1、2015 數學復習 實數部分 一、實數與數軸一、實數與數軸 1、數軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單位長度是數 軸的三要素。 2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可 以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關系。 二、實數大小的比較二、實數大小的比較 1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。 2、正數大于 0；負數小于 0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。 三、實數的運算三、實數的運算 1、加法加法： （1）同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加； （2）異號兩數相加，取絕對值

2、大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可 使用加法交換律、結合律。 2、減法減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。 3、乘法乘法： （1）兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。 （2）n 個實數相乘，有一個因數為0，積就為0；若n 個非 0 的實數相乘，積的符號由負因 數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時，積為負。 （3）乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。 4、除法除法： （1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 （2）除以一個數等于乘以這個數的倒數。 （3）0 除以任何數都等于0，0 不能做被除數。 5、乘方與開方乘方與開

3、方：乘方與開方互為逆運算。 6、實數的運算順序實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如 果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算， 不同級的運算，先算高級的運算再算低 級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。 四、有效數字和科學記數法四、有效數字和科學記數法 1、科學記數法科學記數法：設 N0，則 N= a10（其中 1a10，n 為整數） 。 2、有效數字有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0 的數，到精確到的數位為止，所有的數字， 叫做這個數的有效數字。 精確度的形式有兩種： （1） 精確到那一位； （2）保留幾個

4、有效數字。 n 代數部分代數部分 第二章：代數式第二章：代數式 基礎知識點：基礎知識點： 一、代數式一、代數式 1、代數式代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數 或者一個字母也是代數式。 2、代數式的值代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。 3、代數式的分類代數式的分類： 單項式 整式 有理式 多項式 代數式 分式 無理式 二、整式的有關概念及運算二、整式的有關概念及運算 1 1、概念、概念 （1）單項式單項式：像 x、7、2x y，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也 是單項式。 單項式的次數：一個單項式中，所有字母的

5、指數叫做這個單項式的次數。 單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。 （2）多項式多項式：幾個單項式的和叫做多項式。 多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。 一個多項式含有幾項，就叫幾項 式。 多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數， 就是這個多項式的次數。不含字母的 項叫常數項。 升（降）冪排列升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕?起來，叫做把多項式按這個字母升（降）冪排列。 （3）同類項同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。 2 2、運算、運算 （1 1）整式的加減）整式的加減： 合并同類項：把同類項

6、的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。 去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不 變；括號前面是“”號，把括號和它前面的“”號去掉，括號里的各項都變號。 添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“”號， 括到括號里的各項都變號。 整式的加減實際上就是合并同類項， 在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類 項。 （2 2）整式的乘除）整式的乘除： 冪的運算法則：其中m、n 都是正整數 同底數冪相乘： aa a mnmn 2 ；同底數冪相除： aa a mnmn ；冪的乘方： (am)n amn 積的乘方：(ab) a

7、 b。 nnn 單項式乘以單項式： 用它們系數的積作為積的系數， 對于相同的字母， 用它們的指數的 和作為這個字母的指數； 對于只在一個單項式里含有的字母， 則連同它的指數作為積的一個 因式。 單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 多項式乘以多項式： 先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項， 再把所得的 積相加。 單項除單項式：把系數，同底數冪分別相除， 作為商的因式，對于只在被除式里含有字 母，則連同它的指數作為商的一個因式。 多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。 乘法公式：平方差公式：(a b)(a b) a b；

8、完全平方公式：(a b) a 2ab b，(a b) a 2ab b 三、因式分解三、因式分解 1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法：ma mb mc m(a b c) （2）運用公式法： 平方差公式：a b (a b)(a b)；完全平方公式：a 2ab b (a b) （3）十字相乘法：x (a b)x ab (x a)(x b) （4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。 （5）運用求根公式法：若ax bx c 0(a 0)的兩個根是x1、x 2，則有： 2 2 22222 222222

9、22 ax2bx c a(x x 1 )(x x 2 ) 3、因式分解的一般步驟： （1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法； （3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考慮用分組分解法。 四、分式四、分式 1、分式定義分式定義：形如 A 的式子叫分式，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母。 B （1）分式無意義：B=0 時，分式無意義； B0 時，分式有意義。 （2）分式的值為 0：A=0，B0 時，分式的值等于 0。 （3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式

10、的約分。方法是把 分子、分母因式分解，再約去公因式。 （4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最 終結果若是分式，一定要化為最簡分式。 （5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做 分式的通分。 （6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。 （7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。 2 2、分式的基本性質、分式的基本性質： （1） AAMAA M （2）(M是 0的整式)；(M是 0的整式) BBMBB M （3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分 式的值不變。 3 3、分式的運算、分式

