1、2008 年第 5 期東北師大學(xué)報(bào)( 哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)no. 52008 總第 235 期journal of northeast normal university( philosophy and social sciences)sum no. 235 編者按 數(shù)學(xué)的抽象這篇論文,將會(huì)成為作者一本關(guān)于數(shù)學(xué)思想的著作的一章, 其討論的問題是我們這個(gè)時(shí)代特別需要解決的, 論文自始至終貫穿著強(qiáng)烈的問題意識(shí)和 文化的針對(duì)性。 因此我們對(duì)這篇文字進(jìn)行了整理,并發(fā)表于本刊, 以饗讀者。嚴(yán)格地說, 數(shù)學(xué)是一種西學(xué),作者大概是出于對(duì)思想史的尊重,出于尋找數(shù)學(xué)抽象的思想源流和資源 的意圖,仿佛懷舊式地對(duì)西方思

2、想史進(jìn)行了一次游歷, 作者在與柏拉圖、亞理士多德、培 根、笛卡爾、洛克、休謨、康德、叔本華等經(jīng)典哲學(xué)家的對(duì)話間, 以一雙敏銳的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的 眼睛,時(shí)而以十分虔敬的心情充分欣賞思想家們的偉大觀點(diǎn),時(shí)而尖刻而親切地指出思想 家們的歷史局限,時(shí)而又以操縱式姿態(tài)調(diào)侃著某些思想家的某些觀點(diǎn), 這種對(duì)話和攀談如 同發(fā)生在老熟人 、老同行、老朋友之間一樣, 這讓我們好像在觀看名為“數(shù)學(xué)的抽象”的一 場(chǎng)精彩表演,在一種輕松的,然而又嚴(yán)肅的心情中了解到作者所談?wù)摰脑掝}的論證過程和 觀點(diǎn)。讀來令人頗多回味和想象。 收稿日期 2008-07-10 作者簡(jiǎn)介 史寧中( 1950- ) ,男, 江蘇宜興人, 東北師范大

3、學(xué)校長(zhǎng), 教授, 博士生導(dǎo)師。 數(shù) 學(xué) 的 抽 象 史 寧 中 ( 東北師范大學(xué) ,吉林 長(zhǎng)春 130024) 摘要 數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西, 數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象, 只有 通過抽象才能得到抽象的東西。 在柏拉圖的理念論之下, 數(shù)學(xué)的概念就不應(yīng)當(dāng)是經(jīng)驗(yàn)意義上的存在, 而應(yīng)當(dāng) 是一種永恒的存在; 亞里士多德不贊成柏拉圖的想法, 認(rèn)為一般概念是人們?cè)谌粘Ｉ畹慕?jīng)驗(yàn)中, 通過對(duì)于許 多具體存在事物的共同性質(zhì)抽象而得到的, 所以一般概念不可能是真正的存在。 亞里士多德的觀點(diǎn)仍然需要 補(bǔ)充, 數(shù)學(xué)研究所涉及的基本概念并不一定都是直接從現(xiàn)實(shí)的具體的存在中抽象出來的, 也可以

4、借助符號(hào)與 類比得到更高層次的抽象, 這里既包括感性具體也包括理性具體。 我們通過與培根、笛卡爾、洛克、休謨、康 德、叔本華等思想家的攀談, 獲得正反兩方面的思想資源, 在現(xiàn)代科學(xué)知識(shí)的語(yǔ)境下洞察到數(shù)學(xué)抽象的真實(shí)過 程和本質(zhì)。 在討論知識(shí)獲得的問題時(shí), 我們不能忘記一個(gè)根本, 即人的本性 , 也就是人之所以被稱為人的本 質(zhì), 抽象了的東西是人抽象出來的, 這就不能不依賴人的本性。 事實(shí)上, 就某一個(gè)抽象了的東西而言, 還應(yīng)當(dāng) 依賴于某一個(gè)具體的人或者某一群具體的人, 但在這里我們只討論一般意義上的抽象。 人獲得知識(shí)所憑借 的, 是先天的同時(shí)又依賴于經(jīng)驗(yàn)的“ 直觀能力”, 數(shù)學(xué)抽象能力與這種直觀

5、能力是同構(gòu)的, 也是一種依賴于經(jīng)驗(yàn) 的先天抽象能力, 現(xiàn)在的數(shù)學(xué)體系就是人們通過日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐的具體事物, 運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的能力逐漸 構(gòu)建起來的。 討論這種抽象至少可以給數(shù)學(xué)教育提供兩個(gè)重要啟迪: 一個(gè)是受教育者應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給予 適當(dāng)?shù)慕逃? 另一個(gè)是在傳授知識(shí)的同時(shí)也應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)受教育者的直觀能力。 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)抽象; 感性經(jīng)驗(yàn); 邏輯經(jīng)驗(yàn); 直觀能力; 本能 中圖分類號(hào) b51/56; 01 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 a 文章編號(hào) 1001-6201( 2008) 05-0169-13 數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西 ,因此可以推斷 ,數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想 169 doi : 10.

6、 16164/ j. cnki . 22 - 1062/ c. 2008. 05. 021 也就是抽象 ,因?yàn)橹挥型ㄟ^抽象才能得到抽象的 東西。為了說明這一點(diǎn) , 我們已經(jīng)從數(shù)量與數(shù) 量關(guān)系、 圖形與圖形關(guān)系這兩個(gè)方面進(jìn)行了闡述, 分析了人們是如何從日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中抽象 出數(shù)學(xué)所要研究的概念和法則的, 以及人們是如 何通過更高層次的抽象來合理地解釋了這些概念 和法則。 如果我們認(rèn)定,“抽象的東西”的就是數(shù)學(xué)研 究所必須定義的最基本的概念 。那么就出現(xiàn)了一 個(gè)很難給出確切答案的問題: 這些數(shù)學(xué)概念是如 何存在的? 有一種說法認(rèn)為, 這些概念是客觀存 在的, 人們通過某種方式發(fā)現(xiàn)或者認(rèn)識(shí)了這些

7、概 念,因此, 這些概念是永恒的存在, 是實(shí)體; 還有一 種說法認(rèn)為,這些概念原本是沒有的,是人為地創(chuàng) 造出來的 ,因此 ,這些概念只是名而已, 不是實(shí)體。 前者便是所謂的“唯實(shí)論” ,后者便是所謂的“唯名 論” , 這兩派的爭(zhēng)論是從柏拉圖和亞里士多德開始 的,一直延續(xù)至今。 這種關(guān)于存在形式的討論 , 完全是一個(gè)哲學(xué) 上的問題, 似乎與我們所要討論的問題沒有直接 關(guān)聯(lián)。但仔細(xì)思考就會(huì)發(fā)現(xiàn), 為了把“抽象”這個(gè) 數(shù)學(xué)最基本的思想討論清楚, 就必須涉及“數(shù)學(xué)概 念存在形式”這樣的問題 ,因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的存在形 式?jīng)Q定了數(shù)學(xué)概念的獲得形式, 從而決定了數(shù)學(xué) 抽象的本質(zhì)。事實(shí)上 ,我們將會(huì)看到,關(guān)于數(shù)

8、學(xué)抽 象本質(zhì)的討論, 對(duì)于指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育是非常重要的。 我們先討論上述兩派爭(zhēng)論的開始 ,分析兩派 爭(zhēng)論的核心 ,然后基于現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展提出一些 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中必須關(guān)注的問題。 一 、 關(guān)于數(shù)學(xué)抽象爭(zhēng)論的開始 圓是數(shù)學(xué)的概念 ,圓是客觀存在的 ,無論是我 們能夠感覺到的乒乓球、足球 ,還是我們能夠分析 出的行星運(yùn)動(dòng)的軌跡都顯示了這種存在性 ; 三角 形也是數(shù)學(xué)概念 ,三角形也是客觀存在的,甚至我 們還可能知道三角形穩(wěn)定性這樣的性質(zhì) ,這就是 柏拉圖的想法。但是 ,這些概念是如何存在的呢? 柏拉圖認(rèn)為人的經(jīng)驗(yàn)是不可靠的 ,經(jīng)驗(yàn)可能 隨著時(shí)間的改變而改變 ,也可能隨著場(chǎng)合的改變 而改變 , 因此, 所

