1、1,第三章 平面力系的合成與平衡,2,31 平面匯交力系的合成與平衡,第三章 平面力系的合成與平衡,目錄,3,平面匯交力系的合成、分解的規(guī)律、平衡條件及其應(yīng)用。 教學(xué)要求： 1、掌握平面匯交力系合成的力多邊形法則及合成的解析法； 2、掌握平面匯交力系平衡條件的具體應(yīng)用。 重點(diǎn)：平面匯交力系的簡化及平衡方程的應(yīng)用 難點(diǎn)：平衡方程的應(yīng)用。 學(xué)時(shí)安排：2,教學(xué)內(nèi)容：,4,平面匯交力系： 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且 匯交于一點(diǎn)的力系。,引 言,研究方法：幾何法，解析法。,例：起重機(jī)的掛鉤。,力系分為：平面力系、空間力系,平面特殊力系：指的是平面匯交力系、平面力偶系和平面平 行力系。,5,一、合成的幾

2、何法,1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角形來作。,3-1 平面匯交力系的合成與平衡,F2,F1,R,180-,6,合力的大小與方向與力多邊形的 作圖的先后次序無關(guān),一、合成的幾何法,2. 任意個(gè)共點(diǎn)力的合成,力多邊形畫法,F1,F2,F3,F4,R,R1,R2,F2,F3,F1,F4,R,R1,R2,首尾相接,3-1 平面匯交力系合成與平衡,7,8,結(jié)論：,即：,即：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。,二、平面匯交力系平衡的幾何條件,在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平

3、面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：,平面匯交力系平衡的充要條件是：,9,例 已知壓路機(jī)碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。,又由幾何關(guān)系：,選碾子為研究對象,取分離體畫受力圖,解：,當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,拉力F最大,這時(shí) 拉力F和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力。 選比例尺為20kN 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故,NA,NB,由作用力和反作用力的關(guān)系， 碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。,10,此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。,幾何法解題步驟：選研究對象；作出受力圖； 作力多邊形，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?/p>

4、； 求出未知數(shù),幾何法解題不足： 精度不夠，誤差大 作圖要求精度高； 不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。,下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法： 解析法。,P=20KN F=11.5kN , NB=23.1kN,11,1、力沿直角坐標(biāo)軸的分解,Fx=Fcosa,（一）、力的分解,三、 平面匯交力系合成與平衡的解析法,Fy=Fsina=F cos,12,2、力沿非正交坐標(biāo)軸的分解,F1,F2,A,C,D,B,F,a、平行四邊形法則,b、三角形法則,13,1、力在坐標(biāo)軸上的投影：,(二)、力的投影,X=Fx,Y=Fy,=Fcosa,=Fsina,力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該投影軸正

5、向間夾角的余弦。,力在某軸上的投影是代數(shù)量，當(dāng)其與軸的正向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。,14,2、合力投影定理,由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為：,合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。,15,合力的大?。?為該力系的匯交點(diǎn),再確定R與x軸正向間小于90的夾角,方向：由Rx、Ry的正負(fù)號大致確定,作用點(diǎn)：,16,（三） 、平面匯交力系合成與平衡的解析法,從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。,即：,為平衡的充要條件，也叫平衡方程,平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，故可以求解兩個(gè)未知數(shù)。,即各力在任意建立的直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和

6、分別等于零。,（三） 、平面匯交力系合成與平衡的解析法,17,例1：設(shè)有四個(gè)力作用于O點(diǎn)，方向如圖。已知F1=100N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N，試求合力。,先求投影,X2=100cos50=64.3N,X3= -150sin30=-75N,X4= - 200cos20= -187.9N,X1=100cos0=100N,Rx= X=- 98.6N,Y1=100sin0=0N,Y2=100sin50=76.6N,Y3=150cos30=129.9N,Y4= - 200sin20= - 68.4N,Ry= Y= 138.1N,Rx為負(fù)， Ry為正，合力在第二象限,18,解：研

7、究AB桿 畫出受力圖 列平衡方程,例2 已知 P=2kN 求SCD , RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,解平衡方程,19,例3 已知如圖P、Q， 求平衡時(shí) =？ 地面的反力ND=？,解：研究球受力如圖，,由得,由得,選投影軸列方程為,20,例4,簡易吊車如圖，已知P=20kN，不計(jì)桿和滑輪自重，略去摩擦及滑輪大小。,求：系統(tǒng)平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。,因不計(jì)桿重，AB和BC為二力桿，受力沿桿軸線；又不計(jì)滑輪大小，桿力和索力通過銷子B，故取銷子B為研究對象。,受力如圖,解：（1）取研究對象畫受力圖,21,（2）選取坐標(biāo)系,由于不計(jì)摩擦，F(xiàn)1=F2=P，只有FAB和FBC的大小未知，

