1、制作人：豆猛剛,閱讀教材P4647，回答： 1空間中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別 ，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，此結(jié)論稱作等角定理 2直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，作直線a、b，并使aa，bb，我們把直線a和b所成的 叫做異面直線a和b所成的角(或夾角)其范圍是 3若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線，異面直線a和b互相垂直，可記作.,(0，90,互相垂直,ab,平行,銳角或直角,4已知ABPQ，BCQR，ABC30，則PQR等于 () A30B30或150 C150 D以上結(jié)論都不對(duì) 答案B,本節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等角定理 本節(jié)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：求異面直線所成的角,1等角定理

2、的證明如下： 已知：如圖所示，BAC和BAC的邊ABAB，ACAC，且射線AB與AB同向，射線AC與AC同向 求證：BACBAC.,證明對(duì)于BAC和BAC在同一平面內(nèi)的情形，用初中所學(xué)的知識(shí)容易證明 下面證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情形 分別在BAC的兩邊和BAC的兩邊上截取線段AD、AE和AD、AE，使ADAD、AEAE. AD綊AD，AADD是平行四邊形 AA綊DD.同理可得AA綊EE. DD綊EE.DDEE是平行四邊形 DEDE.ADEADE. BACBAC.,2應(yīng)用等角定理時(shí)要特別注意其條件若一個(gè)角的兩邊與另一角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等若一個(gè)角的兩邊與另一角的兩邊分別平

3、行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 確定異面直線所成角時(shí)，與O點(diǎn)在空間位置無(wú)關(guān)，常把O點(diǎn)選在兩條異面直線中的一條上，這樣可少作一條平行線，還可把O選在圖形的特殊位置上，然后利用三角形的有關(guān)知識(shí)加以解決，應(yīng)用時(shí)注意異面直線所成角的范圍，常常出現(xiàn)三角形內(nèi)角的補(bǔ)角為異面直線所成角的情況,例1如圖所示，在正方體AC1中，M、M1分別是AD、A1D1的中點(diǎn) 求證：BMCB1M1C1. 分析證明角相等，利用空間等角定理是常用的思考方法另外也可以通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等或相似來(lái)證明兩角相等,例2在正方體ABCDA1B1C1D1中，求下列異面直線所成的角 (1)A1B與CC1 (2)AB與B1C1 (3)A1B與AC.

4、,解析(1)BB1CC1，A1BB1就是A1B與CC1所成的角，等于45. (2)B1C1BC ABC就是AB與B1C1所成的角，等于90. (3)ACA1C1，BA1C1就是AC與A1B所成的角，在A1BC1中，A1BBC1A1C1，BA1C160 即A1B與AC所成角為60.,答案90,例3由四個(gè)全等的等邊三角形圍成的封閉幾何體稱為正四面體如圖，正四面體ABCD中，E、F分別是棱BC、AD的中點(diǎn)，CF與DE是一對(duì)異面直線，在圖形中適當(dāng)?shù)倪x取一點(diǎn)作出異面直線CF、DE的平行線，找出異面直線CF與DE所成的角,解析思路1：選取平面ACD，該平面有以下兩個(gè)特點(diǎn)：該平面包含直線CF，該平面與DE相

5、交于點(diǎn)D，伸展平面ACD，在該平面中，過(guò)點(diǎn)D作DMCF交AC的延長(zhǎng)線于M，連結(jié)EM.可以看出：DE與DM所成的角，即為異面直線DE與CF所成的角如圖1.,思路2：選取平面BCF，該平面有以下兩個(gè)特點(diǎn)：該平面包含直線CF，該平面與DE相交于點(diǎn)E.在平面BCF中，過(guò)點(diǎn)E作CF的平行線交BF于點(diǎn)N，連結(jié)ND，可以看出：EN與ED所成的角，即為異面直線FC與ED所成的角如圖2. 思路3：選取平面ADE，該平面有如下兩個(gè)特點(diǎn)：該平面包含直線DE，該平面與CF相交于點(diǎn)F.在平面ADE中，過(guò)點(diǎn)F作FGDE，與AE相交于點(diǎn)G，連結(jié)CG，可以看出：FG與FC所成的角，即為異面直線CF與DE所成的角如圖3.,思路

6、4：選取平面BCD，該平面有如下特點(diǎn)：該平面包含直線DE，該平面與CF相交于點(diǎn)C，伸展平面BCD，在該平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CKDE與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，且DKBD，連結(jié)FK，則CF與CK所成的角，即為異面直線CF與DE所成的角如圖4.,總結(jié)評(píng)述：(1)上面四個(gè)思路的共同點(diǎn)是：由兩條異面直線中的一條與另一條上一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，在該平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作該直線的平行線，從而找出兩條異面直線所成的角，這是立體幾何“化異為共”“降維”的基本思想,(2)求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成的角，作兩條異面直線所成的角的方法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位

7、置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置一般提倡像思路2、思路3那樣作角，因?yàn)榇私窃趲缀误w內(nèi)部，易求,(3)找出異面直線所成的角后求角的大小一般要?dú)w到一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形求出角的大小，如本題思路1中可歸結(jié)為解DEM.思路2中可歸結(jié)為解DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我們學(xué)過(guò)解斜三角形后，即可計(jì)算 (4)實(shí)際問(wèn)題中，若含有“中點(diǎn)”“比例點(diǎn)”常利用中位線，比例線段進(jìn)行平移,在四面體ABCD中，已知各個(gè)面都是正三角形，E是棱BC的中點(diǎn)，則異面直線AE和BD所成角的余弦值為_(kāi),分析可在平面BCD內(nèi)過(guò)E作BD

8、的平行線EF，在AEF中求得所成角的余弦值,例4空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn) (1)若ACBD時(shí)，PQRH是什么四邊形？ (2)空間四邊形滿足什么條件時(shí)，PQRH為正方形？ 分析利用三角形中位線及平行公理討論,(2)由(1)知，當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形PQRH為矩形， 要使四邊形為正方形，應(yīng)有PHPQ，ACBD， 當(dāng)ACBD，且ACBD時(shí)，PQRH為正方形,(07福建)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于 () A45B60 C90 D120 答案B,分析根據(jù)異面直線

9、所成角的定義，可取空間任一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線，為簡(jiǎn)便此點(diǎn)可取某個(gè)特殊點(diǎn)本例中，E、F、G、H均為中點(diǎn)，且E、F、G都在平面ABB1A1上，故取A1B1的中點(diǎn)M，則有GMEF.,解析取A1B1的中點(diǎn)M， E、F、G分別為A1A、AB、BB1的中點(diǎn)， EFA1BGM， MGH為兩異面直線EF與GH所成的角(或補(bǔ)角)，易知GHM為正三角形，MGH60，故選B.,例5垂直于同一直線l的兩條直線a、b，這三條直線最多可能確定幾個(gè)平面？ 錯(cuò)解al，bl aba、b、l最多可確定一個(gè)平面 辨析立體幾何雖與平面幾何密切相關(guān)，但并非平面幾何的結(jié)論都可無(wú)條件地推廣到空間，如“al，bl，則ab”這一結(jié)論在空間并不成立,正解如圖(1)，正方體中，棱a、b都與棱l垂