9、有基于經(jīng)驗(yàn)的概念都是不可靠 的,也是不可能的。這樣 ,數(shù)學(xué)的概念就不應(yīng)當(dāng)是 經(jīng)驗(yàn)意義上的存在, 而應(yīng)當(dāng)是一種永恒的存在。 你踢足球時(shí)感悟到了圓, 但你不踢足球的時(shí)候,圓 這個(gè)概念依然是存在的 ; 你在黑板上畫了一個(gè)三 角形 ,三角形是存在的, 你把這個(gè)三角形擦掉 ,三 角形這個(gè)概念依然是存在的。為了更好地解釋, 柏拉圖把這種永恒的存在稱為理念, 并且認(rèn)為只 有理念才是真正的存在。亞里士多德是這樣闡述 柏拉圖的這種想法的 : 柏拉圖認(rèn)為定義是關(guān)于非感性事物的, 而不 是那些感性事物的 。正是由于感性事物不斷變 化,所以不能有一個(gè)共同定義。他一方面把非感 性的東西稱為理念 , 另一方面把感性的東西

10、作為 說明置于理念之外 。柏拉圖認(rèn)為, 只有理念才得 以存在 1 。 亞里士多德的這個(gè)總結(jié)是精辟且準(zhǔn)確的, 柏 拉圖在他的著作中許多地方都提到這些觀點(diǎn) 。柏 拉圖在理想國(guó)中借用蘇格拉底之口說 : 你也知道, 雖然他們利用各種可見的圖形討 論它們,但是, 處于他們思考中的實(shí)際并不是這些 圖形 ,而是圖形所模仿的那些東西。他們討論的 并不是他們所畫的某個(gè)特殊的正方形或某個(gè)特殊 的對(duì)角線等等 ,而是正方形本身,對(duì)角線本身 。他 們所畫的圖形乃是實(shí)物, 有其水中的影子或影像。 但是 ,現(xiàn)在他們又把這些東西當(dāng)作影像 ,而他們實(shí) 際要求看到的則是只有用思想才能“看到”的那些 實(shí)在 。 依據(jù)柏拉圖的說法,

11、我們的肉眼看到的都是 一些影子, 只有思想才可能看到實(shí)在 , 那么 ,思想 能夠看到的那些實(shí)在是如何存在的呢? 思想又是 如何“看到”那些實(shí)在的呢? 顯然, 這些問題進(jìn)一 步引發(fā)出來的問題是 , 人們能夠得到概念的原因 究竟是什么? 于是, 柏拉圖給出了他的有名的洞 穴的比喻, 在理想國(guó) 2的第七章柏拉圖用很大 的篇幅借助這個(gè)比喻述說了他的思想, 羅素在西 方哲學(xué)史中把這個(gè)比喻進(jìn)行了歸納 3 : 那個(gè)比喻是說 ,缺乏哲學(xué)的人可以比作被關(guān) 在洞穴里的囚犯,他們只能朝一個(gè)方向看,因?yàn)樗?們被鎖著; 他們背后燃燒著火 ,他們面對(duì)的是墻。 170 這里的名實(shí)之爭(zhēng)與中國(guó)古代哲學(xué)的名實(shí)之爭(zhēng)有很大區(qū)別。關(guān)于

12、中國(guó)的名實(shí)之爭(zhēng), 可以參見中國(guó)哲學(xué)簡(jiǎn)史第八章, 馮友蘭著, 北京大學(xué)出版社, 1996 年第二版; 也可以參見先秦名學(xué)史 ,胡適著, 安徽出版社, 1999 年。 關(guān)于抽象可以有各種解釋, 這里所說的抽象主要是指思維運(yùn)動(dòng)中的抽象。我們認(rèn)為這種抽象不僅可以在感性具體和理性具體 之間搭建思維的橋梁, 也可以在此理性具體與彼理性具體之間搭建思維的橋梁, 前者必須依賴于感性具體, 而后者則不必依賴 于感性具體。針對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的抽象而言, 我們稱前者為第一次抽象, 稱后者為第二次抽象。雖然這兩次抽象有著程度 上的差異, 但總體上可以認(rèn)為, 第一次抽象有利于發(fā)現(xiàn)新的知識(shí), 而第二次抽象有利于合理地解

13、釋那些發(fā)現(xiàn)了的知識(shí)。 在他們與墻之間什么也沒有; 他們看到的只有他 們自己和背后東西的影子 ,這是由火光投射到墻 上的。他們不可避免地把這些影子看成是實(shí)在, 而對(duì)于造成這些影子的東西卻毫無觀念 。后來有 一個(gè)人逃出了洞穴來到光天化日之下 , 他第一次 看到了實(shí)在的事物 , 才察覺到他以前一直是被影 像所欺騙的。 問題已經(jīng)很清楚了, 按照柏拉圖的說法, 我們 通?？吹降哪切┦挛镏徊贿^是火光照射在墻上的 影子 ,而真正存在著的事物是在我們的背后, 這種 真正存在的事物只有用思想, 或者借用笛卡爾的 話,只有用心靈之光才可能看見。 柏拉圖這個(gè)關(guān)于理念的學(xué)說顯然是荒唐的, 對(duì)于現(xiàn)代人來說, 這個(gè)荒唐幾

14、乎不用思索就可以 判斷。但是 ,柏拉圖的學(xué)說之中具有相當(dāng)合理的 成分, 正如羅素評(píng)價(jià)的那樣 : “一切開端總歸是粗 糙的, 但是我們不應(yīng)該因此便忽略它們的創(chuàng)造 性。 ”在這里 ,是柏拉圖第一個(gè)強(qiáng)調(diào)了概念的一般 性,這標(biāo)志著哲學(xué)的重大進(jìn)步 ,也為科學(xué)的數(shù)學(xué)的 形成奠定了思想基礎(chǔ)。比如, 幾何學(xué)必須討論研 究一般意義上的直角三角形的性質(zhì), 而不是研究 某一個(gè)人在某一個(gè)時(shí)候所畫的某個(gè)具體的直角三 角形 ,因?yàn)榭茖W(xué)必須保證, 從同樣的條件出發(fā) ,只 要操作是規(guī)范的, 無論是誰(shuí) 、 無論在什么時(shí)候 、 無 論在什么地方, 得到的結(jié)論都是一樣的 。 過去以及現(xiàn)在的許多哲學(xué)家 、數(shù)學(xué)家都認(rèn)可 柏拉圖的說法,

15、 認(rèn)為有一個(gè)理念的世界存在, 數(shù)學(xué) 的概念和命題都是這個(gè)客觀存在的理念世界的內(nèi) 容。因?yàn)槔砟钍侵R(shí)的原本, 如果真如柏拉圖所 說這些理念是客觀存在 ,那么人們之所以能夠獲 得知識(shí) ,是因?yàn)橛盟枷搿翱吹健绷诉@個(gè)存在 , 或者 說,用心靈“感悟”了這個(gè)存在 , 也就是說 ,是人們 “發(fā)現(xiàn)”了知識(shí) 。這樣 , 真正知識(shí)的獲得只能通過 對(duì)理念的哲學(xué)思考 , 而不是通過對(duì)現(xiàn)實(shí)的事物的 觀察分析 。 但是 ,理念或者說一般的概念 ,真如柏拉圖所 說是客觀存在嗎 ? 亞里士多德不同意柏拉圖的觀 點(diǎn),他在形而上學(xué)一書中反駁道 4: 現(xiàn)在, 我們來談那些設(shè)定理念為原因的人。 首先 ,他們引進(jìn)理念是為了把握周邊事

