1、1.5.2 二項式系數(shù)的 性質(zhì)和應(yīng)用,知識回顧,1.二項式定理,右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,其中 Cnr an-rbr 叫做二項展開式的通項，記作Tr+1,一般地，對于n N*，有：,2.注意區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)的概念,二項式系數(shù)為 ； 項的系數(shù)為：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積,問題情境,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b)6,試計算下列各展開式中的二項式系數(shù)：,類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱

2、為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.,討論總結(jié),楊輝三角,帕斯卡三角,通過探究，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,數(shù)學(xué)建構(gòu),(1)對稱性：,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.,(2)增減性與最大值：,從第一項起至中間項，二

3、項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小.,(3)各二項式系數(shù)的和,二項式系數(shù)的性質(zhì),(1)對稱性：,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.,(2)增減性與最大值：,從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小.,二項式系數(shù)的性質(zhì),數(shù)學(xué)建構(gòu),(2)增減性與最大值：,從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小.,(2)增減性與最大值：,從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小.,因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù) 取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式 系數(shù) 、 相等且同時取得最大值,(3)各二項式系數(shù)的和,當(dāng)n= 6時,令 :,其圖象是7個孤立點,代數(shù)意義：,幾何意義：,直線 作為對稱軸 將圖象分成對稱的兩部分.,函數(shù)思想,數(shù)學(xué)運用,例1 證明：在(ab)n展開式中,奇數(shù)項的二項 式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.,證明：在展開式 中 令a=1，b=1得,數(shù)學(xué)運用,例2 用二項式定理證明：9910-1能被1000整除.,例3 求證：,證明：,倒序相加法,數(shù)學(xué)運用,變式訓(xùn)練： 是否存在等差數(shù)列 ，使 對任意 都成立？若存在，求出數(shù)列 的通項公式；若不存在，請說明理由.,課堂練習(xí),隨堂檢測,課堂小結(jié),(3) 數(shù)學(xué)