1、 隨著科學(xué)研究的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)學(xué)已經(jīng)空前廣泛地滲入到數(shù)學(xué)以外的學(xué)科和我們的生活，然而現(xiàn)代數(shù)學(xué)在人們心中的地位卻沒有達(dá)到它應(yīng)當(dāng)達(dá)到的高度。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化程度的提高、分支的逐步細(xì)化，專業(yè)知識因為艱澀和高深僅僅掌握在少數(shù)人手中而無法被大眾共享，新的成果無人理解，獎項無人關(guān)注，數(shù)學(xué)仿佛離人們越來越遠(yuǎn)。對于數(shù)學(xué)這樣一門富有深刻文化內(nèi)涵的學(xué)科，就連一些受過良好教育的人也持無視態(tài)度，這是一個普遍的事實，也是令人擔(dān)憂的現(xiàn)象，真實地反映了我們數(shù)學(xué)教育人文精神培養(yǎng)的嚴(yán)重缺失。 本文從人類文化與人類文明的角度探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，分析數(shù)學(xué)的文化屬性及功能特征，闡述數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對于人類產(chǎn)生的重大影響，

2、既包括對人類生產(chǎn)生活方式的改變，也包括對人的觀念、思想和思維方式的潛移默化的作用，同時體現(xiàn)了人類在探索、認(rèn)識真理的過程中展現(xiàn)的精神和崇高境界。 通過對近十年關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)教育”的文獻(xiàn)進(jìn)行閱讀分析，從一個側(cè)面展現(xiàn)了研究者們經(jīng)歷的理論上學(xué)習(xí)一一反思一一醞釀一一創(chuàng)新的研究過程，從觀念上到實際上、從宏觀上到微觀上的認(rèn)識和實踐過程，通過分析梳理十年來關(guān)于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)文化教學(xué)觀、教學(xué)策略等的研究內(nèi)容和研究成果，進(jìn)而了解文化觀下的數(shù)學(xué)教育的演變和發(fā)展，并對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的研究和實踐提出了一些建議。 本文也通過對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值及人文價值的分析，闡述了成功的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)注重數(shù)學(xué)的文化屬性，在傳授

3、知識的過程中訓(xùn)練思維，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)，并體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用教育價值、思維教育價值、精神教育價值。同時，本文通過對我國高等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的分析，尋找當(dāng)前我國高校數(shù)學(xué)教育存在的不足并試圖對數(shù)學(xué)課程的建設(shè)提出一些建議，指出從全面提升學(xué)生素質(zhì)的角度出發(fā)，重視數(shù)學(xué)文化教育勢在必行。 數(shù)學(xué)文化與人類文明 文化是一個使用頻率極高且含義極廣的概念，千百年來，哲學(xué)家、社會學(xué)家、人類學(xué)家、歷史學(xué)家和語言學(xué)家等一直試圖從各自學(xué)科的角度來界定文化的概念，卻始終沒有獲得一個公認(rèn)的、令大家都滿意的定義。目前我們所知道的為文化人類學(xué)與社會學(xué)所繼承的最經(jīng)典的文化定義是泰勒給出的描述性定義，即“文化或文明是一個復(fù)雜的整體，它包括知識

4、、信仰、藝術(shù)、法律、倫理道德、風(fēng)俗和作為社會成員的人通過學(xué)習(xí)而獲得的任何其他能力和習(xí)慣”，而國內(nèi)學(xué)者比較認(rèn)同的是“人類物質(zhì)和精神文明的總和”即為文化。 文化是人類知識與社會生活經(jīng)驗的積累，是一個具有子文化的、隨著歷史進(jìn)程不斷傳播的復(fù)合整體。而數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的非自然的產(chǎn)物，凝聚了人類的知識、意識與經(jīng)驗，在傳播、影響、融合的過程中發(fā)展，具有文化的所有特點，所以應(yīng)該被看作是一種文化。20世紀(jì)60年代，西方學(xué)者率先提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點和方法。近20年來，數(shù)學(xué)文化逐漸引起了國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的研究也轟轟烈烈地開展起來。 按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)文化可以表述為以

5、數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化現(xiàn)象。數(shù)學(xué)文化研究開展以來，數(shù)學(xué)的抽象、確定、繼承、簡潔、統(tǒng)一的文化屬性和滲透、傳播、應(yīng)用、預(yù)見的功能特征被挖掘出來，數(shù)學(xué)的藝術(shù)性也深深吸引了人們的眼球。然而這只是數(shù)學(xué)功能的外顯式表現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化研究表明，數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神。 邏輯思維是人類特有的精神活動，是人所以能進(jìn)行邏輯思考原因，而人的邏輯思維能力的

6、養(yǎng)成與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。邏輯思維的過程實際上就是演繹或推理的過程，而演繹推理得以實現(xiàn)的前提是人們在意識中首先形成抽象的概念，即把概念從實體中抽象出來。 在早期的人類文明，數(shù)學(xué)的創(chuàng)始之初，人類就已經(jīng)學(xué)會了思考數(shù)字并進(jìn)行運算，而這種數(shù)的抽象概念的形成僅僅是邏輯思維的第一步，更有意義的是人們在數(shù)字之間建立起來的邏輯關(guān)系。當(dāng)人們在數(shù)的概念之間建立起某種邏輯關(guān)系并確信這種邏輯關(guān)系的可靠性的時候，便開啟了邏輯思維過程。在這一意義上說，邏輯思維始于數(shù)學(xué)，而邏輯能力也是通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)起來的。當(dāng)人們有能力在概念之間建立邏輯關(guān)系的時候，便意味著人們已經(jīng)為自己構(gòu)造了一個由概念組成的純思的世界。數(shù)學(xué)為人們展現(xiàn)的是由諸

7、多與實體分離的概念組成的純思的世界，在這個世界里，任何結(jié)論都是邏輯推理的結(jié)果。與數(shù)學(xué)的邏輯本質(zhì)相似，思想也是人類理性思維的產(chǎn)品，在思想的世界里，人們所獲得的任何認(rèn)識和結(jié)論同樣依賴于邏輯推理。故而在東西方思想文化史上存在一個顯而易見的事實:凡是數(shù)學(xué)發(fā)展水平較高的民族，其思想文化的邏輯程度也相對較高。 在完成了自身的邏輯過程以后，探求數(shù)學(xué)真理便成了數(shù)學(xué)的基本精神，也導(dǎo)向了人們對于普遍必然性的關(guān)注。歐幾里得說:“在幾何學(xué)里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道”;亞里士多德說:“關(guān)于真理的探索，在一種意義上是困難的，在另一種意義上又是容易的”，由此可見，數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家在這一至關(guān)重要的一點上是一致的，即真理面前，每

