1、,拉格朗日中值定理,羅爾（Rolle）定理,實際上, C點處的切線與弦 AB 平行.,幾何解釋:,把上圖做一旋轉(zhuǎn)，得到下圖：,C,C點處的切線與弦線 AB 平行.,C,拉格朗日（Lagrange）中值定理,弦AB斜率,切線斜率,此條件太苛刻,有限增量公式,推論 1,證,推論 2,( C 為常數(shù) ),證,拉格朗日中值定理,函數(shù)單調(diào)性的判定法,拉格朗日中值定理,函數(shù)單調(diào)性的判定法,引入新課,新課講授,小結(jié)與作業(yè),導(dǎo)數(shù)的幾何意義：,y=f(x),0,x,y,引 入 新 課,例題,引例.,解：,A,B,P,0,x,y,注：這個例題反映了一個一般事實，可以寫成下面的定理。,返回,(A),一.拉格朗日中值

2、定理,推論：如果y=(x)在區(qū)間（a、b)內(nèi)有f(x)0 則在此區(qū)間內(nèi)f(x)c(常數(shù)）。,定理：如果函數(shù)y=(x)滿足， 10.在（a、b)上連續(xù) 20.在（a、b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點 使等式f(b)-f(a)=f()(b-a)成立。,注：這個推論是常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零的逆定理。,例題與練習(xí),新 課 講 授,(B)練習(xí)1：下列函數(shù)中在區(qū)間-1、1上滿足拉格朗日中值 定理條件的是_,(A)例1.求函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間0、1內(nèi)滿足拉 格朗日中值定理的值。,解：,f(1)-f(0)=3,2+2=3,1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x|,4)f(x)=arctanx,下一頁,二

3、.函數(shù)單調(diào)性的判定法,0,x,y,0,x,y,a,b,A,B,a,b,A,B,幾何特征：,定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在a、b上連續(xù),在（a、b)內(nèi)可導(dǎo).,1）若在(a、b)內(nèi)f(x)0，則y=f(x)在a、b上單調(diào)增加。,2）若在(a、b)內(nèi)f(x)0，則y=f(x)在a、b上單調(diào)減少。,y=f(x),y=f(x),證明,f (x)0,f (x)0,證明,在(a、b)內(nèi)任取兩點x1,x2且x1x2.則在x1、x2上 函數(shù)y=f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件。,f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1),(x1、x2),若f(x)0,則f()0 又x2-x10,f(x2)f(x1),y=f(x

4、)在a、b上單調(diào)增加,同理可證：若f(x)0 ,則函數(shù)f(x)在a、b上單調(diào)減少,注：1）上述定理中間區(qū)間a、b若改為(a、b)或無限區(qū)間 結(jié)論同樣成立。,2）若f(x)在(a、b)內(nèi)的個別點的導(dǎo)數(shù)為零，其余的點 都有f (x)0(或 f (x)0)，則f(x)在(a、b)內(nèi)滿足單調(diào) 增加(單調(diào)減少).,例題,(A)例1.,判定y=x3的單調(diào)性,y=3x2,當x=0時 y=0,當x0時 y0,x(-,+),y單調(diào)增加,0,x,y,(A) 例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,下一頁,解：,解：,1） 定義域為(-、+),2) f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),3)列表：,令 f(x

5、)=0 得x1=1 x2=2,4）由表可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-、12、+） 單調(diào)減區(qū)間為（1、2）。,x,y,y,(-、1),+,1,0,（1、2）,-,+,(2、+),2,0,(B)練習(xí)2：確定函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間。,下一頁,(C)例4：,解：,1）定義域為(-、-1)（-1、+).,3)列表:,(-、-2),+,-2,0,（-1、0）,-,0,0,+,(0、+),4） 由表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-、-2)(0、+) 單調(diào)減區(qū)間為（-2、-1）（-1、0）。,x,y,y,（-2、-1）,-,返回,三.小結(jié)與作業(yè),1.拉格朗日中值定理及推論。,2.函數(shù)單調(diào)性的判定

6、方法與步驟。,3.作業(yè)： P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6),小 結(jié) 與 作 業(yè),返回,拉格朗日中值定理,函數(shù)單調(diào)性的判定法,引入新課,新課講授,小結(jié)與作業(yè),拉格朗日中值定理,函數(shù)單調(diào)性的判定法,拉格朗日中值定理,幾何直觀,一. 教材分析,（1） 教材的地位和作用,（2）重點難點,（3） 課時安排,一. 教材分析,微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，是人類經(jīng)歷了2500多年震撼人心的智力奮斗的結(jié)果，它開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法。微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶，在

