1、,矢量微積分,矢量微分 直角坐標(biāo)系中的矢量微分 曲線坐標(biāo)系中的矢量微分 矢量微分應(yīng)用舉例 矢量積分 直角坐標(biāo)系中的矢量積分 曲線坐標(biāo)系中的矢量積分,Outline,任何一個(gè)矢量,都可以表示成 的形式，其中 ， 是 的單位矢量。從而 在直角坐標(biāo)系中，由于基失是常矢量，不難得到 在曲線坐標(biāo)系中，由于基矢方向可變，故曲線坐標(biāo)系中的矢量微分比起直角坐標(biāo)系來(lái)相對(duì)要復(fù)雜些。,直角坐標(biāo)系中的矢量微分,1.在極坐標(biāo)系（三維即為柱坐標(biāo)系） 中，應(yīng)用幾何知識(shí)，可以得出。 則,曲線坐標(biāo)系中的矢量微分,設(shè)柱坐標(biāo)系中的任意矢量為 則,曲線坐標(biāo)系中的矢量微分,2.在球坐標(biāo)系中，同樣應(yīng)用幾何知識(shí)可得 則,曲線坐標(biāo)系中的矢量

2、微分,微分的結(jié)果，已無(wú)法在球坐標(biāo)系中表述。在理論力學(xué)中，為研究方便起見(jiàn)，引入輔助基矢 ，它相當(dāng)于直角坐標(biāo)系中的 ，是 球坐標(biāo)系中 時(shí)的 ，于是,曲線坐標(biāo)系中的矢量微分,設(shè) 則,曲線坐標(biāo)系中的矢量微分,求地球表面物體的運(yùn)動(dòng)受力情況。 解：地球時(shí)刻不停地在自轉(zhuǎn)，因此在地球表面的物體，無(wú)論是其運(yùn)動(dòng)狀況還是其受力狀況，都不可避免地受地球自轉(zhuǎn)的影 響。我們不妨把地球視為理想球體，并把所求的問(wèn)題放在以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以地球自轉(zhuǎn)軸為 的球坐標(biāo)系中來(lái)處理。 設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為 ，任意時(shí)刻 A 物體的位置矢量顯然是 ，速度 ，根據(jù)球坐標(biāo)中的微分表達(dá)式有：,矢量微分的應(yīng)用舉例,令 而 ，則 這里， 中包

3、含 ，把 分離出來(lái)，則物體相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的分速度為 因地球自轉(zhuǎn)而使物體有一個(gè)牽連分速度 即使物體相對(duì)于地球表面靜止， 仍然存在，這就是所謂的“坐地日行八百里”。物體的加速度 為,矢量微分的應(yīng)用舉例,從而 這個(gè)結(jié)論在理論力學(xué)中很重要，可用來(lái)解釋許多 自然現(xiàn)象。這里討論兩種特殊情況:,矢量微分的應(yīng)用舉例,(1).當(dāng)物體相對(duì)于地面靜止時(shí) , 從而 ， 又 ，故 。此時(shí)物體所受的力為： 由于 的存在，致使物體受力 （重力）不指向地心（ 的反方向），并隨地球緯度的改變而不同。 (2).當(dāng)物體做緯向運(yùn)動(dòng)時(shí)， ， ，此時(shí)物體所受力中有一個(gè)徑向分力 。令 ， ， 。則此徑向分力可改寫為 ，這個(gè)力就是科里奧利力

4、，用科氏力可以解釋河流沖刷右岸等自然現(xiàn)象。,矢量微分的應(yīng)用舉例,矢量微分 直角坐標(biāo)系中的矢量微分 曲線坐標(biāo)系中的矢量微分 矢量微分應(yīng)用舉例 矢量積分 直角坐標(biāo)系中的矢量積分 曲線坐標(biāo)系中的矢量積分,Outline,在直角坐 標(biāo)系中，由于基矢方向恒定，矢量積分可以直接進(jìn)行。 例：求載流直導(dǎo)線周圍的磁感強(qiáng)度 解：設(shè)直角坐標(biāo)系如圖，即原點(diǎn)在導(dǎo)線中心軸上，讓y軸與導(dǎo)線中心軸重合，y 軸方向與電流同向，讓x軸通過(guò)場(chǎng)點(diǎn)p，則 于是,直角坐標(biāo)系中的矢量積分,(1).如果導(dǎo)線長(zhǎng)為L(zhǎng) ,且 ，即求導(dǎo)線中垂直面上的磁感強(qiáng)度，則 (2).如果導(dǎo)線無(wú)限長(zhǎng)（ ），則,直角坐標(biāo)系中的矢量積分,在曲線坐標(biāo)中，由于基矢方向可變，矢量積分應(yīng)慎重。 例：求圓形載流線圈中心軸上的 。 解：設(shè)柱坐標(biāo)系如圖，則 這個(gè)答案明顯是錯(cuò)誤的，因?yàn)楸环e矢量中基矢 本身是一個(gè)會(huì)隨著積分變量而改變的變矢量。,曲線坐標(biāo)系中的矢量積分,如果將 表示成某一定點(diǎn)基矢的函數(shù) ，答案就不會(huì)錯(cuò)了。,曲線坐標(biāo)系中的矢量積分,而在有些情況下，曲線坐標(biāo)系中進(jìn)行矢量積分，又會(huì)得到非常理想的結(jié)果。 例：求無(wú)限長(zhǎng)載流 直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。 解：我們把它放在柱坐標(biāo)系中解決。設(shè) Z 軸與導(dǎo)線