8、個人都有同等的機會，無論是數(shù)學(xué)真理還是道德真理，只能通過人們的思辨獲得。人類基本的思維傾向便是對普遍必然性的關(guān)注，而數(shù)學(xué)的發(fā)展使思想家對必然性的探求進(jìn)入新的境界。人們通過邏輯發(fā)現(xiàn)，客觀的物質(zhì)世界所以變化的原因應(yīng)當(dāng)通過物質(zhì)世界本身解釋，而不能簡單地用神意來說明。西方近代思想家笛卡爾甚至試圖在哲學(xué)領(lǐng)域通過數(shù)學(xué)演繹法建立一個具有數(shù)學(xué)般確定性和可靠性的哲學(xué)體系，“帶頭重建哲學(xué)基礎(chǔ)”，將哲學(xué)重新拉回理性時代，使得人們沖破宗教迷信的藩籬成為可能?？梢娊鞣皆?jīng)產(chǎn)生過巨大影響的理性主義同樣是數(shù)學(xué)精神融入思想文化領(lǐng)域的結(jié)果。 以往有關(guān)數(shù)學(xué)史和文化史的研究中，人們更多注意到的是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間的關(guān)系，卻很少

9、談到數(shù)學(xué)史與思想史之間的聯(lián)系。事實上，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類思想的發(fā)展有著密切的相關(guān)性。除了幫助人類完成邏輯進(jìn)程，喚醒人類的理性精神，數(shù)學(xué)還參與到促進(jìn)人類思想解放的過程當(dāng)中。在人類的精神世界里，理性達(dá)不到的地方才是鬼魅神怪的領(lǐng)域。人們通過學(xué)習(xí)和掌握知識來擺脫宗教迷信的束縛、改善生活，源于數(shù)學(xué)的理性精神的普及過程，就是人們形成理性的生活態(tài)度，擺脫精神栓桔，把宗教迷信從人們的口常生活中驅(qū)逐出去的過程，也是人們積累知識，跳出思維定式，創(chuàng)造新思維新生活的過程。 真理誕生總是伴隨著曲折的，獲得真理的道路也通常是坎坷的。數(shù)學(xué)史不但向我們展示了數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，還向我們展示了人類探索真理、奮斗求真的艱辛過往。通過學(xué)

10、習(xí)數(shù)學(xué)史，我們看到人類對真理的追求、對超越自身的向往、對智力極限的挑戰(zhàn)。這一切都在鼓舞我們后來之人要敢于懷疑和突破，要勇于獨立思考，更要在追求真理的道路上堅持不懈。 一直以來，說到人的文化素質(zhì)，人們大多以為文化素質(zhì)主要是指人們在社會科學(xué)方面的知識修養(yǎng)，而很少提及在自然科學(xué)特別是數(shù)學(xué)方面的修養(yǎng)。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人的文化素質(zhì)最為重要的構(gòu)成要素之一。 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中養(yǎng)成的基本素質(zhì)，這種素質(zhì)在現(xiàn)實的生活中主要體現(xiàn)為邏輯思考的能力與習(xí)慣，體現(xiàn)為理性的生活態(tài)度，體現(xiàn)為對真理的熱愛，還體現(xiàn)為良好的個人品格。就每一個社會成員而言，他們也許沒有足夠的能力解決那些高深的數(shù)學(xué)問題，在他們的生活

11、和工作中，也可能不需要很強的數(shù)學(xué)計算能力，但是對于大多數(shù)人來說，只要他能夠理解數(shù)學(xué)探求真理、尊重真理的客觀性的基本精神，對各種問題能以“數(shù)學(xué)方式”理性思考，善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，他在事實上便已經(jīng)獲得了對于人生相當(dāng)寶貴的東西。也就是說，在口常的社會生活中，良好的思維方式與生活態(tài)度、習(xí)慣，遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)技能更為重要。在這一意義上說，數(shù)學(xué)文化教育的重要性是不言而喻的。從提高國民文化素質(zhì)的目的出發(fā)，我們應(yīng)該適時調(diào)整高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)方案，從以往偏重數(shù)學(xué)技能的教學(xué)理念轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng)并重，把培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目的，從而，使高等學(xué)

12、校的數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為提高國民文化素質(zhì)的可靠途徑。 目前我國高等院校重數(shù)學(xué)技能培養(yǎng)而輕數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的課程結(jié)構(gòu)，遠(yuǎn)不能適應(yīng)提高人們數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至于國民整體文化素質(zhì)的需要。在高等院校普及數(shù)學(xué)文化教育已經(jīng)勢在必行，但是還有很多函待解決的問題，如課程建設(shè)上將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，迅速培養(yǎng)一支能夠滿足數(shù)學(xué)文化教學(xué)需要的教師隊伍，把教材建設(shè)迅速提上議事口程等。 對于數(shù)學(xué)文化的研究，國內(nèi)外的學(xué)者依舊在熱火朝天地進(jìn)行著，而數(shù)學(xué)文化教學(xué)效果的反饋還要經(jīng)歷一個比較長的時期。我們試圖從自己對數(shù)學(xué)和文化的理解發(fā)掘數(shù)學(xué)的文化功能，希望能夠拋磚引玉，對數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)教育的研究作出一點貢獻(xiàn)。關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教育，

13、人類文明 我們手邊的詞典對文化是這樣解釋的: 1、在人類社會歷史和發(fā)展過程中所創(chuàng)造的精神財富和物質(zhì)財富的總和，特指精神財富，如文學(xué)、藝術(shù)、教育、科學(xué)等; 2、考古學(xué)用語，指同一歷史時期不依分布地點為轉(zhuǎn)移的真跡、遺物的綜合體。同樣的工具、用具，同樣的制造技術(shù)等，是同一種文化的特征，如仰韶文化、龍山文化; 3、指運用文字的能力及一般知識，文化知識、大學(xué)文化。 后面兩條解釋似乎比較好理解，而第一條即從“大”的方面定義文化成了人們爭議的焦點。據(jù)美國學(xué)者克魯伯(a. l. kroeber)和克拉克洪(c.kluckhohn)的統(tǒng)計，從1871年到19_51年的80年間，學(xué)術(shù)界有關(guān)文化的定義達(dá)到164種之