7、微分學(xué)中占有很重要的地位. 拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，如單調(diào)性、變化快慢和極值等性態(tài)，這是本章的關(guān)鍵內(nèi)容。,（一）教材的地位和作用,一. 教材分析,（二）重點與難點,教學(xué)重點：探求和理解拉格朗日中值定理。 教學(xué)難點：探求拉格朗日中值定理的條件； 運用定理研究函數(shù)單調(diào)性。,一. 教材分析,拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性可安排兩課時。本節(jié)作為第一課時，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的幾何意義和定理的條件，體會該定理在研究函數(shù)性態(tài)應(yīng)用中的作用。,（三）課時安排,二. 教法分析,（一）學(xué)情分析,（二）教學(xué)方法,（三）

8、學(xué)法分析,（四）具體措施,二. 教法分析,（一）學(xué)情分析,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的運算，對微分的定義及運算有了直觀的認識和理解。通過體會導(dǎo)數(shù)的思想和實際背景，已經(jīng)具備一定的微分思想，但是發(fā)現(xiàn)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的概念；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；而函數(shù)反映在其定義域上的整體性態(tài)，如何建立兩者之間的聯(lián)系呢？多數(shù)同學(xué)對此有相當?shù)呐d趣和積極性。學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能會遇到以下困難，發(fā)現(xiàn)連接曲線兩端點的直線段有時與曲線上某點的切線是平行的，但是又不知是否對所有曲線都滿足?,二. 教法分析,（二）教學(xué)方法,1、多媒體輔助教學(xué) 借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在某點的切線與連接兩端點的線段是平

9、行的，使問題變得直觀，易于突破難點；利用多媒體向?qū)W生展示這一過程，體會逼近的思想方法。 2、探究發(fā)現(xiàn)法教學(xué) 讓學(xué)生通過動手操作課件，經(jīng)歷“實驗、探索、論證、應(yīng)用”的過程，體驗從特殊到一般的認識規(guī)律，通過學(xué)生“動手、動腦、討論、演練”增加學(xué)生的參與機會，增強參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)主體。,二. 教法分析,（三）學(xué)法分析,自主、合作、探究 借助多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，倡導(dǎo)學(xué)生采用自主、合作、探究的方式學(xué)習(xí)。引導(dǎo)學(xué)生動手操作課件，指導(dǎo)學(xué)生討論交流從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣和意識以及

10、勇于探索、勤于思考的精神，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。,二. 教法分析,（四）具體措施,根據(jù)以上的分析，本節(jié)課采用教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合，交流與練習(xí)相穿插的活動課形式，以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉快的環(huán)境及輔以適當?shù)囊龑?dǎo)。同時，利用多媒體形象動態(tài)的演示功能提高教學(xué)的直觀性和趣味性，以提高課堂效率。教學(xué)中注重數(shù)形結(jié)合，從形的角度對概念理解和運用。在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生討論交流的合作意識。,三. 教學(xué)目標,通過實驗探求拉格朗日中值定理條件， 理解拉格朗日中值定理在研究函數(shù)性態(tài)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力。,掌握知識與技能,三. 教學(xué)目標,體會

11、過程與方法,在尋找存在某直線與連接曲線兩端點的線段平行的過程中，使學(xué)生通過認識用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)形態(tài)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)知識的融會貫通； 通過數(shù)形結(jié)合的思想的具體運用來探討定理的條件，使學(xué)生思維達到嚴謹，了解科學(xué)的思維方法。,三. 教學(xué)目標,培養(yǎng)情感態(tài)度與價值觀,在拉格朗日中值定理的探討過程中，滲透逼近和數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系，激發(fā)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神； 通過討論、交流、合作、實驗操作等活動激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。,四. 教學(xué)過程,（一）教學(xué)流程圖,（二）教學(xué)過程與設(shè)計思路,（一）教學(xué)流程圖,教學(xué)程序及設(shè)計意圖,教學(xué)過程,設(shè)計意

12、圖,教學(xué)過程,設(shè)計意圖,教學(xué)過程,設(shè)計意圖,（三）靈活運用 透析內(nèi)涵 求函數(shù) 在0,2上滿足拉格朗日中值定理條件的 ？ 解： ， 由拉格朗日中值定理得：,這是學(xué)生思維上升的又一個層次，設(shè)計該題目的在于加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)單調(diào)性的理解，通過它及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時糾正，能對學(xué)生情況給予及時評價。,教學(xué)過程,設(shè)計意圖,教學(xué)過程,設(shè)計意圖,，,教學(xué)過程,設(shè)計意圖,1、知識技能小結(jié) 2、思想方法小結(jié),小結(jié)提高,核心概念,知識技能思想方法,五. 評價與反思,1、 板書設(shè)計：,五. 說明和反思,2、時間安排： 新課引入約10分鐘， 探索求知約10分鐘， 靈活運用約20分鐘， 小結(jié)提高約5分鐘。,五.