8、為避免求解聯(lián)立平衡方程，選取如圖所示的坐標(biāo)系。,（3）列平衡方程,由,與假設(shè)方向相反，桿件受壓,22,由,桿件受壓,桿件受力方向是任意假定的，若所求結(jié)果為負(fù)，則表示實(shí)際受力方向與假設(shè)方向相反，若為正，則表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相同。,坐標(biāo)軸的選取只影響求解的難易程度，而不影響最終結(jié)果。（同學(xué)可嘗試選取其它方向的坐標(biāo)）,23,例6 鉸鏈器連桿機(jī)構(gòu)ABCD如圖在鉸鏈B上作用一已知力，在鉸鏈C上作用一未知力，該機(jī)構(gòu)處于平衡。若不計(jì)重，求力R.,解：1分別選取鉸B、C為研究對象 2畫鉸B、C的受力圖 3選取坐標(biāo)軸如圖 4列平衡方程,對B鉸： X=0,對C鉸：X=0,B,24,幾何法：1選取B、C鉸為研究

9、為對象 2畫B、C鉸受力圖 3按一定比例作圖 4.量取R的大小按,25,通過以上例題分析求解，我們可以把平面匯交力系平衡問題的解題方法概述如下： (1)根據(jù)題意確定研究對象:選為研究對象的物體上應(yīng)作用有已知力和待求的未知力；先選受力情況相對較簡單的物體，再選受力情況相對較復(fù)雜的物體；若問題較復(fù)雜時(shí)，要選兩個(gè)甚至更多的研究對象，才能逐步解決。 (2)繪分離體的受力圖，不要增減力，特別注意約束反力的畫法，并要正確應(yīng)用三力平衡定理。 (3)用幾何法解題，應(yīng)選取適當(dāng)比例尺，畫出研究對象的輪廓圖形和作該力系的封閉力多邊形或力三角形，最后用尺和量角器量出未知量或用三角公式算出未知量。 (4) 用解析法解題

10、時(shí)，應(yīng)當(dāng)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸,盡量使力的投影簡便，避免解聯(lián)立方程，一般應(yīng)使坐標(biāo)軸與較多的力平行或垂直，再列平衡方程求解，在計(jì)算力的投影時(shí)，應(yīng)注意正負(fù)號。 (5) 必要時(shí)應(yīng)分析或討論計(jì)算結(jié)果。,26,1、一般地，對于只受三個(gè)力作用的物體，且角度 特殊時(shí)用 幾 何法（解力三角形）比較簡便。,解題技巧及說明：,3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中 只有一個(gè)未知數(shù)。,2、一般對于受多個(gè)力作用的物體，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。,5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出 負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件， 一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓 力。,4、對力的方向判定不準(zhǔn)

11、的，一般用解析法。,27,本節(jié)主要內(nèi)容是運(yùn)用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成與平衡，重點(diǎn)是用解析法解平衡問題應(yīng)熟練掌握。 1、平面匯交力系只能合成一個(gè)合力，合力等于諸分力的幾何和. 即 (1) 在幾何法中力多邊形的封閉邊表示合力的大小和方向 (2) 在解析法中，合力的大小和方向可按下列公式計(jì)算。 式中 表示合力與X軸所夾銳角， 合力的指向由x和y的符號判定。 2、平面匯交力系平衡的必須要充分條件是合力為零。 (1) 在幾何法中平衡的幾何條件是力多邊形自行封閉。 (2) 在解析法中平衡方程 X=0 Y=0 利用平衡方程可求出兩個(gè)未知量，它是解決平面匯交力系的平衡問題的基本方程。 (3) 解平面匯交力系，平衡問題的方法和步驟。,28,平面匯交力系,29,例：如圖所示為一簡單的起重設(shè)備AB、BC兩桿在A、B、C三處用鉸鏈連接，在B處銷釘上裝有一個(gè)可以不計(jì)重量的光滑小滑輪，繞過滑輪的起重鋼絲繩一端懸重量G=1.5KN的重物，另一端繞在卷揚(yáng)機(jī)絞盤D上。當(dāng)卷揚(yáng)機(jī)開動(dòng)時(shí)，可將重物吊起，設(shè)AB和BC兩桿不計(jì)本身重量，小滑輪尺寸不計(jì)，并設(shè)重物勻速上長升試求AB桿和BC桿所受的力。,解：在本題中，由于小滑輪上作用著所有有關(guān)的力，而小滑輪尺寸可以不計(jì)，即這些力