14、多。他們將這些定義整理歸納為描述性、歷史性、行為規(guī)范性、心理性、結(jié)構(gòu)性、遺傳性和不完整性七組。典型定義摘錄如下: 1、泰勒(e.b.tylor 1871年) 文化或文明是一個復(fù)雜的整體，它包括知識、信仰、藝術(shù)、法律、倫理道理、風(fēng)俗和作為社會成員的人通過學(xué)習(xí)而獲得的任何其他能力和習(xí)慣(屬描述性的定義); 2、帕克和伯吉斯(r.e.park and e.burgess 1921年) 一個群體的文化是指這一群體所生活的社會遺傳結(jié)構(gòu)的總和，而這些社會遺傳結(jié)構(gòu)又因這一群體人特定的歷史生活和種族特點而獲得其社會意義(屬歷史性的定義); 3、威斯勒(wissler 1929年) 某個社會或部落所遵循的生活方

15、式被稱作文化，它包括所有標(biāo)準(zhǔn)化的社會傳統(tǒng)行為。部落文化是該部落的人所遵循的共同信仰和傳統(tǒng)行為的總和(屬行為規(guī)范性的定義); 4、斯莫爾(small 190_5年) 文化”是指某一特定時期的人們?yōu)樵噲D達(dá)到他們的目的而使用的技術(shù)、機械、智力和精神才能的總和?！拔幕卑ㄈ祟悶檫_(dá)到個人或社會目的所采用的方法手段(屬心理性的定義); _5、威利(willey 1929年) 文化是一個反應(yīng)行為的相互關(guān)聯(lián)和相互依賴的習(xí)慣模式系統(tǒng)。(屬結(jié)構(gòu)性的定義); 6、亨廷頓(s.p.huntington 194_5年) 我們所說的文化是指人類生產(chǎn)或創(chuàng)造的，而后傳給其他人，特別是傳給下一代人的每一件物品、習(xí)慣、觀念、制

16、度、思維模式和行為模式(屬遺傳性的定義); 7、薩皮爾(e.sapi 1921年) 文化可以定義為是一個社會所做、所思的事情(屬不完整性的定義)。1l 值得一提的是泰勒的關(guān)于文化的概念出自他所著的原始文化，這是目前我們所知道的最早也是最經(jīng)典的有關(guān)文化的定義，也為后來文化人類學(xué)與社會學(xué)所繼承。 事實上，由于文化這一概念本身所具有的特性所致，在學(xué)科背景以及思想方式各不相同的人們那里，對于文化一定會有各不相同的理解，也一定會有各不相同的定義。其實，關(guān)于文化的定義，還是國內(nèi)的一些學(xué)者說得更為簡捷，那就是，文化是“人類物質(zhì)文明和精神文明的總和”。 在如何理解文化這一概念的問題上，能否給出一個確切而又為人

17、們廣泛接受的定義并不重要，重要的是對于文化本身的理解。我認(rèn)為，把握文化的基本特征才是理解文化的基本途徑。 首先，文化是人類的知識與社會生活經(jīng)驗的積累，是人們通過自身的活動影響自然和改造自然的結(jié)果。在辭源學(xué)的意義上說，英語中的“文化”一詞來源于拉丁文的cultura，其意為耕作、培養(yǎng)、教育和發(fā)展出來的事物，同樣，英語中的culture也有相近的意義，一些與culture詞根相同的詞，也都同樣具有相同的意義，如，cultivate意為耕種、培養(yǎng)、修養(yǎng)、教養(yǎng)，而agriculture則意為農(nóng)業(yè)、農(nóng)學(xué)，也具有人工培育的意思。由此可見，英語世界里的“文化”(culture)，所指的就是人們根據(jù)自己的需要

18、培養(yǎng)或養(yǎng)成的一切事物，凡是人們有意識培育、改造或者影響的事物，便都具有了文化的內(nèi)涵。是否凝聚了人類的知識、意識與生活經(jīng)驗，是區(qū)別文化特質(zhì)與自然事物的分水嶺。 其次，文化是一個復(fù)合的整體。作為一個無所不含的概念，文化涉及到人類社會生活的方方面面，而在特定的歷史條件下，在社會生活中每一個方面又都會形成某種意義上的子文化，一個民族的文化實際上是由各種子文化構(gòu)成的體系，構(gòu)成這一體系的每一個子系統(tǒng)相互之間都是整合的，也就是說，人們在社會生活的每一個方面形成的文化，與整體文化的其他方面都有著一致性，所以，對于一個民族來說，每一個子文化系統(tǒng)都是不可能孤立存在的，它總是依存于這個民族整體的生活方式。 在另一方

19、面，構(gòu)成整體文化的各個文化子系統(tǒng)之間又是相互聯(lián)系、相互支持的。例如，在一個文化體系內(nèi)，人們對于數(shù)理科學(xué)的理解可能會影響到哲學(xué)及其他人文科學(xué)，數(shù)理科學(xué)的發(fā)展水平也將直接影響到人文社會科學(xué)的發(fā)展水平，同樣，在一個社會里，社會成員在自然科學(xué)與人文、社會科學(xué)方面的修養(yǎng)，將會滲透到社會生活的方方面面。 再次，文化是特定時期特定人群的行為活動，且具備某種活動“產(chǎn)品”，其核心為傳統(tǒng)的思想和價值，是地域的、歷史的和民族的。由于地理條件和生活范圍等方面條件的限制，在漫長的歷史進(jìn)程中，生活在不同地域的人們都形成了自己的文化，文化在任何歷史都是依存于一定的民族主體而存在的。它是每一個民族特定的生活方式的體現(xiàn)，在這一

20、意義上說，不同民族以及不同社會之間的差別，在本質(zhì)上是文化的差別。同時，文化本身又有其積淀和發(fā)展的過程，每一個歷史時代都必然有不同于其他時代的文化，人們既是既定的文化傳統(tǒng)的傳承者，又是自己時代的文化的創(chuàng)造者。所以，生活在特定歷史條件下的人們既不可能與以往的文化傳統(tǒng)相隔絕，也不可能使以往的文化傳統(tǒng)完全復(fù)原。 第四，文化是隨著歷史進(jìn)程不斷傳播的。就文化的民族性而言，每一個民族的文化都具有封閉和排異的特性，如果一個民族或者社會的文化不具有這樣的特性，這個民族的文化就不可能存在。但在另一方面，文化又具有不斷擴散的傳播的屬性。隨著人們生活經(jīng)驗的積累，生活空間的擴展，以及不同地區(qū)的人們相互交往和溝通的口益頻