11、的運算： （1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減， 先把它們通分成同分母的分式再相加減。 （2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。 五、二次根式五、二次根式 1、二次根式的概念：式子 a(a 0)叫做二次根式。 （1）最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡 方的因式的二次根式叫最簡二次根式。 （2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二 次根式。 （3）分母有理化：

12、把分母中的根號化去叫做分母有理化。 （4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘， 如果它們的積不含有二次根式， 我們就說這兩個代數式互為有理化因式 （常用的有理化因式有： a與a；a b c d 與a b c d） 2、二次根式的性質： 2 （1） ( a) a(a 0)； （2）a2 a a a (a 0) (a 0) ； （3） ab a b（a0，b0） ； （4） aa (a 0,b 0) b b 3、運算： （1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。 （2）二次根式的乘法： a b ab（a0，b0） 。 （3）二次根式的除法： a b a (a

13、0,b 0) b 二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。 例題：例題： 一、因式分解：一、因式分解： 1 1、提公因式法、提公因式法： 例例 1 1、24a (x y) 6b (y x) 分析：先提公因式，后用平方差公式解：略 規(guī)律總結因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為 止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。 2 2、十字相乘法：、十字相乘法： 42 例例 2 2、 （1）x 5x 36； （2）(x y) 4(x y) 12 2 22 分析：可看成是x和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

14、 規(guī)律總結應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整 式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。 3 3、分組分解法：、分組分解法： 例例 3 3、x 2x x 2 分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略 規(guī)律總結對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因 式，十字相乘法或公式法解題。 二、式的運算二、式的運算 1、巧用公式 例例 5 5、計算：(1 32 2 1 2 1 2) (1) a ba b 分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略 規(guī)律總結抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，

15、公式的 逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。 2 2、化簡求值：、化簡求值： 一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。 3 3、分式的計算：、分式的計算： 化簡分式計算過程中： （1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母； （2）注意負號 4 4、根式計算、根式計算 二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用 是中考的主要考查內容。 代數部分代數部分 第三章：方程和方程組第三章：方程和方程組 基礎知識點：基礎知識點： 一、方程有關概念一、方程有關概念 1、方程：含有未知數的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有

16、一個未知數的 方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程變形時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中 x 是未知數，a、b 是已知數，a0） （2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中 x 是未知數，a、b 是已知數，a0） （3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1。 （4）一元一次方程有唯一的一個解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：ax bx c 0（其中 x 是未知數，a、b

17、、c 是已知 數，a0） （2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判別式： b 4ac 當0 時方程有兩個不相等的實數根； 當=0 時方程有兩個相等的實數根； 當0， 即原不等式的解集為x 10 a10 a ， 3解此方程求出 a 的值。解：略 a 2a 2 規(guī)律總結此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都 采用逆向思考法來解。 代數部分代數部分 第六章：函數及其圖像第六章：函數及其圖像 知識點：知識點： 一、平面直角坐標系一、平面直角

18、坐標系 1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標 系內的點和有序實數對之間建立了一對應的關系。 2、不同位置點的坐標的特征： （1）各象限內點的坐標有如下特征： 點 P（x, y）在第一象限x 0，y0； 點 P（x, y）在第二象限x0，y0； 點 P（x, y）在第三象限x0，y0； 點 P（x, y）在第四象限x0，y0。 （2）坐標軸上的點有如下特征： 點 P（x, y）在 x 軸上y 為 0，x 為任意實數。 點 P（x，y）在 y 軸上x 為 0，y 為任意實數。 3點 P（x, y）坐標的幾何意義： （1）點 P（x, y）到 x 軸的距離是|

19、 y |； （2）點 P（x, y）到 y 袖的距離是| x |； （3）點 P（x, y）到原點的距離是x y 4關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征： （1）點 P（a, b）關于 x 軸的對稱點是P 1 (a,b)； （2）點 P（a, b）關于 x 軸的對稱點是P 2 (a,b)； （3）點 P（a, b）關于原點的對稱點是P 3(a,b) ； 二、函數的概念二、函數的概念 1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量；保持數值不變的量 叫做常量。 2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x 和 y，如果對于x 的每一個值，y 都有唯一的值與它對應，那么就說x 是自

20、變量，y 是 x 的函數。 （1）自變量取值范圍的確是： 解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。 解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為0 的實數。 解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數， 自變量取值范圍是使被開方數非負的 22 實數。 注意：在確定函數中自變量的取值范圍時， 如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意 義。 （2）函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。 （3）函數的表示方法：解析法；列表法；圖像法 （4）由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：列表；描點；連線 三、幾種特殊的函數三、幾種特殊的函數 1、一