16、物的原因, 其數(shù)目與事物相等。這就好像一個(gè)人想要清點(diǎn)東 西,卻認(rèn)為數(shù)目少了數(shù)不清楚 ,于是把東西的數(shù)目 擴(kuò)大了以后再來數(shù)。 顯然 ,能夠被肉眼看到的事物是存在的, 盡管 柏拉圖認(rèn)為不是真正的存在, 但卻是具體的存在, 是不容置疑的存在; 除此之外 , 按照柏拉圖的觀 點(diǎn),還有一個(gè)供我們通過思想去“發(fā)現(xiàn)”的真正的 存在。于是 ,亞里士多德首先提出了一個(gè)總體的 質(zhì)疑, 這個(gè)世界是不是被柏拉圖搞得過分繁雜了 呢? 接著, 亞里士多德針對(duì)那些關(guān)于理念存在的 證明進(jìn)行了反駁: 他們用來證明理念存在的那些方法, 沒有一 個(gè)是令人信服的,因?yàn)榘凑账麄兊姆椒ㄍ普?,一些 原本不應(yīng)當(dāng)存在理念的東西 , 也將有理

17、念存在。 因?yàn)?,根據(jù)“科學(xué)存在”這個(gè)事實(shí),凡是某一門科學(xué) 所研究的對(duì)象都應(yīng)當(dāng)有理念存在 ; 根據(jù)“多上有 一”這個(gè)原則, 任何已經(jīng)被否定的東西也都應(yīng)當(dāng)存 在理念; 根據(jù)“消滅了的東西思想依存”這個(gè)道理, 任何已經(jīng)消滅了的東西也都應(yīng)當(dāng)存在理念。更有 甚者 ,他們有些人認(rèn)為關(guān)系也是有理念的,如果把 有關(guān)系的東西分為一類 , 于是這個(gè)類作為“第三 者”也應(yīng)當(dāng)有理念,如此這般, 永無止境 ?？傊?那 些關(guān)于理念存在的道理 ,毀掉了那些存在著的事 物,而后者才是我們真正關(guān)心的。 日常生活的經(jīng)驗(yàn)告訴我們: 未知的東西遠(yuǎn)遠(yuǎn) 要比已知的東西多, 但按照柏拉圖的想法,未知的 東西也應(yīng)當(dāng)具有理念 ; 錯(cuò)誤的東西

18、遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比正確 的東西多 ,但錯(cuò)誤的東西也應(yīng)當(dāng)具有理念; 消失的 東西遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比現(xiàn)存的東西要多, 但消失的東西也 應(yīng)當(dāng)具有理念 。如此這般 ,那些用肉眼看不見的 存在必然要淹沒、要抹殺肉眼看得見的具體的存 在,而后者才是我們思維的出發(fā)點(diǎn) ,事情是不是被 柏拉圖搞的本末倒置了呢? 進(jìn)一步, 亞里士多德 又從邏輯的角度反駁 : 如果理念和事物具有相同的形式 ,那就有某 種東西為它們共有。但是, 為什么理念的“二”可 以在可以毀滅的 、事物的“二”里面 ,同時(shí) ,事物的 “二”又可以在永恒的 、理念的“二”里面 ? 互相包 含就意味著同一 ,可是為什么又不相同呢 ? 如果 理念和事物沒有相同的形式, 那

19、就僅僅是名稱相 同而已 ,比如,雖然卡利亞( 當(dāng)時(shí)希臘人常用的名 字) 與木偶沒有什么共同之處 ,但卻把兩者都稱為 人。 亞里士多德的反駁是有道理的 : 如果理念的 存在與具體的存在具有相同的形式, 那么它們之 間的相互包含則意味著它們是相同的 ; 如果理念 的存在與具體的存在不具有相同的形式 ,于是理 念與事物風(fēng)馬牛不相及 ,那么怎么可能通過理念 來認(rèn)識(shí)事物呢 ? 最后 , 亞里士多德就問題的本質(zhì) 進(jìn)行了反駁: 171 更為重要的是, 他們所說的理念,對(duì)于可以感 覺的事物 ,無論是永恒的還是生滅的,究竟有什么 用處呢 ? 既不能引起事物的運(yùn)動(dòng), 也不能引起事 物的變化 : 既不能幫助人們認(rèn)識(shí)

20、其他事物( 因?yàn)榇?事物的理念非他事物的理念) ,也無助于事物本身 的存在性( 因?yàn)槔砟畈⒉淮嬖谟谑挛镏? 。 總而言之, 雖然他們的目的是要把握周邊事 物的原因 ,卻忘掉了這個(gè)目的 ,因?yàn)樗麄儧]有談事 物變化的開始 ,也沒有談事物變化的原因 。他們 幻覺的認(rèn)為自己是在尋找感性事物的實(shí)體 ,卻斷 言了另一種實(shí)體的存在 ,他們只說出了一些不著 邊際的話 。 與柏拉圖完全相反, 亞里士多德認(rèn)為一般性 的概念不是客觀存在的。任何一個(gè)名詞 ,只要它 適用于一類物體的所有成員, 那么這個(gè)名詞就是 一般概念 。比如圓、三角形,比如人 、 樹木,都是一 般概念,這些概念本身不是一種看得見 、 摸得著的 客

21、觀存在 ,這些概念存在于我們的主觀意識(shí)之中, 它們是名( nomina) 而不是實(shí)( res) 。比如 ,世界上 存在的每一個(gè)人都是具體的人, 而一般概念的人 只存在于我們的意識(shí)之中 。 如果理念, 即基本概念不是客觀存在, 那么, 人們?cè)趺纯赡芨杏X到那些不存在的東西呢? 進(jìn)一 步,人們?cè)趺茨塬@得建立在基本概念之上的知識(shí) 呢? 為了說明這些 ,亞里士多德在他的工具論 一書中提出了共相論 5: 我的意思是說,“共相”一詞是指可以用于述 說許多個(gè)主體的這樣一種性質(zhì)的東西 , 個(gè)體一詞 是指不能這樣述說的東西 。 任何一個(gè)“共相”的名詞要成為一個(gè)實(shí)體的名 詞,似乎都是一件不可能的事。因?yàn)?每個(gè)事 物

22、的實(shí)體都是它所特有的東西, 并不屬于任何別 的事物; 但是共相則是共同的 ,因?yàn)檎悄欠N能屬 于一個(gè)以上事物的東西才被稱作共相。 所謂的共相就是一類事物所擁有的共同屬 性,利用這個(gè)共同屬性可以把這類事物與他類事 物區(qū)別,這樣就可以給這類事物一個(gè)專門的名稱, 當(dāng)人們提到這個(gè)名稱的時(shí)候就可以知道這個(gè)名稱 的所指,可以看到,亞里士多德已經(jīng)說出了概念抽 象的要旨。在形而上學(xué)一書中, 亞里士多德以 數(shù)學(xué)為例進(jìn)行了進(jìn)一步闡述 4 185, 246-247: 個(gè)體不能同時(shí)在多處存在 , 共相卻可以同時(shí) 存在于眾多,所以也不難明白 ,離開了特殊普遍將 不存在。 例如 ,數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究, 去掉

23、感性的東西諸如輕重 、 軟硬、冷熱, 剩下的只 有數(shù)量和關(guān)系, 而各種規(guī)定都是針對(duì)數(shù)量和關(guān)系 的規(guī)定 。有時(shí)研究位置之間的關(guān)系, 有時(shí)研究可 通約性,還研究各種比例等等。 數(shù)學(xué)家把共 同原理用于個(gè)別情況, 等量減等量余量相 等,這便是一條對(duì)所有量都適用的共同原理 。對(duì) 于數(shù)學(xué)研究而言,線 、 角, 或者其他的量( 的定義) , 不是作為存在而是作為關(guān)系。 上述最后一句話是相當(dāng)精辟的 ,數(shù)學(xué)從現(xiàn)實(shí) 生活中抽象出的那些定義不是為了說明某種東西 的存在 ,而是為了研究這些定義了的東西之間的 關(guān)系 ,這幾乎說出了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)?？墒?,從幾 何學(xué)公理體系的發(fā)展可以看到, 這句話沒有引起 歐幾里德的足夠