21、繁，不同地區(qū)、民族之間的文化必然會相互影響和相互融合?？梢哉f，每一個民族的文化都是在與其他民族的文化相互影響的過程中發(fā)展的，沒有文化傳播，文化乃至于人類文明也就無法發(fā)展。在這一意義上說，沒有哪一個民族的文化可以在完全封閉的狀態(tài)下得以保存和發(fā)展。例如，中國文化是在不斷吸收外來文化而不斷發(fā)展的，而中國古代的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明也通過文化傳播的方式影響了其他地區(qū)的文化。發(fā)源于小亞細(xì)亞的數(shù)學(xué)傳播到了希臘，最終在希臘完成了邏輯化的過程。而希臘數(shù)學(xué)邏輯化過程的完結(jié)又促進(jìn)了古希臘哲學(xué)的發(fā)展，最終形成了以希臘、羅馬文化為代表的西方文化傳統(tǒng)。而數(shù)學(xué)是人類智慧的產(chǎn)物故不對文化與文明進(jìn)行區(qū)別。1.3數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)作

22、為一種科學(xué)的語言、工具和技術(shù)滲透在現(xiàn)代科技的方方面面早已是不爭的事實，但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)在人們心中的地位卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到它應(yīng)當(dāng)達(dá)到的高度。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化程度的提高，它仿佛離人們越來越遠(yuǎn)了。專業(yè)的知識因為艱澀和高深僅僅掌握在少數(shù)人手中而無法被大眾共享，這直接導(dǎo)致了新的成果無人理解，獲得的獎項無人關(guān)注，所以數(shù)學(xué)人是“孤獨的”。孤獨造成高傲，高傲造成疏遠(yuǎn)，這其中有誤解也有無奈。所以我們強調(diào)文化，因為脫離了文化基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)只能離人們越來越遠(yuǎn)。 受目前學(xué)校教育情況的影響，很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是高高在上的，除了作為升學(xué)的工具，毫無用處。這樣一來，對于數(shù)學(xué)這樣一門富有深刻文化內(nèi)涵的學(xué)科，就連一些受過良好教育的人也持無視的態(tài)

23、度，對數(shù)學(xué)的無知成了一種很普遍的社會現(xiàn)象，這是一個令人十分擔(dān)憂的事實。就像美麗的圖畫并非只是線條和色彩，動人的樂曲并非只是音符和節(jié)拍，數(shù)學(xué)也不是只有數(shù)字、符號和運算。了解數(shù)學(xué)的人都知道，運算只是數(shù)學(xué)微不足道的方面，數(shù)學(xué)的精神、思想、方法都蘊藏著無比深刻的內(nèi)涵，滲透到科學(xué)的每個角落。如果將數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么這棵大樹的生命力是旺盛的，這種生命力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的每一個過程當(dāng)中，而數(shù)學(xué)文化就像土壤一樣幾百幾千年來滋養(yǎng)這棵大樹，使它繁衍生息，長盛不衰。因此，扎根于文化土壤的數(shù)學(xué)教育是十分必要的，也是我們目前十分需要的，這一點將在第五章進(jìn)行詳細(xì)論述。 19世紀(jì)末到20世紀(jì)初的幾十年是

24、數(shù)學(xué)哲學(xué)研究領(lǐng)域的黃金時代，關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論十分活躍，也形成了不同的學(xué)派，包括邏輯主義學(xué)派、形式主義學(xué)派、直覺主義學(xué)派、集合論公理化學(xué)派等，大家都在籌劃為數(shù)學(xué)建立牢固的哲學(xué)基礎(chǔ)。雖然幾個學(xué)派各有優(yōu)缺點，但都為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的嚴(yán)密性做出了貢獻(xiàn)。然而哥德爾的工作擊碎了他們的幻想，使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究一度陷入谷底。直到20世紀(jì)60年代，西方學(xué)者提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點、新的方法。最早系統(tǒng)地完成這一開創(chuàng)性工作的是美國數(shù)學(xué)家懷爾德(r.wilder，他提出了數(shù)學(xué)作為文化體系的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。懷爾德是一名出色的數(shù)學(xué)家，主要從事拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引論和數(shù)學(xué)概念演變初探對數(shù)

25、學(xué)基礎(chǔ)研究有著深遠(yuǎn)的意義。受到人類學(xué)家朋友的影響，他對人類學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并大膽地從人類學(xué)的視角考察數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展，在數(shù)學(xué)研究中融入了人類學(xué)的研究體會，出版了著作數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化和作為文化體系的數(shù)學(xué)。他在著作中從文化生成和發(fā)展的理論等角度考察數(shù)學(xué)，率先提出了數(shù)學(xué)文化的概念并構(gòu)建了數(shù)學(xué)文化的理論體系，形成了很長時期以來出現(xiàn)的第一個成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，強調(diào)了數(shù)學(xué)的發(fā)展動力、發(fā)展規(guī)律、思維方式等文化內(nèi)涵，強調(diào)了遺傳、環(huán)境、人類以及人類文化等對數(shù)學(xué)的作用影響。 第一，不同于物理、化學(xué)的以特定物質(zhì)為研究對象，數(shù)學(xué)相對于認(rèn)識主體而言描述的是眾多物質(zhì)形態(tài)的抽象，凝聚了人類的知識、意識與經(jīng)驗，是人類創(chuàng)造的非

26、自然的產(chǎn)物，符合廣義的文化定義。 第二，數(shù)學(xué)的思想、規(guī)則等形成了一種相對穩(wěn)定的行為系統(tǒng)，這使得數(shù)學(xué)成為一種獨立的文化形態(tài)，與文化系統(tǒng)內(nèi)的其他文化形態(tài)相互影響、相互滲透，成為人類文化一個相對獨立并開放的子系統(tǒng)。 第三，以數(shù)學(xué)家作為特定人群，數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)規(guī)范作為思想和價值，使得數(shù)學(xué)成為一種以數(shù)學(xué)家作為共同體主體，并在一定文化環(huán)境下所從事的創(chuàng)造性活動，是一種群體的特有行為，滿足人類文化學(xué)中關(guān)于文化的觀點。數(shù)學(xué)具有自身獨特的發(fā)展規(guī)律，“遺傳力量”和“環(huán)境力量”共同決定了數(shù)學(xué)的發(fā)展和進(jìn)化，具備了文化的“歷史性”、“地域性”和“民族性”特征。 第四，數(shù)學(xué)隨著歷史進(jìn)程以不同的方式不斷傳播，在傳播、影響、融合

27、的過程中發(fā)展。從這些意義上講，數(shù)學(xué)具有文化的基本特征，應(yīng)該被看作是一種文化。 按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，廣義地講，數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化對象。4 數(shù)學(xué)文化首先研究的是數(shù)學(xué)本身，包括從科學(xué)體系角度對數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)行研究和從哲學(xué)角度對數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)行研究。數(shù)學(xué)科學(xué)研究就是一般意義上的數(shù)學(xué)理論研究，而數(shù)學(xué)哲學(xué)研究則是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)悖論和數(shù)學(xué)本體論進(jìn)行探討，包括數(shù)學(xué)的對象、性質(zhì)、特點、地位與作用，數(shù)學(xué)新分支、新課題提出的哲學(xué)意義，著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)流派的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想以及

