1、第三節(jié)圓的方程,1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圓心為_，半徑為_的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_,(a，b),r,x2y2r2,基礎(chǔ)梳理,不表示任何圖形,2. 圓的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為 2+ 2=.故有： (1)當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程表示以 _為圓心，以 _為半徑的圓； (2)當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè) 點(diǎn)_； (3)當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程_,3. P(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系(1)若(x0a)2(y0b)2_r2，則點(diǎn)P在圓外；(2)若

2、(x0a)2(y0b)2_r2，則點(diǎn)P在圓上；(3)若(x0a)2(y0b)2_r2，則點(diǎn)P在圓內(nèi),=,4. 求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：(1)根據(jù)題意，選擇_或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于_或_的方程組；(3)解出_或_，代入_或_,標(biāo)準(zhǔn)方程,a，b，r,D，E，F(xiàn),a，b，r,D，E，F(xiàn),標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方程,1.(必修2P100練習(xí)第2題改編)與x軸相切，且圓心為(2,1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_,(x2)2(y1)21,基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),解析：由題意知，圓的半徑為1，又圓心為(2,1)，故圓方程為(x-2)2+(y-1)2=1.,2. 若圓C的半徑為1，圓心在

3、第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.,解析：由題意，設(shè)圓心(x0,1)， =1， 解得x0=2或x0=- (舍去)， 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=1.,(x-2)2+(y-1)2=1,3. 已知D是由不等式組 所確定 的平面區(qū)域，則圓x2y24在區(qū)域D內(nèi)的弧長為_.,解析：直線x-2y=0與2x+y=0相交于原點(diǎn)，且 互相垂直，故圓x2+y2=4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 該圓周長的四分之一，即為 .,4. (必修2P100練習(xí)第6題改編)圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20(a， bR)對(duì)稱，則ab的取值范圍是_,解析：直線過圓心， -2a-2b

4、+2=0，即a+b=1. 1=(a+b)2=a2+2ab+b24ab， ab .,【例1】求過點(diǎn)A(2，3)、B(2，5) 且圓心在直線x2y30上的圓的方程.,解：圓心在直線x2y30上，故可設(shè)圓心為 M(2b3，b)， 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x(2b3)2(yb)2r2.再由|MA|MB|，得(2b3)22(b3)2(2b3)22(b5)2，解得b2.于是圓心 為M(1，2)，半徑|MA| . 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)210.,經(jīng)典例題,【例2】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(t是實(shí)數(shù))表示的圖形是圓(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)求其中面積最大的圓的方

5、程,分析：本題所給的方程是圓的一般方程，需要根據(jù)它表示圓的充要條件判斷t的范圍，也可以把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再進(jìn)行處理,題型二與圓有關(guān)的參數(shù)問題,解：(1)半徑的平方為r2 4(t3)24(14t2)2 4(16t49)7t26t10，所以 t1. (2)因?yàn)閞 ， 所以當(dāng)t 時(shí)，半徑取最大值 . 此時(shí)面積最大，所對(duì)應(yīng)的圓的方程為 2 2 .,【例3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求 的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值,分析：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合求解,題型三與圓有關(guān)的最值問題,解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，

6、 為半徑的圓 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜 率，設(shè) k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切 時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí) ，解得k ，如圖1. 所以 的最大 值為 ，最小值為 .,(2)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，如圖2.又圓心到的原點(diǎn)的距離為 2， 所以，x2y2的最大值是(2 )274，x2y2的最小值是(2 )274.,已知x，y滿足x2y21，則的最小值為_,解析：利用數(shù)形結(jié)合法， 表示圓上的點(diǎn) P(x，y)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率，所以 的最 小值是直線PQ與圓相切時(shí)的斜率設(shè)直線PQ的方 程為y

7、2k(x1)，即kxy2k0， 由 1得k ， 的最小值為 .,變式31,【例4】某工程設(shè)計(jì)一條單行隧道，其橫截面如圖所示，下部ABCD為長8 m，高2 m的矩形，上部是圓弧的一部分. 欲使寬6 m，高3 m的大型貨車剛好能通過，求拱頂E距離路面AB至少需多少m?,分析：如圖，該大型貨車PQMN剛好能通過，表明點(diǎn)M在圓弧上，又因?yàn)辄c(diǎn)C在圓弧上，因此，可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)題中的條件，求出圓的方程，則E點(diǎn)的縱坐標(biāo)可求,題型四圓的方程的建模,解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖則C(4,2)、M(3,3) 設(shè)圓弧所在圓的方程為x2+(y-b)2=r2，則 即所求圓

8、的方程為x2+(y+1)2=25. 令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去) 所以拱頂E距路面AB至少需4 m.,某河上有一座圓拱橋，其跨度為30 m，圓拱高為5 m，一船寬為10 m，上載有貨物，水面到船頂高為4 m，問該船能否順利通過該橋？,變式41,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則圓心在y軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，a)，半徑為r，則圓的方程為x2(ya)2r2，代入點(diǎn)(0,5)，(15,0)，得 該圓方程為x2(y20)2625.因?yàn)榇瑢?0 m，高4 m.所以判斷該船能否通過該橋，即判斷點(diǎn)A(5,4)與圓的位置關(guān)系52(420)2601625，(5,4)在圓內(nèi)，即該船能順利通過該橋,1.(2010天津)已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_,知識(shí)準(zhǔn)備：1.會(huì)求直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)到直線的距離公式；,鏈接高考,2知道當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓的半徑就是圓心到這條直線的距離,解析：令y0得x1，所以直線xy10與x軸的交點(diǎn)為(1,0)因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半 徑，即r ，所以圓C的方程為(x 1)2y22.,2. (2010廣東)已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y