24、重視, 他依然給出了點(diǎn) 、 線 、 面的 物理定義; 直到兩千年以后的偉大的數(shù)學(xué)家希爾 伯特( hilbert ,1862-1943) 才開始遵循這個(gè)原則, 認(rèn)為在公理體系中關(guān)系才是重要的, 無論是稱它 們?yōu)辄c(diǎn)、 線 、 面 ,還是稱它們?yōu)樽雷?、 椅子 、 啤酒杯, 最終推理得到的結(jié)論都是一樣的。也是從希爾伯 特開始,這個(gè)原則引導(dǎo)著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。 按照亞里士多德的想法, 一般概念是人們?cè)?日常生活的經(jīng)驗(yàn)中 , 通過對(duì)于許多具體存在事物 的共同性質(zhì)抽象而得到的 ,所以一般概念不可能 是真正的存在 ,一般概念表現(xiàn)于特殊事物,也就是 說,每個(gè)具體存在都是一般概念的特例 ,一般存在 于特殊之中 ,

25、因此可以認(rèn)為被一般概念所包含了 的特殊事物是存在的存在 。 雖然不應(yīng)該對(duì)兩千多年前的亞里士多德提出 苛刻的要求,但是,我們也必須指出亞里士多德思 考的不足 。數(shù)學(xué)研究所涉及的基本概念并不都是 直接從現(xiàn)實(shí)世界的具體存在中抽象出來的 ,比如 四元數(shù), 再比如高維球面, 因此 , 數(shù)學(xué)的基本概念 并不一定都必須直接依附于現(xiàn)實(shí)世界中的具體的 存在。這樣問題就更復(fù)雜了 ,那些人為創(chuàng)造出來 的、 沒有現(xiàn)實(shí)背景的概念又是如何存在的呢 ? 或許部分是因?yàn)檫@個(gè)原因, 人們總是要回歸 到柏拉圖的思考 。由此可以推斷, 除了規(guī)范了概 念的一般性之外, 柏拉圖的思考一定還有許多合 理的成分 ,否則不會(huì)得到后世許多大哲

26、學(xué)家 、 大數(shù) 學(xué)家的推崇。讓我們進(jìn)一步在討論中來分析這個(gè) 問題 。 二 、 關(guān)于數(shù)學(xué)抽象爭(zhēng)論的發(fā)展 我們討論數(shù)學(xué)概念是如何形成的, 在本質(zhì)上, 這也是在討論科學(xué)思考的原本是什么。我們討論 172 的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是在文藝復(fù)興之后, 因?yàn)檎嬲饬x上 的科學(xué)產(chǎn)生在文藝復(fù)興之后。第一位必須提到的 思想家 是英國(guó) 哲學(xué)家 培根( f . bacon, 1561 - 1624) , 為了科學(xué)的發(fā)展 ,培根毫不留情地批判了 古希臘的那些思考原則 6 340-345: 我們必須承認(rèn) ,我們主要是從希臘人那里得 來的那些智慧, 只不過是知識(shí)的童年,因?yàn)樗錆M 辯論卻無實(shí)效, 這就像兒童具有的特征: 能夠談 論,但

27、不能生育 。 培根是在說 ,古希臘人創(chuàng)造的方法可以用來 討論知識(shí) ,卻不能很好地利用知識(shí) ; 可以用來討論 真理 ,卻不能用來發(fā)現(xiàn)真理。為了強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng) 用, 為了強(qiáng)調(diào)真理的發(fā)現(xiàn), 培根說出了他的名言: “知識(shí)就是力量” ,他決定“給人類的心靈和理智介 紹一種更完善的方法 , 從而使人們能夠達(dá)到自然 界那些更遙遠(yuǎn)、更隱蔽的地方” 。 培根在他的名著新工具中 ,對(duì)亞里士多德 的批評(píng)更加毫不留情 , 他不僅批評(píng)亞里士多德的 三段論不能用于發(fā)現(xiàn)新的科學(xué), 還就名實(shí)之爭(zhēng)這 個(gè)話題批評(píng)了亞里士多德 7 37: 理性派哲學(xué)家最明顯的例子就是亞里士多 德,他用他的邏輯毀壞了自然科學(xué), 因?yàn)樗?總是急于從詞語(yǔ)

28、上而不是從事物本身的內(nèi)涵上, 對(duì)問題給予回答并作出明確地判斷。 除了 邏輯語(yǔ)言之外, 你幾乎聽不到什么別的東西; 在 形而上學(xué)中, 他又在一種更加莊嚴(yán)的名義下 ,似 乎是以一個(gè)唯實(shí)論者而非唯名論者的身份 ,重新 把這種邏輯語(yǔ)言處理了一次。 培根對(duì)于古希臘學(xué)者以及亞里士多德的批評(píng) 是一針見血的, 確實(shí)如培根所說,古希臘的學(xué)者們 過分地?zé)嶂杏谒急?, 就像亞里士多德在形而上 學(xué)的開篇反復(fù)述說的那樣,只有探求原本才可稱 之為智慧 ,而探求原本只是因?yàn)楹闷?并不需要關(guān) 心實(shí)際應(yīng)用。正因?yàn)槿绱?,與思維的研究相比 ,古 希臘的學(xué)者對(duì)于科學(xué)的貢獻(xiàn)實(shí)在有限。雖然在表 面上是因?yàn)榱_馬人的入侵摧毀了古希臘的文明

29、, 事實(shí)上,古希臘的這種不重視經(jīng)驗(yàn) 、 不重視實(shí)踐的 風(fēng)氣也不可能使其文明進(jìn)一步發(fā)展下去。但是, 在共相的問題上, 培根在本質(zhì)上還是繼承了亞里 士多 德 的 觀 點(diǎn) , 因 為 他 在 新 工 具 中 又 說 7 116 -117 : 就自然界的存在而言, 除了個(gè)體按照一定規(guī) 律進(jìn)行純粹的個(gè)體活動(dòng)之外, 別無他物 。但對(duì)于 哲學(xué)而言, 正是由于這種規(guī)律以及對(duì)于這種規(guī)律 的發(fā)現(xiàn) 、 研究和解釋才形成了知識(shí)以及行動(dòng)的基 礎(chǔ),我用形式這個(gè)名詞來表述這種規(guī)律及其包含。 熟悉形式的人能夠在極不相同的實(shí)體中把 握性質(zhì)的統(tǒng)一性, 因此能夠發(fā)現(xiàn)從來沒有發(fā)現(xiàn)過 的東西,也能夠發(fā)現(xiàn)從來沒有想過的東西。所以, 正是

30、由于形式, 我們可以在思想上得到真理并且 在行動(dòng)上得到自由。 回憶亞里士多德關(guān)于共相的論述 ,抽象的對(duì) 象主要是針對(duì)事物的性質(zhì)和關(guān)系 ?，F(xiàn)在 ,培根又 加上了對(duì)于事物變化規(guī)律的抽象, 并把這些統(tǒng)稱 為形式 。就他所說的形式的存在而言, 他的觀點(diǎn) 是與亞里士多德一脈相承的, 不同的是 ,培根對(duì)于 實(shí)踐的重視遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對(duì)于思維的重視。因?yàn)槭挛?的變化規(guī)律涉及到復(fù)合物的性質(zhì), 這要比共相復(fù) 雜得多,也正因?yàn)槿绱?培根強(qiáng)調(diào)那些可以導(dǎo)致發(fā) 現(xiàn)規(guī)律的操作, 因?yàn)椤斑@種操作是從自然界的一 般、 進(jìn)而是永恒出發(fā)的, 這可以使人廣開視野 ,這 是單純依賴人的思想所難以到達(dá)的 7 121。這樣, 培根就對(duì)文藝復(fù)興之