28、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)的實在性和真理性等。5數(shù)學(xué)文化同時研究的是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)文化與其他文化之間的交互作用，比如數(shù)學(xué)與文學(xué)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)之間的滲透影響等。 數(shù)學(xué)文化研究從文化因素思考數(shù)學(xué)的演變和發(fā)展，為數(shù)學(xué)史的研究提供新的思考方向。數(shù)學(xué)文化的歷史研究不同于數(shù)學(xué)史的研究，數(shù)學(xué)史研究追求的是完善數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的演化史，數(shù)學(xué)文化的歷史研究是基于全局視角，思考數(shù)學(xué)與其他文化系統(tǒng)歷史的互動關(guān)系，關(guān)注這些關(guān)系對現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的影響和啟示。如中國的傳統(tǒng)文化和實用哲學(xué)使中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重視實用性，制定實際問題的算法成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是中國數(shù)學(xué)存在和發(fā)展的基點。古希臘的數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生在城邦航海貿(mào)易的氛圍中

29、，兼容并追求獨立的思辨思想孕育了演繹數(shù)學(xué)，這是古希臘哲學(xué)的深入滲透和文化價值觀的體現(xiàn)。從中西文化的差異角度，我們找到了東西方數(shù)學(xué)體系大相徑庭的原因，不是數(shù)學(xué)本身的要求，而是文化的要求。 數(shù)學(xué)文化研究強調(diào)和突出社會文化心理、價值觀念以及人類文化對數(shù)學(xué)發(fā)生的作用，從新的角度診釋了某些理論出現(xiàn)、發(fā)展、停滯或覆滅的原因。如古希臘的數(shù)學(xué)之所以昌盛，是因為希臘人以數(shù)學(xué)為萬學(xué)之基，二元論的宇宙觀也引導(dǎo)科學(xué)家將物質(zhì)與自身分離而進(jìn)行科學(xué)有效的客觀分析。中國的儒家思想將數(shù)學(xué)放在六藝之末，天人合一的宇宙觀使得東方人表現(xiàn)出長于直覺而短于抽象，擅于綜合而不擅分析。這也是古代東方數(shù)學(xué)不能蓬勃發(fā)展的原因。 數(shù)學(xué)文化研究提出

30、了數(shù)學(xué)對于“環(huán)境力量”的反作用，也從新的角度加深了人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識?？茖W(xué)研究的發(fā)展和進(jìn)步使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，數(shù)學(xué)概念與方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域和我們的生活。數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神和所能達(dá)到的崇高境界。 數(shù)學(xué)文化的價值標(biāo)準(zhǔn)著眼于全局，關(guān)于數(shù)學(xué)的任何片面和狹義的理解都是不被接受的。數(shù)學(xué)不能脫離其他文化系統(tǒng)、脫離社會獨立存在，而是一個相對獨立并開放的動態(tài)的文化系統(tǒng)，我們對數(shù)學(xué)的理解也應(yīng)當(dāng)是全面、動態(tài)的。 近20年來，數(shù)學(xué)文化研究逐

31、漸引起了國內(nèi)數(shù)學(xué)家的關(guān)注，“數(shù)學(xué)文化”一詞使用頻率的口益增加正體現(xiàn)了它旺盛的生命力，體現(xiàn)了人們從文化角度對它的理解。然而，數(shù)學(xué)文化研究最主要的價值當(dāng)屬教育價值。通過數(shù)學(xué)文化研究為教育者搭建一個平臺，以此來分析進(jìn)而解決教育中面臨的一些困境和難題。 在2003年教育部頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)”、“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形

32、成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。，6普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)文化作為選講要求單獨提出，表明了數(shù)學(xué)教育對數(shù)學(xué)文化的需求。 不過，由于數(shù)學(xué)文化研究在我國開始的時間不長，目前國內(nèi)真正進(jìn)行數(shù)學(xué)文化研究的學(xué)者屈指可數(shù)。國家對數(shù)學(xué)文化研究的立項和支持不夠，各個高校的研究尚處萌芽階段，高質(zhì)量研究成果、論文也很少。這些都是我們應(yīng)當(dāng)注意的方面，有待進(jìn)一步加強。 可喜的是，很多高校已經(jīng)注意到大學(xué)生文化素質(zhì)培養(yǎng)方面的不足，在教育中有意識地加強了科學(xué)素質(zhì)與人文素質(zhì)的培養(yǎng)，以彌補先期教育的不足，全面提高大學(xué)生的文化素質(zhì)。

33、 2001年2月，南開大學(xué)面向全校所有專業(yè)的學(xué)生開設(shè)了“數(shù)學(xué)文化”公共選修課。國家級教學(xué)名師顧沛教授帶領(lǐng)他的團(tuán)隊經(jīng)過十輪教學(xué)實踐出版了普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材數(shù)學(xué)文化，也被其他高校數(shù)學(xué)文化課作為選用教材。課程不以數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)為線索，而以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)觀點為載體，介紹數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神，探討數(shù)學(xué)與人文的交叉;不過深涉及數(shù)學(xué)理論，而對于數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀和未來以及數(shù)學(xué)與人文的各種關(guān)系進(jìn)行探討。課程講究知識性、趣味性、和思想性的統(tǒng)一，旨在提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、文化素質(zhì)和思想素質(zhì)。fl 2003年4月，南開大學(xué)開設(shè)“數(shù)學(xué)文化”課的做法在教育部教學(xué)指導(dǎo)委員會的刊物

34、大學(xué)數(shù)學(xué)上發(fā)表;2003年10月，“全國數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化教學(xué)與教材研討會”邀請顧沛作大會報告;2006年9月，理工科教學(xué)指導(dǎo)委員會通訊全文轉(zhuǎn)載了南開大學(xué)開設(shè)的“數(shù)學(xué)文化”課及其中的素質(zhì)教育;2007年4月顧沛的“數(shù)學(xué)文化”課與大學(xué)生文化素質(zhì)教育在中國大學(xué)教學(xué)上發(fā)表。南開大學(xué)的“數(shù)學(xué)文化”課在全國產(chǎn)生了較大的影響，逐漸形成品牌。該課程于2007年被評為國家精品課程，“數(shù)學(xué)文化”課程組獲得了2007年全國五一勞動獎狀。8j學(xué)生通過選修課程，開辟了思考解決問題的新途徑，并有多篇結(jié)業(yè)報告和論文在刊物上發(fā)表，數(shù)個課題項目獲獎。“數(shù)學(xué)之美”論壇的創(chuàng)立及刊物的出版都在全國形成了一定的影響。 2002年，吉林

