1、第八章 立體幾何8.1 空間幾何體的三視圖、表面積和體積,高考數(shù)學(xué),考點(diǎn)一簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.棱柱的兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的側(cè)面,兩側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.棱柱的兩底面之間的距離,叫做棱柱的高. (2)棱柱的分類:按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系可分為斜棱柱、直棱柱;按底面多邊形邊數(shù)可分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等;底面是正多邊形的直棱柱又稱為正棱柱. 2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角,知識(shí)清單,形

2、,這些面圍成的幾何體叫做棱錐. (2)正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心,這樣的棱錐叫做正棱錐. (3)正棱錐的性質(zhì): (i)各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等.側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫做正棱錐的 斜高. (ii)棱錐的高、斜高和斜足與底面中心連線組成一個(gè)直角三角形;棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形. 3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的特征 分別以矩形一邊、直角三角形一直角邊、,直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái).其中,旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成

3、的幾何體的軸;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個(gè)幾何體的底面;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個(gè)幾何體的側(cè)面,無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都叫做側(cè)面的母線. 4.棱臺(tái)、圓臺(tái)的定義 用平行于底面的平面分別去截棱錐、圓錐,截面與底面間的部分分別叫做棱臺(tái)、圓臺(tái). 5.球 (1)一個(gè)半圓圍繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面,球面所圍成的幾何體叫做球.,形成球的半圓的圓心叫做球心;連接球面上一點(diǎn)和球心的線段叫做球的半徑;連接球面上兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段叫做球的直徑. (2)球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的小圓,被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓. 球的截面性質(zhì):r=,其中r為截面圓

4、的半徑,R為球的半徑,d為球心到截面圓圓心的距離.,考點(diǎn)二斜二測(cè)畫法 水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫法的步驟: (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于O點(diǎn).畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸與y軸,兩軸相交于O點(diǎn),且使xOy=45(或 135),它們確定的平面表示水平面; (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段; (3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.,考點(diǎn)三簡(jiǎn)單幾何體的三視圖 1.幾何體的三視圖指正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.又稱為主視圖、左視圖、俯視圖. “視圖”是將物體按正投

5、影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面向后正投影,所得的投影圖稱為“正視圖”;自左向右正投影,所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”;自上向下正投影,所得的投影圖稱為“俯視圖”. 2.三視圖的畫法要求 (1)在畫三視圖時(shí),重疊的線只畫一條,擋住的線要畫成虛線. (2)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求:正俯一樣,長(zhǎng),俯側(cè)一樣寬,正側(cè)一樣高. (3)由三視圖想象幾何體特征時(shí)要根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的基本原則. 3.平行投影的投影線互相平行;中心投影的投影線交于一點(diǎn).,考點(diǎn)四空間幾何體的表面積和體積 1.柱體、錐體

6、、臺(tái)體的側(cè)面積就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面面積之和. 2.把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形,稱為它的展開(kāi)圖,它的表面積就是展開(kāi)圖的面積. 3.圓柱的側(cè)面積公式是S柱側(cè)=2rl,表面積公式是S柱=2r(r+l) ; 圓錐的側(cè)面積公式是S錐側(cè)=rl,表面積公式是S錐=r(r+l);圓臺(tái)的側(cè)面積公式是S臺(tái)側(cè)=(r+r)l,表面積公式是S臺(tái)=(r2+r2+rl+rl),其 中r,r分別為上、下底面的半徑,l為母線長(zhǎng). 4.長(zhǎng)方體的體積公式為V=abc,正方體的體積公式為V=a3,圓柱的體積公式為V=r2h.棱柱和圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為V柱=Sh,其中S為底面面