31、前的過分依賴思維的認(rèn)識(shí)論 提出了挑戰(zhàn)。 與培根的觀點(diǎn)對(duì)立的、但與培根一樣對(duì)近代 科學(xué)的思想基礎(chǔ)做出重大貢獻(xiàn)的, 是法國(guó)哲學(xué)家 笛卡爾( r. descartes,1596 - 1650) 。對(duì)于認(rèn)知 ,笛 卡爾強(qiáng)調(diào)的是直觀和演繹 ,他認(rèn)為自己顛覆了亞 里士多德的學(xué)說 。為了分析笛卡爾的認(rèn)識(shí)論 ,最 直接的方法就是分析他的名言: “我思故我在 ( i think, therefore i am) ” 。他在談?wù)劮椒?中述說: 我發(fā)現(xiàn)“我思故我在”這個(gè)真理那樣的確切, 懷疑派們的那些絞盡腦汁的質(zhì)疑都無法動(dòng)搖 。因 此我決定毫不猶豫地采用 ,并把它作為我探尋哲 學(xué)的第一原理 。 我認(rèn)識(shí)到我是一個(gè)實(shí)體

32、, 這個(gè)實(shí)體的所有本 質(zhì)和天性就是思想, 其存在不需要任何空間 ,也不 依賴任何有形的東西; 因此, 這個(gè)“我”就是我之 所以成為我的那個(gè)心靈, 是與身體完全不同 的, 甚至比身體更容易認(rèn)識(shí) ; 即使身體不存在了, 心靈依舊 。 173 在上述譯著中把“身體”譯為“形體” , 這是非常不妥的, 完全改變了笛卡爾的原意, 參見 笛卡爾的錯(cuò)誤 的 192 頁(yè), 達(dá)馬西奧 ( damasio) 著, 毛彩風(fēng)譯, 教育科學(xué)出版社, 2007 年。 參見笛卡爾: 談?wù)劮椒?, 北京: 商務(wù)印書館 2000 年版, 第 27-28 頁(yè)。在這本譯著中把“我思故我在”譯為“我想, 所以我是”, 并 且談了這樣

33、翻譯的理由, 在本書中仍然采用了傳統(tǒng)的翻譯, 因?yàn)樵谙挛闹? 對(duì)于“我”“我思”“我在”均給出了解釋。 可以看到, 笛卡爾強(qiáng)調(diào)的是“我”的思想, 或者 說,具有思想的“我” 。正是基于這一點(diǎn) ,他激勵(lì)人 們對(duì)現(xiàn)存的東西表示懷疑 ,對(duì)未知的東西進(jìn)行探 索; 也是基于這一點(diǎn) ,他推崇直觀、鼓勵(lì)創(chuàng)新。與 培根一樣, 笛卡爾的思想無疑對(duì)促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展 起到了積極的作用 。笛卡爾也是實(shí)踐者 ,他把創(chuàng) 立的解析幾何作為那本書的附錄 。從笛卡爾開 始,西方哲學(xué)開始了“一場(chǎng)關(guān)于認(rèn)識(shí)論的偉大游 戲” 8 160。 或許是因?yàn)榈芽柕恼撟C方法和寫作形式都 與亞里士多德類似 , 許多學(xué)者認(rèn)為笛卡爾是步亞 里士多德之

34、后塵 9 , 事實(shí)上 , 笛卡爾比柏拉圖走 得更遠(yuǎn) 。柏拉圖認(rèn)為理念是真正的存在 ,現(xiàn)實(shí)只 是理念的幻影; 而笛卡爾則干脆把思考的我作為 真正的存在 , 并且, 這個(gè)思考的我不僅與現(xiàn)實(shí)脫 離,甚至與思考的我所依附的身體脫離 ?，F(xiàn)實(shí)之 所以可以被認(rèn)識(shí) ,是因?yàn)槲业拇嬖?,是因?yàn)槲业乃?想的存在, 他有時(shí)也稱這種思想的載體為心靈。 在形而上學(xué)的沉思 中, 他突出了心靈的作 用 10 : 我已經(jīng)明了 ,在真正的意義上 ,即便是形體的 認(rèn)識(shí)也不是因?yàn)楦泄倩蛳胂罅?,而是因?yàn)槔碇?; 它 之所以被認(rèn)識(shí)不是因?yàn)楸豢匆娀蛘弑幻?,而是 因?yàn)楸凰枷胨斫饣蛄私?。這樣就很明顯 ,對(duì)于 我來說,沒有一件東西比我

35、的心靈更容易認(rèn)識(shí)了。 笛卡爾接著解釋說, 比如, 關(guān)于三角形的概 念,就是通過感官進(jìn)入心靈的 ; 關(guān)于三角形的那些 特性也都是真的 ,因?yàn)槲颐靼椎卣J(rèn)知它們,即便沒 有給出證明但我心靈的本性告知它們是真的 ?？?是,為什么心靈本性告知的就是真的呢 ? 笛卡爾 的解釋并不清楚 ,他意識(shí)到自己的有限和不完滿, 于是就依附于神 ,他回答到: “其所以可靠,是因?yàn)?有上帝的存在 。上帝是一個(gè)完滿的實(shí)體 ,而我們 的一切都是從上帝那里來得。 ”于是與后來的牛頓 一樣 ,笛卡爾把原因 、 把第一動(dòng)力奉獻(xiàn)給了上帝。 英國(guó)哲學(xué)家洛克( j. locke, 1632 -1704) 不 同意笛卡爾的觀點(diǎn), 洛克與培

36、根一樣,重視的是經(jīng) 驗(yàn),甚至建立了一個(gè)關(guān)于經(jīng)驗(yàn)的學(xué)說,因此洛克被 認(rèn)為是認(rèn)識(shí)論中經(jīng)驗(yàn)主義的奠基人 。關(guān)于人的認(rèn) 知,洛克提出了有名的白板論, 在人類理智論 一書中他說: 假定心靈像我們說的那樣是一個(gè)白板, 上 面沒有任何記號(hào),沒有任何觀念。那么 ,心靈是怎 樣得到那些觀念的呢? 我用一句話來答復(fù) 這個(gè)問題 : 是從經(jīng)驗(yàn)得來 。我們的全部知識(shí)建立 在經(jīng)驗(yàn)之上, 知識(shí)歸根到底都是源于經(jīng)驗(yàn)的 。對(duì) 于外界可感知事物的觀察 ,或者 ,對(duì)于諸如感知、 反省等心靈內(nèi)部活動(dòng)的觀察, 構(gòu)成了我們可以進(jìn) 行理性思維的全部素材。這兩者是知識(shí)的源泉, 從中涌現(xiàn)出我們已經(jīng)獲得的或必將獲得的全部觀 念。 人的心靈是人認(rèn)

37、知世界的場(chǎng)所 ,這個(gè)場(chǎng)所原 本是一個(gè)白板, 是經(jīng)驗(yàn)通過感官在這個(gè)白板上留 下了印記 ,這就是人對(duì)世界的認(rèn)知。洛克的這個(gè) 比喻是形象的, 這個(gè)比喻在本質(zhì)上是亞里士多德 的,只是更加強(qiáng)調(diào)了操作性、 因而更加強(qiáng)調(diào)了機(jī)械 性,這或許受到了英國(guó)哲學(xué)家霍布斯( t . hob- bles,1588- 1679) 的影響 ,霍布斯認(rèn)為一切知識(shí)來 自感覺,而感覺是一種影像,是外部世界的物體及 其運(yùn)動(dòng)對(duì)于感覺器官作用的結(jié)果 6 395-397。 為了說明心靈是如何通過經(jīng)驗(yàn)得到知識(shí)的, 洛克把知識(shí)分為兩類: 直覺知識(shí)和理性知識(shí) 。直 覺知識(shí)是一類最清晰最可靠的知識(shí), 直覺知識(shí)的 獲得不需要心靈的辛苦勞作, 只需要

38、心靈對(duì)那些 物體一看便知 ,比如 ,對(duì)于圓與三角形的區(qū)別 ; 而 理性知識(shí)的獲得就需要心靈的辛苦勞作了 ,需要 在心靈中插入其他的一些諸如推理、計(jì)算之類的 觀念( 具體用什么觀念將根據(jù)需要而確定) , 比如, 三角形三個(gè)內(nèi)角之和與 180度之間的關(guān)系就不是 憑借直覺就可以知道的。但是, 對(duì)于那些插入的 觀念的判斷也依賴直覺, 所以 ,我們?nèi)恐R(shí)的可 靠性完全依賴于直覺 11。 洛克強(qiáng)調(diào)了經(jīng)驗(yàn)的重要性, 強(qiáng)調(diào)了一種操作 的和機(jī)械的直覺, 這比亞里士多德論述的更加具 體, 但也因?yàn)槿绱?, 洛克更加忽視了人的主動(dòng)性, 忽視了人的活力 。千古智者 、 德國(guó)哲學(xué)家萊布尼 茨( g . leibniz