35、大學(xué)也面向全校各專業(yè)本科生開設(shè)了“數(shù)學(xué)文化”選修課，主要研究和介紹數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與文學(xué)藝術(shù)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟等方面的內(nèi)容。通過課程的學(xué)習(xí)，使具備一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生能夠換個角度思考數(shù)學(xué)，逐步體會到數(shù)學(xué)作為一種文化的含義，認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，從而陶冶學(xué)生的性情，提高學(xué)生的文化素質(zhì)。該課程作為大學(xué)生文化素質(zhì)的基礎(chǔ)課，重在對學(xué)生的數(shù)學(xué)文化熏陶，同時，為其它課程的學(xué)習(xí)提供重要的思想、方法和語言。9該課程由數(shù)學(xué)學(xué)院博士生導(dǎo)師李輝來教授第一輪主講，持續(xù)至今。李輝來教授在吉林大學(xué)開創(chuàng)了綜合院校數(shù)學(xué)教育學(xué)研究方向，并于2003年建立了數(shù)學(xué)教育學(xué)碩士點。李輝來教授在數(shù)學(xué)教育方面取得了矚目

36、的成就，在數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)教育學(xué)等方面有較深的造詣，主持了多項國家級和省部級教學(xué)研究項目，獲得了多項教學(xué)獎勵，在國內(nèi)公共數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)教育等方面具有較大的影響。2.1數(shù)學(xué)的文化特征2.1.1數(shù)學(xué)的抽象性 在早期的人類文明，數(shù)學(xué)的創(chuàng)始之初，人類學(xué)會了思考數(shù)字并進(jìn)行一定程度的運算。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫(a.d.aleksandrov)說:“抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來。我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。我們在學(xué)校學(xué)的是抽象的乘法表一一總是數(shù)字的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢等等?！?數(shù)學(xué)成為抽象的學(xué)科，人們將這一巨大的功勞

37、記在希臘人身上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派純憑心智考慮抽象問題，認(rèn)為數(shù)是真實物質(zhì)的終極組成部分，是宇宙的要素，完全的演繹推理證明也加深了數(shù)學(xué)的抽象程度。希臘人有意識地承認(rèn)并強調(diào):數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實際事物或?qū)嶋H形象是完全不同的。yob物質(zhì)實體是短暫的、不完善的，而抽象概念卻是永恒的、完美的。雖然抽象相對實體更困難，但它的優(yōu)點也是實體無法企及的，那就是一般性。在抽象的世界里，點沒有大小，線沒有寬度，面沒有厚度，堆積的石子、成捆的樹枝都可以表示數(shù)量關(guān)系。 一張小小的卡片是矩形，一塊籬笆圍成的土地也可以是矩形，兩個完全不相關(guān)的物質(zhì)實體我們卻可以用同樣的數(shù)學(xué)公式求得它們的面積，這只是一個簡單的

38、例子。為了解決一個領(lǐng)域中的問題而得到的定理在另一個完全不同的領(lǐng)域里也能成功運用，這樣的例子比比皆是，也正是數(shù)學(xué)的奧秘所在。 我國數(shù)學(xué)家徐利治和他的合作者對數(shù)學(xué)抽象的問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并對數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行了定性分析。 就內(nèi)容上講，數(shù)學(xué)抽象就是指由具體事物中抽取出量的方面、屬性或關(guān)系，川這里的“量，與質(zhì)相對，包含了我們通常意義的數(shù)與形。例如人類剔除物質(zhì)實體抽象出了計數(shù)符號1, 2, 3, 4，理想化忽略球體的大小和形狀抽象出點。就方法上講，因為數(shù)學(xué)研究的對象并非真實世界的客觀存在，所以我們無法進(jìn)行實驗等直觀的研究活動，而只能進(jìn)行一種邏輯上的構(gòu)造、演繹和推理，即對已經(jīng)抽象出的概念進(jìn)行深加工。例如人類

39、學(xué)會計數(shù)后，利用“加1”的累次疊加從具體的自然數(shù)得到了一般形態(tài)的自然數(shù)100000 1000000等，利用點、線、面定義出錐等。就程度上講，深加工的并非是單純的由具體事物中抽象出的概念，還在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行逐步的理論構(gòu)建，這種構(gòu)建也是抽象的，并且是逐層進(jìn)行的，發(fā)展越深，層次越高。例如由一般的自然數(shù)計數(shù)到基本的自然數(shù)運算、自然數(shù)集合再到今天的數(shù)論，由面積、體積的計算到歐式幾何、非歐幾何到今口具有龐大分支的幾何學(xué)，還包括很多完全由思維自由創(chuàng)造得到的產(chǎn)物例如虛數(shù)、多維空間等。 數(shù)學(xué)抽象的方法與抽象度分析法是數(shù)學(xué)方法論的重要組成部分。鄭毓信在數(shù)學(xué)方法論中對數(shù)學(xué)抽象的方法論原則有如下總結(jié):思維形式 方

40、法論原則 構(gòu)造性思維 模式構(gòu)建形式化原則 同向思維弱抽象特性分離一般化原則 對偶化結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)對偶化原則 類比 類比聯(lián)想拓廣性原則 逆向思維弱抽象關(guān)系定性特征化原則 精確化逆向分析精確化原則 完備化新元素添加完備化原則 悖向思維 悖向思維和諧性原則公理變更和諧化原則 概念擴展和諧化原則 觀念更新和諧化原則 靈活運用這些方法對于構(gòu)建數(shù)學(xué)定義、定理和理論框架是很有幫助的，如果數(shù)學(xué)抽象活動能夠經(jīng)得起所有的推敲，滿足“廣度”、“清晰度”、“深度”三個條件，那么對數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的發(fā)展是十分有利的。 抽象度分析法則是對數(shù)學(xué)抽象的定量分析，計算并標(biāo)注出抽象步驟各鏈條上的相對抽象度，清晰地描述各個概念在整個理論中

41、的地位，對于了解并從整體把握數(shù)學(xué)分支及數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)很有幫助。 總之，抽象的概念是永恒的，它不會隨物質(zhì)的變化而變化，抽象的數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)以外其他方面得到最大程度的應(yīng)用;而抽象的演繹法孕育了理性精神，使得數(shù)學(xué)結(jié)論千年成立，對文化有著千年的影響。故而希臘人對數(shù)學(xué)的這一貢獻(xiàn)最大限度地決定了今天文明的本質(zhì)。2.1.2數(shù)學(xué)的確定性 數(shù)學(xué)追求一種完全確定、完全可靠的知識。這種結(jié)果得益于數(shù)學(xué)體系的特殊而有效的方法，即從一系列不證自明的公理出發(fā)，準(zhǔn)確地描述將要討論的概念和定義，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理演繹得出明確無誤的結(jié)論，這也是數(shù)學(xué)得以長足發(fā)展的動力因素。幾千年來，數(shù)學(xué)的真理性得到人們的高度認(rèn)同和尊崇。 然而，十九世