21、次函數 直線位置與 k，b 的關系： （1）k0 直線向上的方向與 x 軸的正方向所形成的夾角為銳角； （2）k0 直線向上的方向與 x 軸的正方向所形成的夾角為鈍角； （3）b0 直線與 y 軸交點在 x 軸的上方； （4）b0 直線過原點； （5）b0 直線與 y 軸交點在 x 軸的下方； 2 2、二次函數、二次函數 拋物線位置與 a，b，c 的關系： （1）a 決定拋物線的開口方向 a 0 開口向上 a 0 開口向下 （2）c 決定拋物線與 y 軸交點的位置： c0圖像與 y 軸交點在 x 軸上方；c=0圖像過原點；c0圖像與 y 軸交點在 x 軸下方； （3）a，b 決定拋物線對稱軸的

22、位置：a，b 同號，對稱軸在 y 軸左側；b0，對稱軸是 y 軸； a，b 異號。對稱軸在 y 軸右側； 3 3、反比例函數：、反比例函數： 4 4、正比例函數與反比例函數的對照表：、正比例函數與反比例函數的對照表： 代數部分代數部分 第七章：統(tǒng)計初步第七章：統(tǒng)計初步 知識點：知識點： 一、總體和樣本：一、總體和樣本： 在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從 總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量。 二、反映數據集中趨勢的特征數二、反映數據集中趨勢的特征數 1 1、平均數、平均數 （1）x1,x2,x3, ,xn的平均數，x

23、1 (x 1 x 2 x n ) n （2）加權平均數：如果n 個數據中，x1出現f1次，x2出現f 2 次，xk出現f k 次 （這里f1 f 2 f k n） ，則x （3）平均數的簡化計算： 當一組數據 x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n 中各數據的數值較大，并且都與常數a 接近時，設 1 (x 1 f 1 x 2 f 2 x k f k ) n x 1 a,x 2 a,x 3 a, ,x n a的平均數為x則：x x a。 2 2、中位數、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫做這組數 據的中位數，如果數據的個數為偶數中位數就是處在中間位置上兩個數據的平

24、均數。 3 3、眾數、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數據的眾數 可能不止一個。 三、反映數據波動大小的特征數三、反映數據波動大小的特征數： 1 1、方差：、方差： (x 1 x)2 (x 2 x)2 (x n x)2 （l）x1,x2,x3, ,xn的方差， S n 2 2 x x 2 x n x （x1,x2,x3, ,xn為較小的整數時（2）簡化計算公式：S 1 n 2 222 用這個公式要比較方便） 2 （3） 記x1,x2,x3, ,xn的方差為S， 設 a 為常數，x1 a,x2 a,x3 a, ,xn a的 222 方差為S，則S=S。 注：當x1,

25、x2,x3, ,xn各數據較大而常數 a 較接近時，用該法計算方差較簡便。 2 2、標準差：方差、標準差：方差（S）的算術平方根叫做標準差（S） 。 注：通常由方差求標準差。 四、頻率分布四、頻率分布 1、有關概念概念 （1）分組：將一組數據按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組， 當數據在 100 個以內時， 通常分成 512 組。 （2）頻數：每個小組內的數據的個數叫做該組的頻數。各個小組的頻數之和等于數據 總數 n。 （3）頻率：每個小組的頻數與數據總數n 的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之 和為 l。 （4）頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表格叫做頻率 2 分布

26、表。 （5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分點為橫坐標， 以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。 圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。 每個小長方形的面積等于該組的頻率。 所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。 樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量 n 的比例的大小，總體分布 反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占比例的大小， 一般是用樣本的頻率分布去估計 總體的頻率分布。 2、研究頻率分布的方法方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據，后畫出頻 率分布直方圖，其步驟是： （1）計算最大值與最小值的差； （2）

27、決定組距與組數； （3）決定分點； （4）列領率分布表； （5）繪頻率分布直方圖。 規(guī)律總結求平均數有三種方法，即當所給數據比較分散時，一般用平均數的概念 來求；著所給數據較大且都在某一數a 上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據重復出 現時，通常采用加權平均數公式來計算。 規(guī)律總結明確方差或標準差是衡量一組數據的波動的大小的，恰當選用方差的三個 計算公式，應抓住三個公式的特征，根據題中數據的特點選用計算公式。 規(guī)律總結要掌握獲得一組數據的頻率分布的五大步驟，掌握整理數據的步驟和方法。 會對數據進行合理的分組。 幾何部分幾何部分 第一章：線段、角、相交線、平行線第一章：線段、角、相交線、平行