39、,1646- 1716) 也參與到這個(gè)爭(zhēng)論之 中。萊布尼茨是一個(gè)充滿活力的人, 他與牛頓同 時(shí)發(fā)明了微積分。萊布尼茨完全不同意洛克的觀 點(diǎn),為了表示對(duì)立, 他將他的著作命名為人類理 174 在上述兩本譯著中, 均譯“白板”為“白紙” 。這個(gè)詞在洛克的原著中為 white paper, 翻譯為白紙是沒有問題的。但這個(gè)詞出自拉 丁文tabula rasa, 我們下面將要討論的萊布尼茨在使用這個(gè)詞時(shí)就標(biāo)明了拉丁原文。白板理論肇端于亞里士多德論靈魂 , 希 臘原文為 , 意思為并未真正開始寫字的書板。為了與下文銜接, 這里翻譯為白板。 書名翻譯參見西方哲學(xué)原著選讀 , 也有中譯本為人類理解論 , 關(guān)文

40、運(yùn)譯, 商務(wù)印書館, 1983 年。那段話參見人類理解論 的第68 頁(yè)和西方哲學(xué)原著選讀第 450 頁(yè)的翻譯。 智新論 , 在書的序言中就直截了當(dāng)?shù)卣劦?12 : 對(duì)于一些相當(dāng)重要的問題我們之間是有差別 的。問題就是: 心靈本身是否像亞里士多德和人 類理智論的作者所說的那樣, 完完全全是空白 的,好像一塊還沒有寫上任何字跡的白板( tabula rasa) ,心靈上留下的任何痕跡都是通過感覺和經(jīng) 驗(yàn)得來的 ; 或者 ,心靈原來就包含了一些概念和學(xué) 說的原則, 外界的對(duì)象只是靠機(jī)緣把這些原則喚 醒了 。我和柏拉圖一樣持后一種主張。 接著上面的那一段文字, 萊布尼茨在書中進(jìn) 一步闡述了他的思想 ,

41、 雖然感覺對(duì)于認(rèn)識(shí)是重要 的,但不足以提供全部認(rèn)識(shí),因?yàn)楦杏X提供的都是 具體的例子,不管感覺把例子提供的多么豐富 ,也 不足以保證真理的普遍性和必然性 。萊布尼茨說 的是對(duì)的, 但是他說的這些話恰恰是亞里士多德 曾經(jīng)說過的,正是因?yàn)檫@樣的原因 ,亞里士多德才 規(guī)范了論證的程序, 提出了演繹推理的方法。 不同的是 , 萊布尼茨深刻地思考了“學(xué)說原 則”是如何存在的問題。以數(shù)學(xué)為例,在純數(shù)學(xué)中 有許多命題的證明是不需要舉例的, 進(jìn)而不需要 依靠感覺的證明 ,因此,它們的證明只能依靠天賦 的內(nèi)在原則。萊布尼茨又把人與動(dòng)物進(jìn)行比較, 動(dòng)物對(duì)事物的判斷單純依賴經(jīng)驗(yàn), 靠例子來指導(dǎo) 自己的作為,而人之所以

42、能夠捕獲動(dòng)物 ,就是利用 了動(dòng)物的這一點(diǎn), 單純的經(jīng)驗(yàn)主義者提倡的對(duì)事 物的判斷方法就是一種與動(dòng)物類似的方法。事實(shí) 上,最明智的人就不會(huì)單純地依賴經(jīng)驗(yàn) ,而要去探 求事件發(fā)生的原因, 發(fā)現(xiàn)可靠的規(guī)律,這樣就可以 判斷可能會(huì)出現(xiàn)的例外, 這樣 ,他就進(jìn)一步說明了 人對(duì)事件的判斷依靠天賦的內(nèi)部原則 12 5 -6 。于 是,萊布尼茨理直氣壯地反問 : 既然如此, 還能否認(rèn)我們的心靈中有許多天 賦的東西嗎? 還能否認(rèn)在我們的心中有存 在、 統(tǒng)一、實(shí)體、綿延、變化 、知覺 、快樂 , 以及其他 許許多多我們理智觀念的對(duì)象嗎? 為什么一切都必須是對(duì)外部世界的觀察得 來,而不能從我們自身中發(fā)掘呢? 難道我

43、們的心 靈就這樣空虛, 除了外來的影像就一無所有? 萊布尼茨批評(píng)白板理論是虛構(gòu)的, 是荒謬的, 就像沒有運(yùn)動(dòng)的物體、沒有靈魂的思想那樣 。萊 布尼茨支持了笛卡爾 ,也發(fā)展了笛卡爾 ,他認(rèn)為心 靈與身體之間是溝通的, 為了說明這一點(diǎn),他創(chuàng)造 了“前定和諧”學(xué)說。最后 ,與那個(gè)時(shí)代的所有哲 學(xué)家一樣, 萊布尼茨用他的學(xué)說論證了上帝的存 在,特別是 ,他還證明了“這個(gè)世界是所有可能世 界中最好的世界” 12 第4卷,第10. 7節(jié)。 可以看到 , 因 為科學(xué)發(fā)展的限制 , 有許多問題萊布尼茨不可能 闡述得非常清晰, 但他的思想中有許多合理的內(nèi) 核,特別是 ,他強(qiáng)調(diào)了人的主觀能動(dòng)性?；蛟S是因 為這個(gè)原

44、因 ,馬克思在 1870 年 5 月 10 日致恩格 斯的信中說: “你知道 ,我是佩服萊布尼茨的 。 ” 13 為了堅(jiān)持經(jīng)驗(yàn)主義 , 英國(guó)哲學(xué)家休謨( d. hume,1711-1776) 創(chuàng)立了因果關(guān)系的學(xué)說, 他利 用這個(gè)學(xué)說論證了一切結(jié)果的發(fā)現(xiàn)不能通過理性 而只能通過經(jīng)驗(yàn) ,羅素在西方哲學(xué)史中評(píng)價(jià)他 “把洛克和貝克萊的經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)發(fā)展到了邏輯 終點(diǎn)” 。休謨最重要的著作是人性論 ,可是這本 書并沒有得到人們的關(guān)注 ,但這本書的簡(jiǎn)縮本人 類理智研究卻有較大的影響 , 據(jù)說, 正是這個(gè)簡(jiǎn) 縮本把康德從“獨(dú)斷的睡夢(mèng)”中喚醒 3 196 -197。 突出經(jīng)驗(yàn)的作用的最簡(jiǎn)潔辦法就是貶低精神 的作

45、用,于是在人類理智研究的開篇不久 ,休謨 就限制了精神作用的可能性 14: 我們的思想似乎具有無邊無際的自由, 可是 切實(shí)考察就會(huì)發(fā)現(xiàn) , 它實(shí)際上被限制在一個(gè)狹隘 的范圍之內(nèi),人的心靈所具有的創(chuàng)造力 ,只是將感 官和經(jīng)驗(yàn)提供的素材加以混合 、 置換、 擴(kuò)大或縮小 而已 。 休謨認(rèn)為, 人類的理智并不能創(chuàng)造出什么新 的東西 ,其功能只是對(duì)那些感覺到的現(xiàn)實(shí)世界的 各種現(xiàn)象進(jìn)行疊加 。對(duì)人類理智如此的貶低 ,在 所有的哲學(xué)家中休謨可能是第一人, 或許也正是 這個(gè)原因激發(fā)了康德的全力批判 。但是 ,人類理 智所具有的推理能力是不容置疑的, 休謨用自問 自答的方式對(duì)推理的本質(zhì)進(jìn)行了概括性的闡 述 15