42、紀(jì)以后，數(shù)學(xué)的這種真理性地位卻一次次受到巨大的沖擊。非歐幾何、四元數(shù)理論、集合論悖論給數(shù)學(xué)“真理的化身”形象籠罩上了陰影，使得數(shù)學(xué)喪失了揭示客觀世界的“真理性”，也喪失了自身基礎(chǔ)的嚴(yán)密性。克萊因(morris kline)在數(shù)學(xué):確定性的喪失中提到“數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)而不是只有一種，而且由于種種原因每一種都無法使對立學(xué)派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體系一一1800年時的尊貴數(shù)學(xué)和那時人的自豪一一現(xiàn)在都成了癡心妄想。與未來數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑，取代了過去的確定性和自滿。關(guān)于“最確定的”科學(xué)的基礎(chǔ)意見不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點說，是讓人尷尬。” 如果我們所說的確

43、定是客觀實在、可以實現(xiàn)的現(xiàn)實，那數(shù)學(xué)一定不是確定的。羅素說:“數(shù)學(xué)是這樣一門學(xué)科:我們不知道它說的是什么，也不知道所說的正確與否?！笨此茻o理的語言卻揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。不知道數(shù)學(xué)說的是什么，是因為數(shù)學(xué)研究的抽象對象與實際意義無關(guān);不知道說的正確與否，是因為數(shù)學(xué)研究的結(jié)果不必證實與現(xiàn)實世界相符合。 任何一門學(xué)科都不是靜止固定的，都是由誕生而后動態(tài)發(fā)展的，這個動態(tài)發(fā)展的過程也必然是曲折的。數(shù)學(xué)經(jīng)過幾千年曲折動態(tài)的發(fā)展，經(jīng)過幾次危機的洗禮過后才有了今天的面貌，既沒有最初的起點，也沒有最終的結(jié)束，口益扎深的根部、龐大的分支無時無刻不在體現(xiàn)著它旺盛的生命力。這樣巨大的數(shù)學(xué)體系脫離了“確定”是必然的，因為我

44、們想要的絕對不是一個單純描述客觀世界的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，克萊因想要說明的正是這一點。 然而相對于現(xiàn)實的不確定，數(shù)學(xué)在各自體系各自模式下的確定性卻是無疑的。例如“三角形內(nèi)角和為180度”，這絕不是說“在某種條件下，絕大部分三角形的內(nèi)角和在某種誤差范圍內(nèi)為180度”，而是在命題規(guī)定的范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180度。這種“模式下的”確定性通過純粹的思想在認(rèn)識上給人以極大的啟發(fā)。故而幾百年前證明的定理、構(gòu)建的體系可以沿用至今。 數(shù)學(xué)確定性相對的喪失與存在對我們是個嚴(yán)峻的考驗，可以說態(tài)度將決定未來數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)研究的自由化傾向使得人們擔(dān)心數(shù)學(xué)將會出現(xiàn)一事無成的局面。然而不使數(shù)學(xué)從與自然界直接對照

45、的實在論中擺脫出來，數(shù)學(xué)就不能前進(jìn)。i2慶幸的是這種局面沒有阻礙數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展，也沒有削弱數(shù)學(xué)在科學(xué)領(lǐng)域的指導(dǎo)力量。這種確定性相對的喪失更大的拓展了數(shù)學(xué)的外延，使數(shù)學(xué)的邊界更加開闊，也更堅定了我們對未來數(shù)學(xué)的信心。2.1.3數(shù)學(xué)的繼承性 科學(xué)知識是在長期的歷史發(fā)展過程中形成的，其過程就說明了知識具有繼承性，沒有繼承，就沒有積累。我認(rèn)為繼承性應(yīng)該從兩方面理解。 從個人來講，我們學(xué)習(xí)一些知識，無須重新經(jīng)歷科學(xué)家們艱苦的實踐過程，短時間內(nèi)就可以掌握到一門學(xué)科千百年來積累的成果。這種繼承通過教育實現(xiàn)，極大的加速了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，故而現(xiàn)在一個中學(xué)生掌握的知識可以超過若干古代著名的科學(xué)家?！爸挥杏行У乩^

46、承人類知識，同時把世界最先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)知識拿到手，我們再向前邁出半步，就是最先進(jìn)的水平，第一流的科學(xué)家(諾貝爾物理學(xué)獎得主溫伯格(steven weinberg) ) o”正因如此，知識領(lǐng)域才能發(fā)展成今天的面貌。法國的著名科學(xué)家龐加萊被譽為“全能數(shù)學(xué)家”，因為他在數(shù)學(xué)、天文、物理的幾乎每一個領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)，然而今天，一個人想要掌握全部數(shù)學(xué)知識的三分之一都是不可能的。 從知識本身來講，體系的形成是具有連續(xù)性的，這種連續(xù)體現(xiàn)了繼承關(guān)系。以函數(shù)的概念發(fā)展為例，17世紀(jì)的函數(shù)概念產(chǎn)生于對運動的研究，是“一些量通過一系列代數(shù)運算得到的”，以現(xiàn)在的觀點看則僅適用于代數(shù)函數(shù)部分。18世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)研

47、究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，原有的代數(shù)函數(shù)的概念已經(jīng)不能滿足需要，于是函數(shù)的概念得到了擴張，“由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式”，適用于現(xiàn)今的解析函數(shù)。19世紀(jì)，傅立葉明確提出函數(shù)不必表示為解析式，函數(shù)的概念擺脫解析式的束縛，“如果對于給定區(qū)間上的每一個x值有唯一的一個y值與它對應(yīng)，那么就稱y為x的一個函數(shù)”。這個概念的演變過程中后者即為前者的深化，體現(xiàn)了知識的繼承關(guān)系。 與其他自然學(xué)科相比，數(shù)學(xué)具有無法比擬的繼承性，每一次發(fā)展都是將前人的理論作為特例、基礎(chǔ)，是一種延續(xù)的、積累的、不斷進(jìn)步的整體。在整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，雖然發(fā)生了幾次大的危機，但是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的努力