7、,積,h為高. 5.圓錐的體積公式為V=r2h,棱錐的體積公式為V=Sh.圓錐和 棱錐的體積公式可以統(tǒng)一為V錐=Sh,其中S為底面面積,h為高. 6.圓臺(tái)的體積公式為V=(r2+rr+r2)h,棱臺(tái)的體積公式為V=(S+ S)h.圓臺(tái)和棱臺(tái)的體積公式可以統(tǒng)一為V臺(tái)=(S+S)h,其中S、S分 別為上、下底面的面積,h為高. 7.球的體積及球的表面積公式 (1)半徑為R的球的體積為V=R3;,(2)半徑為R的球的表面積為S=4R2.,三視圖的解題策略 1.三視圖的畫法要堅(jiān)持以下原則: (1)長(zhǎng)對(duì)正,即正視圖和俯視圖的長(zhǎng)相等; (2)高平齊,即正視圖和側(cè)視圖的高相等; (3)寬相等,即側(cè)視圖和俯視

8、圖的寬相等; (4)看不見(jiàn)的輪廓線要用虛線表示. 2.由三視圖判斷幾何體的形狀主要結(jié)合常見(jiàn)幾何體的三視圖來(lái)確定.有些圖形是組合幾何體. 例1(2014課標(biāo),12,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為(),方法技巧,B,A.6B.6C.4D.4,解析由多面體的三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)三棱錐,如圖所示.其中面ABC面BCD,ABC為等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中點(diǎn)M,連接AM,DM,則DM面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2,BC= DM=4,所以在RtAMD中,AD=6,又在Rt ABC中,AC=4

9、6,故該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)棱為AD,長(zhǎng)度為6,故選 B.,評(píng)析本題考查空間幾何體的三視圖與直觀圖之間的互相轉(zhuǎn)化,考查面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用.同時(shí)考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.正確畫出三棱錐的直觀圖是解決本題的關(guān)鍵.,求空間幾何體的表面積的解題策略 1.求多面體的表面積時(shí),先求各個(gè)面的面積,再相加即可.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí),可從旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入手,將其展開(kāi)求表面積,但要搞清楚它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系(球除外). 2.結(jié)合幾何模型,在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺(tái)的表面積公式及公式間的聯(lián)系.,例2(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,9)某幾何體的三

10、視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是,體積是 .,解題導(dǎo)引 由三視圖得幾何體的直觀圖計(jì)算體積和表面積得結(jié)論,解析由三視圖可知該幾何體是三棱錐P-ABC,如圖所示,其中PA平面ABC,且PA=AC=2, 又ABC的邊AC上的高為1,且點(diǎn)B在AC上的射影為AC的中點(diǎn),AB=BC=,ABBC,從而易得BCPB. 又PC=2,PB=, 故該幾何體的表面積為S=2+22+=3+ +, 體積為V=2=.,答案3+;,求空間幾何體體積的解題策略 1.求簡(jiǎn)單幾何體的體積,要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?然后應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算. 2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題或球與多面體的切、接問(wèn)題,特別要注意應(yīng)用軸截面. 3.求幾何體體積的常用方法

11、有:割補(bǔ)法和等積變換法. (1)割補(bǔ)法:求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體等,或拼補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的柱體、錐體等,分別求出柱體、錐體等的體積,從而得出幾何體的體積. (2)等積變換法:以三棱錐為例,利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等積變換.,注意:求體積時(shí),可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)求解; 利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”. 例3(2016浙江模擬訓(xùn)練卷(四),8)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M,N分別是線段AB,BD1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),在M,N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,線段MN始終平行于平面A1ADD1,則幾何體MNAB1體積的最大值為 .,解題導(dǎo)引 過(guò)點(diǎn)N作BD的垂線,交BD于點(diǎn)O,連接OM得平行于平面A1ADD1的平面OMN求點(diǎn)N到平面AMB1的距離利用三棱錐的體積公式求得最大值,解析過(guò)N作BD的垂線交線段BD于點(diǎn)O,連接OM,設(shè)AM=x,則BM=1-x.因?yàn)榫€段MN始終平行于平面A1ADD1,所以平面OMN平行于平面A