28、線 知識點：知識點： 一、直線一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無 限延伸” 。 二、二、直線的性質直線的性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質是以公理 的形式給出的，可簡述為：過兩點有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個交點。 三、射線：三、射線： 1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。 2射線的特征： “向一方無限延伸，它有一個端點。 ” 四、線段：四、線段： 1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。 2、線段的性質（公理） ：所有連接兩點的線中，線段最短。 五、線段的中點：五、線段

29、的中點： 1、 定義如圖 1 一 1 中， 點 B 把線段 AC 分成兩條相等的線段， 點 B 叫做線段圖 11AC 的中點。 2、表示法： ABBC 點 B 為 AC 的中點 或 AB 1 MAC 2 點 B 為 AC 的中點，或AC2AB，點 B 為 AC 的中點 反之也成立 點 B 為 AC 的中點，ABBC 或點 B 為 AC 的中點， AB= 1 AC 2 或點 B 為 AC 的中點， AC=2BC 六、角六、角 1 1、角的兩種定義、角的兩種定義：一種是有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。 要弄清定義中的兩個重點 角是由兩條射線組成的圖形； 這兩條射線必須有一個公共端點。另一種

30、是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另 一個位置所形成的圖形?？梢钥闯鲈谄鹗嘉恢玫纳渚€與終止位置的射線就形成了一個角。 2 2角的平分線定義角的平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角， 這條射線叫做這個角的平分線。表示法有三種：如圖12 （1）AOCBOC （2）AOB2AOC 2COB （3）AOCCOB= 1 AOB 2 七、角的度量：七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個圓周分成360 等份， 每一份叫做一度的角。 1 度=60 分；1 分=60 秒。 八、角的分類：八、角的分類： （1）銳角：小于直角的角叫做銳角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）鈍角：大于

31、直角而小于平角的角 （4）平角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終止位置和起始位置成 一直線時，所成的角叫做平角。 （5）周角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所 成的角叫做周角。 （6）周角、平角、直角的關系是： l 周角=2 平角=4 直角=360 九、相關的角：九、相關的角： 1、對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線， 這兩個角叫做對頂角。 2、互為補角：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角做互為補角。 3、互為余角：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。 4、鄰補角：有公共頂點，一條公共邊， 另兩條邊互為反向延長線的兩個

32、角做互為鄰補角。 注意： 互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，而互為鄰補角則要求 兩個角有特殊的位置關系。 十、角的性質十、角的性質 1、對頂角相等。 2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的補角相等。 十一、相交線十一、相交線 1、斜線：兩條直線相交不成直角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交 點叫做斜足。 2、兩條直線互相垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這 兩條直線互相垂直。 3、垂線：當兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交 點叫做垂足。 4、垂線的性質 （l）過一點有且只有一條直線與己知直線垂直。 （2）

33、直線外一點與直線上各點連結的所有線段中， 垂線段最短。簡單說：垂線段最短。 十二、距離十二、距離 1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度叫做兩點的距離。 2、從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。 3、兩條平行線的距離： 兩條直線平行， 從一條直線上的任意一點向另一條直線引垂線， 垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。 說明：點到直線的距離和平行線的距離實際上是兩個特殊點之間的距離，它們與點到 直線的垂線段是分不開的。 十三、平行線十三、平行線 1 1、定義、定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。 2 2、平行公理、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平

34、行。 3、平行公理的推論推論：如果兩條直線都和第三條直線平行， 那么這兩條直線也互相平行。 說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。 4 4、平行線的判定、平行線的判定： （1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內錯角相等，兩直線平行。 （3）同旁內角互補，兩直線平行。 5 5、平行線的性質、平行線的性質 （1）兩直線平行，同位角相等。 （2）兩直線平行，內錯角相等。 （3）兩直線平行，同旁內角互補。 說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時， 則應用性質定理。 6 6、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互

35、補。 注意：當角的兩邊平行且方向相同（或相反）時，這兩個角相等。當角的兩邊平行且一 邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補。 幾何部分幾何部分 第二章：三角形第二章：三角形 知識點：知識點： 一、關于三角形的一些概念一、關于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所 組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。 1 1、三角形的角平分線。、三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離） 2 2、三角形的中線、三角形的中線 三角形的中線也是一條線段