48、，都找到了解決的辦法，而幾乎沒有完全推翻前人理論的例子。反觀其他學(xué)科，后人理論完全推翻前人學(xué)說的例子屢見不鮮?！翱谛恼f”取代“地心說”，伽利略在比薩斜塔的鐵球落地實驗推翻了持續(xù)近2000年的“下落速度正比于物體重量”的學(xué)說，氧氣的發(fā)現(xiàn)否定了“燃素，說,.13唯有數(shù)學(xué)，給了我們一個一脈相承的知識體系，從萌芽階段發(fā)展到現(xiàn)今的眾多分支，不斷地擴充壯大。不可否認(rèn)，戰(zhàn)爭、災(zāi)害和危機等因素在某種程度上影響了它的進(jìn)程，但卻無法改變它的方向，也不足以否定數(shù)學(xué)體系的協(xié)調(diào)性，有利的社會環(huán)境和有效的科學(xué)組織卻能大大加速其發(fā)展。2.1.4數(shù)學(xué)的簡潔性 簡潔性是數(shù)學(xué)的主要特征之一，這里所說的簡潔性是指數(shù)學(xué)表達(dá)、方法、邏

49、輯結(jié)構(gòu)的簡潔，而并非數(shù)學(xué)知識體系的簡單。 數(shù)學(xué)的簡潔性首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的語言及其邏輯的表述上。數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，具有獨特的符號、語法和表達(dá)方式，準(zhǔn)確、嚴(yán)密。數(shù)學(xué)的每一個定義定理都是經(jīng)過反復(fù)推敲的，數(shù)學(xué)家們力求以最簡練的語言表達(dá)最準(zhǔn)確最充分的意思，摒棄了口常用語的混亂意義，用簡潔明確的符號敘述復(fù)雜的關(guān)系。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是17世紀(jì)自然科學(xué)最偉大的成果之一。它第一次解釋了(自然界中四種相互作用之一)一種基本相互作用的規(guī)律，在人類認(rèn)識自然的歷史上樹立了一座里程碑。這一重要理論的數(shù)學(xué)表示只有一個公式:f=g最深刻的內(nèi)容和最簡潔的表示得到了高度的統(tǒng)一。敘述復(fù)雜的交換律、結(jié)合律、分配率僅用幾個字

50、母和符號就得以清晰的表達(dá)，“當(dāng)且僅當(dāng)”、“有且僅有”的精確詞句也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)。 數(shù)學(xué)的簡潔性還體現(xiàn)在解決問題的方法上。計算中換元法用變量代替整體，化高為低，化分為整，化無理為有理，大大簡化了計算過程。一元二次方程的求根公式給出了解一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)方法，使得方程的求解和判斷簡單明了。邏輯中的化歸法將一個非基本的問題通過分解、變形或旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式轉(zhuǎn)化為一個熟悉的基本問題，從而求出解答，減少重復(fù)勞動。遞歸法將規(guī)模較大的復(fù)雜問題分解成規(guī)模較小的問題，將規(guī)模較小的問題分解為規(guī)模更小的問題，直至分解成規(guī)模為1的可直接得解的問題，通過得到的小規(guī)模問題的解構(gòu)造大規(guī)模問題的解，降低了問題的

51、復(fù)雜度。還有建模法、代入法、消元法、圖像法等，無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的簡潔與解題的智慧。 數(shù)學(xué)體系的結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)出了簡潔性。歐幾里德的幾何原本建立起的嚴(yán)密的幾何理論系統(tǒng)，兩千多年來對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。這樣一部具有無與倫比偉大意義的巨著僅由_5個公設(shè)和_5個公理出發(fā)，這些公設(shè)和公理可以立刻證明出一些簡單的定理，而這些簡單的定理就是那些更深奧的定理的基石，這樣，一個精密的幾何體系就一點點建立起來。雖然深奧的定理不能立刻很簡單的證明，但是無論如何復(fù)雜的定理，都不過是由一系列簡單的演繹論證組成的。yob 詩歌之所以動人，就在于它能以最簡練的語言表達(dá)最熱烈的感情、最復(fù)雜的思想。漫畫之所以讓人喜愛，就

52、在于它用寥寥數(shù)筆勾勒出了事物的形象。14數(shù)學(xué)用最簡單的形式表示出最復(fù)雜的理論，簡潔卻不簡單，給了我們心靈最大的震撼。2.1.5數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性 馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為世界是統(tǒng)一的，但這種統(tǒng)一是多樣性的統(tǒng)一，并非無差別的單一的統(tǒng)一。統(tǒng)一性以差異多樣性為前提，共同形成了客觀事物內(nèi)在的一對基本矛盾。畢達(dá)哥拉斯說過:凡是美的東西都有一個共同特征，這就是部分與部分彼此之間，以及部分與整體間固有的協(xié)調(diào)一致。這種協(xié)調(diào)一致就是統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)龐大的分支系統(tǒng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的差異多樣性，而數(shù)學(xué)客觀反映物質(zhì)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)則體現(xiàn)了統(tǒng)一性，差異多樣性和統(tǒng)一性共同作用推動著數(shù)學(xué)體系不斷深化、發(fā)展。 按照數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，

53、早期的代數(shù)、幾何各自為政，獨立發(fā)展。隨著研究的深入，人們注意到幾何曲線研究中數(shù)量方法的必要性，于是費馬和笛卡爾開始用代數(shù)研究幾何，將代數(shù)方程和曲線曲面聯(lián)系起來，創(chuàng)立坐標(biāo)幾何，即解析幾何。解析幾何的創(chuàng)立將代數(shù)和幾何緊密的聯(lián)系在一起，成為變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個里程碑。 到18世紀(jì)末，統(tǒng)一幾何天下的一直是歐氏幾何，而非歐幾何的出現(xiàn)打破了這一局面，揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將歐式幾何變成了平直空間的特例。射影幾何、高維幾何、微分幾何、黎曼幾何的研究展現(xiàn)了幾何學(xué)無限廣闊的發(fā)展前景，數(shù)學(xué)家們開始設(shè)想并尋找這些幾何學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而統(tǒng)一整個幾何世界。19世紀(jì)，射影幾何的研究脫離了歐式幾何的框架，使得歐式幾何與非歐幾何都成為了射影幾何的特例，為幾何學(xué)的統(tǒng)一鋪平了道路。 新的數(shù)學(xué)理論逐漸產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)也發(fā)展出若干小的分支，這些數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域涉及方方面面，但是沒有哪一分支可以剝離其他理論而單獨存在。科學(xué)在進(jìn)步，數(shù)學(xué)在發(fā)展，各個分支之間的聯(lián)系越發(fā)緊密，而這些錯綜復(fù)雜的親緣關(guān)