13、說明和反思,本節(jié)課設(shè)計為一節(jié)“科學(xué)探究合作學(xué)習(xí)”的活動課，在整個教學(xué)過程中學(xué)生以探索者的身份學(xué)習(xí)，在問題解決過程中，通過自身的體驗對知識的認識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。,力求使學(xué)生體會微積分的基本思想，感受近似與精確的統(tǒng)一，運動和靜止的統(tǒng)一，感受量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。希望利用這節(jié)課滲透辨證法的思想精髓。,教師在這個過程中始終扮演學(xué)生學(xué)習(xí)的協(xié)作者和指導(dǎo)者。學(xué)生通過自身的情感體驗，能夠很快的形成知識結(jié)構(gòu)，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。,過程反思,請各位老師提出寶貴意見,謝謝,一、羅爾(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,四、泰勒(Taylor

14、)中值定理,1 費馬（Fermat)引理,一、羅爾(Rolle)定理,幾何解釋:,證明:,幾何解釋:,2 羅爾(Rolle)定理,證,由費馬引理可知，,注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.,例如,注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.,例如,例1,2）唯一性,矛盾,由零點定理,即為方程的正實根.,證：1）存在性,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,化歸證明法,作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,推論

15、1,拉格朗日中值公式另外的表達方式：,例2,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋:,證,作輔助函數(shù),例3,證,分析:結(jié)論可變形為,1 問題的提出,四、泰勒(Taylor)中值定理,不足,問題,1、精確度不高；,2、誤差不能估計。,分析:,2.若有相同的切線,3.若彎曲方向相同,近似程度越來越好,1.若在 點相交,3 泰勒(Taylor)中值定理,證明:,定理1 （帶lagrange余項的泰勒定理）,如果f(x)在 點鄰域內(nèi)有n+1 階導(dǎo)數(shù)，則,拉格朗日形式的余項,皮亞諾形式的余項,定理2 （帶peano余項的泰勒定理）,如果f(x)在 點鄰域內(nèi)有n+1 階導(dǎo)數(shù)，則,幾點說明

16、：,4 常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用,解,解,其它函數(shù)的麥克勞林公式,誤差傳遞公式 :,微分學(xué)所要解決的兩類問題:,函數(shù)的變化率問題,函數(shù)的增量問題,微分的概念,導(dǎo)數(shù)的概念,求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.,研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué), 叫做微分學(xué).,導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:,C,A,例8.設(shè)由方程,確定函數(shù),求,正確解法:,2. 設(shè),其中,在,因,故,正確解法:,時, 下列做法是否正確?,在求,處連續(xù),例8.設(shè)由方程,確定函數(shù),求,解:方程組兩邊對 t 求導(dǎo),得,故,0.1 函數(shù)的極值,0.2 函數(shù)的最值,0.3費馬定理,問題：是不是所有的極值點都是駐點？,0.3費馬定理,例如,一、羅爾定

17、理,幾何解釋:,如何從理論上證明？,證,注意:1、若羅爾定理的三個條件 i、 閉區(qū)間上連續(xù)； ii、 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； iii、兩端點函數(shù)值相等 是定理成立充分條件；,結(jié)論是存在 導(dǎo)數(shù)為0的點,導(dǎo)數(shù)為零的點的存在的時候，可能這三個條件都不成立,注意:2、若羅爾定理的三個條件缺一不可： 即：其中任何一個不成立， 均有可能使結(jié)果不成立,例1,證,由零點定理,即為方程的小于1的正實根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,分析:,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點,使,思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件

18、的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且,證:,問題轉(zhuǎn)化為證,由羅爾定理知至少存在一點,即定理結(jié)論成立 .,證畢,注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,令,則,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,推論:,若函數(shù),在區(qū)間 I 上滿足,則,在 I 上必為常數(shù).,證: 在 I 上任取兩點,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上為常數(shù) .,例2,證,例3,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù),(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)

19、,(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi),至少存在一點,使,滿足 :,要證,證: 作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點,思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個 不 一定相同,錯!,上面兩式相比即得結(jié)論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,弦的斜率,切線斜率,例8,證,分析:,結(jié)論可變形為,內(nèi)容小結(jié),1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的應(yīng)用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,關(guān)鍵: 設(shè)輔助函數(shù),費馬引理,2. 設(shè),且在,內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存,在一點,使,提示:,由結(jié)論可知, 只需證

20、,即,驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,設(shè),4. 思考: 在,即,當,時,問是否可由此得出,不能 !,因為,是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .,應(yīng)用拉格朗日中值定理得,上對函數(shù),思考題,試證：,作業(yè)：P146: 2. 5. 6. 7. 10.,費馬(1601 1665),法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,博,覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數(shù)論,他提出,的費馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,拉格朗日 (1736 1813),法國數(shù)學(xué)家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百,余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,柯西(1789 1857),法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中,在微積分學(xué),柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的分析教程,無窮小分析概論