1、1,24.2垂徑定理,luzishu,2,圓的對(duì)稱性,圓是軸對(duì)稱圖形嗎？,駛向勝利的彼岸,如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？,你是用什么方法解決上述問題的?,3,把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,可以發(fā)現(xiàn)： 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸,活動(dòng)一,4,如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E （1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？,O,A,B,C,D,E,活 動(dòng) 二,（1）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸,（2） 線段：

2、 AE=BE,5,證明：連接OA,OB,則OA=OB.,在RtOAE和RtOBE中,OA=OB，OE=OE，,RtOAERtOBE.,AE=BE.,點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.,O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,已知：如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB， 垂足為E,求證：AE=BE,AC =BC,6,垂徑定理：(三種語言),垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì) 的兩條弧。,老師提示: 垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,7,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個(gè)條件（過圓心，垂直于弦）缺一不可！,8,B,圓

3、心到弦的距離叫做弦心距,9,如圖，P為O的弦BA延長線上一點(diǎn)，PAAB2，PO5，求O的半徑.,關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段(做弦心距)，這是一條非常重要的輔助線.,解析：提示作OM 垂直于PB ，連接OA.,A,答案：,10,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,11,解得：R279（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,趙州橋的

4、主橋拱半徑約為27.9m.,OA2=AD2+OD2,12,歸納： 解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 兩個(gè)量。,13,CDAB,垂徑定理的逆定理,AB是O的一條弦,且AM=BM.,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.,過點(diǎn)M作直徑CD.,圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?,由 CD是直徑,1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對(duì)的兩條弧.,14,一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,為什么強(qiáng)調(diào)這里

5、的弦不是直徑？,15,2.弦的垂直平分線, 必過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。,垂徑定理的推論：,16,垂徑定理的逆定理,如圖,在下列五個(gè)條件中:,只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.,駛向勝利的彼岸, CD是直徑, AM=BM, CDAB,17,C,D,M,垂徑定理及逆定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.,平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對(duì)的兩條弧.,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.,垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.,平分弦并且

6、平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.,18,垂徑定理的推論2,圓的兩條平行弦所夾的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,證明：作直徑MN垂直于弦AB, ABCD 直徑MN也垂直于弦CD,19,兩條弦在圓心的同側(cè),兩條弦在圓心的兩側(cè),垂徑定理的推論2有這兩種情況：,20,判斷下列說法的正誤,平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦,平分弦的直線必垂直弦,垂直于弦的直徑平分這條弦,平分弦的直徑垂直于這條弦,弦的垂直平分線是圓的直徑,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦,在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦， 必平分此弦所對(duì)的弧

7、,辨別是非,21,如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，D是弦AC的中點(diǎn)，OD交弧AC于E，若AC=8cm，DE=2cm，則OD的長為_cm。,22,如圖，已知 ，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖的方法 作出 的中點(diǎn)，說出你的作法.,活動(dòng)三,23,2.作AB的中垂線，交 于點(diǎn)C， 點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).,1.連接AB；,24,25,你能破鏡重圓嗎？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它們的垂直平分線mn，交于O點(diǎn)；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓。,26,破鏡重圓,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì) 的兩條弧。,作圖依據(jù)：,27,C,D,A,B,E,F,G,求作弧AB的四

8、等分點(diǎn)。,m,n,28,如圖，AB是O的直徑，AB=10，弦AC=8， D是AC的中點(diǎn)，連結(jié)CD，求CD的長。,E,29,3、如圖所示，矩形ABCD與圓心在AB上的O交于點(diǎn)G、B、F、E，GB=8，AG=1，DE=2，則EF= 。,30,4.如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m， 拱高為4m，求拱橋跨度AB的長。,31,5如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,32,某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、2 m ，過O 作OC AB 于D， 交圓弧于C，CD=2