30萬居民,估計全

6、市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù).說明理由;,解:(1)由頻率分布直方圖,可知:月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.5=0.04. 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5各組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a, 解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布,可以估計該市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人

7、數(shù)為300 0000.12=36 000.,(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).,解:(3)設(shè)中位數(shù)為x噸. 因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5, 而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5, 所以2x2.5. 由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.,題型三,函數(shù)極值的綜合應(yīng)用,【例3】 a為何值時,方程x3-3x2-a=0恰有一個實根、兩個不等實根、三個不等實根,有沒有可能無實根?,解:令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定義域為R. 方

8、程x3-3x2-a=0的根的個數(shù)即x3-3x2=a根的個數(shù), f(x)=x3-3x2與y=a交點個數(shù). 由f(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2, 所以當(dāng)x2時,f(x)0;當(dāng)00或a-4時,原方程有一個根; 當(dāng)a=0或a=-4時,原方程有兩個不等實根; 當(dāng)-4a0時,原方程有三個不等實根; 由圖象可知,原方程不可能無實根.,方法技巧 利用求函數(shù)極值的方法確定方程解的個數(shù)時,要根據(jù)所求極值,畫出函數(shù)的大致圖象,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解.,即時訓(xùn)練3:(2018鄭州高二監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)的定義域為-1,5,部分對應(yīng)值如表:,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示. (1)f(x)的極小值為;,答案:(1)0,(2)若函數(shù)y=f(x)-a有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍為.,解析:(2)y=f(x)的圖象如圖所示: 若函數(shù)y=f(x)-a有4個零點, 則a的取值范圍為1a2. 答案:(2)1,2),題型四,易錯辨析忽視函數(shù)極值存在的條件致誤,【例4