1、問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？,問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境創(chuàng)設,有 順 序,無 順 序,一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合,排列與組合的概念有什么共同點與不同點？,概念講解,組合定義:,組合定義: 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合,排列定義: 一般地，從n個不同元素中取出m (mn)

2、個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.,共同點: 都要“從n個不同元素中任取m個元素”,不同點: 排列與元素的順序有關， 而組合則與元素的順序無關.,概念講解,思考一:ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?,思考二:兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?,概念理解,構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟.,思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?,判斷下列問題是組合問題還是排列問題?,(1)設集合A=a,b,c,d,e，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?,(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?,有多

3、少種不同的火車票價？,組合問題,排列問題,(3)10名同學分成人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組,共有多少種分法?,組合問題,(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?,組合問題,(5)從4個風景點中選出2個游覽,有多少種不同的方法?,組合問題,(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?,排列問題,組合問題,組合是選擇的結果，排列 是選擇后再排序的結果.,1.從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:,ab , ac , bc,2.已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素的所有組合.,a

4、b , ac , ad , bc , bd , cd,(3個),(6個),概念理解,從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示.,如:從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)是:,如:已知4個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個 元素的所有組合個數(shù)是：,概念講解,組合數(shù):,注意： 是一個數(shù)，應該把它與“組合”區(qū)別開來,1.寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,練一練,組合,排列,abc bac cab acb bca cba,

5、abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？,你發(fā)現(xiàn)了什么?,組合數(shù)公式,排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系,根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：,因此：,一般地，求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：,第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù) ,第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù) ,這里 ，且 ，這個公式叫做組合數(shù)公式,概念講解,組合數(shù)公式:,從 n 個不同元中取出m個元素的排列數(shù),概念講解,（2)列出所有冠亞軍的可能情況.,

6、（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例題分析,(4)求,例3,例1：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人。問： （1）這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？ （2）如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？,例4：在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。產(chǎn)品檢驗時,從100件產(chǎn)品中任意抽出3件。 (1)一共有多少種不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽

7、法有多少種? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? (4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種？,說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。,變式練習,按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？ （1）甲、乙、丙三人必須當選； （2）甲、乙、丙三人不能當選； （3）甲必須當選，乙、丙不能當選； （4）甲、乙、丙三人只有一人當選； （5）甲、乙、丙三人至多2人當選； （6）甲、乙、丙三人至少1人當選；,例5、某醫(yī)院有內科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5人參加支邊醫(yī)療隊，至少要有1名內科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？,例6：（1）平面內有9個點，

8、其中4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上，過這9個點可確定多少條直線？可以作多少個三角形？ （2）空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？,例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語、4名僅通法語，還有2名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？,例8、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況： （1）4只鞋子恰有兩雙； （2） 4只鞋子沒有成雙的； （3） 4只鞋子只有一雙。,課堂練習：,2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至

9、多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為 。,3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（ ）,4、從7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（ ）,1、把6個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有 種 。,9,9,C,D,5、在如圖7x4的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個矩形？ （2）其中有多少個正方形？,課堂練習：,排列,小結,一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球 從口袋內取出3個球，

10、共有多少種取法？ 從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ 從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？,解：（1）,性質2,我們可以這樣解釋：從口袋內的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：一類含有1個黑球，一類不含有黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立,我們發(fā)現(xiàn)：,為什么呢,性質2,注:1 公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與原組合數(shù)上標較大的相同的一個組合數(shù) 2 此性質的作用：恒等變形，簡化運算在今后學習“二項式定理”時，我們會看到它的主要應用,例計算：,例2 求證:,一、等分組與不等分組問題,例3、6本不同的書，按下列條件，各

11、有多少種不同的分法； （1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本； （2）分成三份，每份兩本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分給5個人，每人至少一本； （7）6本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。,練習： (1)今有10件不同獎品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法? (2) 今有10件不同獎品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?,解: (1),(2),例4、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅

12、其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （A） 種（B） 種 （C） 種 （D） 種,二、不相鄰問題插空法,三、混合問題，先“組”后“排”,例5 對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？,解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有： 種可能。,練習：1、某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加，則有不同參賽方法_種.,解：采用先組后排方法:,2、3 名醫(yī)生和 6 名護士被分配

13、到 3 所學校為學生體檢,每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護士,不同的分配方法共有多少種?,解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）,解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)生和護士.,四、分類組合,隔板處理,例6、 從6個學校中選出30名學生參加數(shù)學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?,分析:問題相當于把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理. 解:采用“隔板法” 得:,練習： 1、將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？,2、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完，則有多少種不同的走法？,課堂練習：,2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為 。,3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果其中