46、 : 原因與結(jié)果的發(fā)現(xiàn), 是不能通過理性,只能通 過經(jīng)驗(yàn) 。 如果有人問: 我們對(duì)于事實(shí)所做的 一切推論的本性是什么? 合適的回答似乎是 : 這 些推論是建立在因果關(guān)系的基礎(chǔ)上 。如果再問: 因果關(guān)系的推論和結(jié)論的基礎(chǔ)是什么? 可以用一 句話來回答: 經(jīng)驗(yàn)。如果繼續(xù)刨根問底 : 由經(jīng)驗(yàn)可 以得到一切結(jié)論的基礎(chǔ)是什么 ? 關(guān)于最后一個(gè)問題, 休謨也回答不出來 ,在述 說了許多理由之后他說: “你想從過去的經(jīng)驗(yàn)得知 事物的本性, 那是徒勞的 。因?yàn)榧幢闶歉行孕再|(zhì) 不發(fā)生變化,它們的秘密本性仍然會(huì)發(fā)生變化,于 是它們的結(jié)果和作用也發(fā)生變化。 ”休謨斷然認(rèn)為 這個(gè)問題過于復(fù)雜, 不僅他回答不了,其他人

47、也回 答不了,他說: “你能通過邏輯 、 或者論證進(jìn)行反駁 175 嗎? 我把這個(gè)問題提給大家, 但是并不期待可能 得到解決問題的答案。我之所以這樣做 ,雖然不 能增進(jìn)知識(shí),但至少可以知道自己的無知。 ” 事實(shí)上,休謨的邏輯順序是簡(jiǎn)單的 : 人的認(rèn)知 和推理的基礎(chǔ)是經(jīng)驗(yàn) ,并且直接來源于經(jīng)驗(yàn); 因?yàn)?經(jīng)驗(yàn)把握不了時(shí)刻發(fā)生變化的事物的本質(zhì) ,因此 人是無知的。這樣, 休謨就把經(jīng)驗(yàn)主義置于邏輯 上不可逆轉(zhuǎn)的境地, 終于陷入了不可知論。 德國(guó)哲學(xué)家康德( i. kant ,1724 -1804) 對(duì)休 謨?nèi)绱嗣暌暼说睦硇员硎緫嵖?,于是寫出巨著純 粹理性批判 。雖然這本巨著書名為批判,但實(shí)質(zhì) 是對(duì)于

48、純粹理性的評(píng)析 ,甚至是在論證純粹理性 的可能性 ,因?yàn)榭档略谶@本巨著的序言中說 : 主要問題仍然是: 知性和理性脫離一切經(jīng)驗(yàn) 能夠認(rèn)識(shí)什么、認(rèn)識(shí)多少 ? 這就要回到最原始的話題 , 人到底是如何獲 取知識(shí)的 。我們?cè)劦较柌胤浅Ｗ鹁此倪@ 位同胞 ,他在幾何基礎(chǔ)第一版的扉頁(yè)引用了康 德的一段話 16 544 : 人類的一切知識(shí)都是從直觀開始 ,從那里進(jìn) 到概念,而以理念結(jié)束。 在這里,康德強(qiáng)調(diào)了人的精神的力量,人的精 神基于一個(gè)積極主動(dòng)的器官, 不僅能夠?qū)⒆兓?感覺歸納為確定的概念 ,也能將雜亂的經(jīng)驗(yàn)整理 為清晰的理念 。為了說明這些, 康德首先定義了 兩類直觀 ,一類是經(jīng)驗(yàn)直觀,一類

49、是純粹直觀 。經(jīng) 驗(yàn)直觀可以理解, 什么是“純粹直觀”呢 ? 他解釋 到 16 25 -29 : 我把一切在其中找不到任何屬于感覺的東西 的表象稱之為純粹的( 在先驗(yàn)的理解中) 。因此, 一般感性直觀的純粹形式將會(huì)先天地在內(nèi)心中被 找到 ,在這種純粹形式中 ,現(xiàn)象的一切林林總總通 過某種關(guān)系而得到直觀。感性的這種純粹形式本 身也叫做純粹直觀。 就每一個(gè)個(gè)體而言, 我們對(duì)許多東西都找不 到感覺,可是就一般的人類而言,找不到感覺的那 些東西是什么呢 ? 康德認(rèn)為是空間和時(shí)間 ,康德 對(duì)于空間和時(shí)間找不到任何感覺, 并且武斷地認(rèn) 為所有的人對(duì)空間和時(shí)間都找不到感覺 ,于是他 認(rèn)為, 人們能夠建立空間

50、和時(shí)間的概念是因?yàn)榧?粹直觀而不是經(jīng)驗(yàn)直觀, 他很認(rèn)真地闡述了理由: 空間不是什么從外部經(jīng)驗(yàn)中抽引出來的經(jīng)驗(yàn) 的概念 。 空間是一個(gè)作為一切外部直觀之 基礎(chǔ)的必然的先天表象。 空間決不是關(guān)于 一般事物的關(guān)系的推論的概念 ,或如人們所說 ,普 遍的概念 ,而是一個(gè)純粹直觀 。 這樣 ,空間和時(shí)間就不是人們感覺到的東西, 而是人們用來整理感覺的工具 。如果感覺到了現(xiàn) 實(shí)世界的事物 ,那么 ,通過空間就可以分辨這個(gè)事 物與其他事物的位置關(guān)系 ,這就可以分辨事物的 性質(zhì)差異; 通過時(shí)間就可以分辨這個(gè)事物與其他 事物的先后關(guān)系,這就可以分辨事物的順序差異。 于是 ,康德就證明了 ,雖然知識(shí)的來源不可能超

51、越 經(jīng)驗(yàn) ,但并不都是依賴感覺、 單純用歸納整理的方 法堆積出來的, 其中有一部分是由人的內(nèi)心中先 天就存在的東西 、 即純粹直觀推斷得到的 。這類 似萊布尼茨的說法, 心靈并不是一個(gè)白板,心靈原 來就包含了一些概念和學(xué)說的原則, 外界的對(duì)象 只是靠機(jī)緣把這些原則喚醒了 。當(dāng)然, 康德論述 的比萊布尼茨更有條理也更加深刻 。 空間和時(shí)間是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ) ,如果這個(gè)基 礎(chǔ)是先驗(yàn)的,那么數(shù)學(xué)的規(guī)律也是先驗(yàn)的,是不依 賴于經(jīng)驗(yàn)的“先天的綜合判斷” ,因此是絕對(duì)的、 必 然的永恒 。這樣,在對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)上 ,康德又回 到了柏拉圖的論點(diǎn)。 或許是因?yàn)榘乩瓐D的思想更富有活力, 給人 以自信,許多數(shù)學(xué)家都

52、愿意接受柏拉圖的觀點(diǎn),并 且不斷地給予新的解釋 ,使這個(gè)觀點(diǎn)更加適應(yīng)科 學(xué)的發(fā)現(xiàn)和時(shí)代的發(fā)展 17 。m . 克萊因在數(shù)學(xué): 確定性的喪失 18 一書中從研究基礎(chǔ)和論證模式 出發(fā) ,把現(xiàn)代數(shù)學(xué)分為四個(gè)學(xué)派, 即邏輯主義 、 直 覺主義、 形式主義和集合論公理化 。事實(shí)上 ,集合 論公理化可以歸于邏輯主義, 雖然在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中, 集合論作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言其作用越來越重要, 但 就本質(zhì)而言 ,集合公理化只能是邏輯表達(dá)的一個(gè) 方面。下面 ,我們來簡(jiǎn)單地分析其余三派的認(rèn)知 基礎(chǔ) 。 形式主義的代表人物是希爾伯特 ,我們已經(jīng) 說過 ,希爾伯特的認(rèn)知哲學(xué)深受康德的影響 ,因而 是支持柏拉圖的。形式主義的概念基

53、礎(chǔ)是所謂的 第二次抽象,他們沒有也不想回頭看、 進(jìn)而回歸到 經(jīng)驗(yàn)的層面,從這一點(diǎn)分析,他們比柏拉圖走得更 遠(yuǎn),他們認(rèn)為“對(duì)待數(shù)學(xué)最可靠的方法不是把它當(dāng) 作實(shí)際知識(shí)而是當(dāng)作一種形式上的法則” 18 250。 邏輯主義的概念基礎(chǔ)也是所謂的第二次抽 象。邏輯主義的代表人物是羅素, 羅素更主要的 是一位哲學(xué)家 ,他對(duì)柏拉圖推崇備至。羅素在西 方哲學(xué)史中說 3 203 -204: 我應(yīng)當(dāng)同意柏拉圖的說法, 純粹數(shù)學(xué)并不是 從知覺得來的。純粹數(shù)學(xué)包含的都是類似“人是 176 人”這樣的同義反復(fù) ,只不過是更為復(fù)雜罷了 。要 知道 ,判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否正確 ,我們并不需要 研究世界, 而只需要研究符號(hào)的意

54、義 ; 而符號(hào) ,當(dāng) 我們省略了定義之后 ,只不過是“或者” 、 “不是”、 “一切”和“某些”之類的話語(yǔ), 并不指向現(xiàn)實(shí)世界 中的任何事物。 在羅素的眼中 ,數(shù)學(xué)就是通過一些表示關(guān)系 的邏輯術(shù)語(yǔ)把表示概念的名詞連接在一起 ,構(gòu)成 話語(yǔ)或者命題 。顯然 , 如果我們不顧及概念的實(shí) 際含義 ,那么就如羅素對(duì)數(shù)學(xué)的評(píng)述的那樣 : “數(shù) 學(xué)的真理, 正如柏拉圖所說 ,與知覺無關(guān), 這是一 種非常奇特的真理, 僅僅涉及符號(hào)。 ”我們可以看 到,在認(rèn)知哲學(xué)的層次上 ,邏輯主義和形式主義是 一致的。 整體說來, 直覺主義的理論體系是零亂的 ,但 對(duì)于數(shù)學(xué)的研究手法卻是明確的。對(duì)于數(shù)學(xué)命題 正確與否的判斷,

55、 進(jìn)而是對(duì)數(shù)學(xué)論證方法合理與 否的判斷 ,他們寧可相信人的直覺 ,也不相信形式 主義的那些形式和邏輯主義的那些邏輯 。比如他 們認(rèn)為,關(guān)于無窮集合這樣的概念 ,關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù) 性這樣的性質(zhì), 關(guān)于排中律使用范圍這樣的規(guī)則, 人的直覺判斷比形式化的邏輯推理更為有效 。有 一批大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家支持這個(gè)觀點(diǎn) , 比如克羅 內(nèi)克( l . kronecker , 1823 -1891) 、鮑萊爾( e. borel ,1871- 1956) 、勒貝格( h . lebesgue ,1875- 1941) 以及人們被譽(yù)為最后的數(shù)學(xué)全才的龐加萊 ( h . poincare ,1854 - 1912) ?？?/p>

56、是 ,人通過直覺得 到數(shù)學(xué)是如何存在的呢? 他們認(rèn)為, 數(shù)學(xué)是人的 頭腦的產(chǎn)物,它僅僅存在于人的頭腦之中,是獨(dú)立 于現(xiàn)實(shí)世界的 。于是, 正如 m . 克萊因認(rèn)為的那 樣,直覺主義可以追溯到笛卡爾和康德 ,這樣又是 支持柏拉圖的。 或許數(shù)學(xué)是特殊的, 也就是說 ,或許就認(rèn)識(shí)論 而言數(shù)學(xué)的概念和原理的形成有其特殊性,因?yàn)? 被羅素稱為“把認(rèn)識(shí)論經(jīng)驗(yàn)主義發(fā)展到了邏輯終 點(diǎn)”的休謨?cè)谡撌龅綌?shù)學(xué)時(shí)也是筆下留情,給予特 殊處理,他在人類理智研究中說 19: 人類理性的全部對(duì)象可以自然地分為兩類: 觀念關(guān)系和事實(shí)關(guān)系。屬于第一類的有幾何 、 代 數(shù)、 三角諸學(xué)科。簡(jiǎn)而言之 ,任何一個(gè)命題, 只要 由直覺可

57、以發(fā)現(xiàn)其確切性 ,或者,由證明發(fā)現(xiàn)其確 切性 ,都可以屬于第一類 。 看來 ,對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的作用,在休謨那里也是有商 量余地的 ,因?yàn)樗f的第一類對(duì)象是特殊的,是 不依賴經(jīng)驗(yàn)的 。他認(rèn)為 ,畢達(dá)哥拉斯定理的判斷 就只憑借思想的作用 , 許多幾何概念縱然在自然 界中沒有原型 , 歐幾里德的結(jié)論依然是真理 。可 以看到,這些說法即使不是柏拉圖的,離柏拉圖的 也不遠(yuǎn)了 。 既便如此, 我在本質(zhì)上依然贊同亞里士多德 的看法。在現(xiàn)實(shí)世界中, 數(shù)學(xué)的基本概念、 即那些 抽象了的東西是不存在的 ,抽象了的概念只是表 現(xiàn)在每一個(gè)具體之中。更確切地說, 如果一個(gè)東 西在現(xiàn)實(shí)世界中是存在的, 那就不是抽象的 。不

58、管柏拉圖多么希望建立永恒的知識(shí), 但是我們必 須清楚,知識(shí)所依賴的抽象了的概念是人給出的, 并且是被某一個(gè)群體的人所認(rèn)可的 。如果讓人們 重新開始數(shù)學(xué)的研究 , 會(huì)有多少與現(xiàn)在的數(shù)學(xué)是 一樣的 ? 任何一位了解數(shù)學(xué)的人都會(huì)知道 ,一定 不會(huì)是完全一樣的 。不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科, 其他學(xué)科 大概也是如此 。我們甚至可以更加刻薄地提出問 題,如果沒有柏拉圖和亞里士多德, 那么, 這場(chǎng)關(guān) 于柏拉圖與亞里士多德引發(fā)的“名實(shí)之爭(zhēng)”的事情 的本身是必然的嗎? 是“真正的”存在嗎 ? 正是因 為抽象了的東西是人抽象出來的, 這個(gè)抽象就必 然與某一個(gè)具體的人或者某一群具體的人有關(guān), 那么, 這種抽象了的東西怎么可能

59、是真正的存在 呢? 抽象必須依賴于具體的人、必須依賴于具體 人的抽象能力, 關(guān)于這一點(diǎn) , 不僅柏拉圖沒有注 意,就是亞里士多德也沒有注意。我這里所說的 正是東方文化和西方文化的差異, 東方文化關(guān)注 一類事物以及這類事物與他類事物的差異, 西 方文化關(guān)注一般事物以及一般事物與具體事物的 差異。可惜的是, 這些問題已經(jīng)超出了我們討論 的范圍。 我們能夠感悟到乒乓球、足球是圓的,甚至知 道行星運(yùn)動(dòng)的軌跡基本是圓的, 但是圓這個(gè)概念 本身卻是人為給出的 , 是從現(xiàn)實(shí)世界中許多具有 圓形的物體 ,或者具有圓形軌跡的運(yùn)動(dòng)中抽象出 來的 ,基于它們的共性就得到了概念: 到一個(gè)定點(diǎn) 的距離相等。在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上, 我們可以定 義一些點(diǎn)的集合,或者定義一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程; 進(jìn)一步,在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上 ,我們可以討論與之 有聯(lián)系的各種關(guān)系, 比如周長(zhǎng)與半徑、 面積與半徑 等等。很顯然, 沒有這些概念就沒有數(shù)學(xué), 因此, 沒有抽象也就沒有數(shù)學(xué)。但是, 這些概念本身卻 177 周易系辭傳開宗明義: 天尊地卑, 乾坤定矣。卑高以陳, 貴賤位矣。動(dòng)靜有常, 剛?cè)釘嘁?。方以類? 物以群分, 吉兇生矣。 不存在于現(xiàn)實(shí)世界 , 它通過現(xiàn)實(shí)世界中的每一個(gè) 具體的存在而表現(xiàn)其存在 。 但是