36、（頂點到對邊中點間的距離） 3 3三角形的高三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。 如圖 2l， AD、 BE、 CF 都是么 ABC 的角平分線，它們都在ABC 內 如圖 22，AD、BE、CF 都是ABC 的中線，它們都在ABC 內 而圖 23，說明高線不一定在 ABC 內， 圖 23（1）圖 23（2）圖 23 一（3） 圖 23（1） ，中三條高線都在 ABC 內， 圖 23（2） ，中高線 CD 在ABC 內，而高線 AC 與 BC 是三角形的邊； 圖 23 一（3） ，中高線 BE 在ABC 內，而高線 AD、CF 在A

37、BC 外。 4 4、三角形三條邊的關系、三角形三條邊的關系 三角形三邊都不相等， 叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形； 三邊都相等的 則叫等邊三角形。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾 角叫項角。 三角形按邊按邊相等關系來分類： 不等邊三角形 三角形三角形三角形底邊和腰不相等的等腰 等腰三角形等邊三角形 用集合表示，見圖 24 三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長分別為 5，6，1 人因為 5612，所以這三條線段，不能作為三角形

38、 的三邊。 三、三角形的內角和三、三角形的內角和 定理三角形三個內角的和等于180 由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知ABC 的兩個角為A90，B40，則C180904050 由定理可以知道，三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角。 推論推論 1 1：直角三角形的兩個銳角互余。 三角形按角按角分類： 直角三角形 三角形銳角三角形 斜三角形鈍角三角形 用集合表示，見圖 三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。 推論推論 2 2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。 推論推論 3 3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。 例

39、如圖 26 中 1 3；1=34；538；5378； 28；278；49；4910 等等。 四、全等三角形四、全等三角形 能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。 兩個全等三角形重合時， 互相重合的頂點叫對應頂點， 互相重合的邊叫對應邊， 互相重 合的角叫對應角。 全等用符號“”表示 ABCA BC表示 A 和 A，B 和 B，C 和 C是對應點。 全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。 如圖27，ABCA BC，則有A、B、C的對應點A、B、C；AB、BC、CA的對 應邊是AB、BC、CA。 A，B，C的對應角是A、B、C。 ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC 五、全等三角形

40、的判定五、全等三角形的判定 1、 邊角邊公理： 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 （可以簡寫成“邊角邊” 或“SAS”） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 （可以簡寫成“角邊角 “或“ASA”） 3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊域 “AAS”） 4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：

41、斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直 角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”） 六、角的平分線六、角的平分線 定理定理1 1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 定理定理2 2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。 由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。 可以證明三角形內存在一個點， 它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角 平分線的交點（交于一點） 命題：命題： 在兩個命題中， 如果第一個命題的題設是第二個命題的結論， 而第一個命題的結論又是 第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題， 如果把其中的一個

42、做原命題， 那么另 一個叫它的逆命題。 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題， 那么它也是一個定理， 這兩個定理叫互逆定 理，其中一個叫另一個的逆定理。 例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。 一個定理不一定有逆定理，例如定理： “對頂角相等”就沒逆定理，因為“相等的角是對 頂角”這是一個假命顆。 七、基本作圖七、基本作圖 限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作網 最基本、最常用的尺規(guī)作圖通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。 1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應角相等； 2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）從而得到

43、對應角相等。 3、經過一點作已知直線的垂線： （1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角； （2）若點在已知直線外， 可用類似平分已知角的方法去做： 已知點 C為圓心， 適當長為半徑作弧交已知真線于A、 B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。 4、作線段的垂直平分線： 線段的垂直平分線也叫中垂線。 做法的實質仍是全等三角形（SSS）。 也可以用這個方法作線段的中點。 八、作圖題舉例八、作圖題舉例 重要解決求作三角形的問題 1、已知兩邊一夾角，求作三角形 2、已知底邊上的高，求作等腰三角形 九、等腰三角形的性質定理九、等腰三角形的性質定理 等腰三角

44、形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”） 推論推論1 1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂 角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論推論2 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60 例如： 等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等， 因為等腰三角形底邊中線就 是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n 十、等腰三角形的判定十、等腰三角形的判定 定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角 對等動”）。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個角等于60

45、的等腰三角形是等邊三角形 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 十一、線段的垂直平分線十一、線段的垂直平分線 定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 十二、軸對稱和軸對稱圖形十二、軸對稱和軸對稱圖形 把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合， 那么就說這兩個圖形關 于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。 兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。 定理

46、定理1 1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。 定理定理2 2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。 定理定理3 3：兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那么交點在對 稱軸上。 逆定理： 如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分， 那么這兩個圖形關于這條直 線對稱。 如果一個圖形沿著一條直線折疊， 直線兩旁的部分能夠互相重合， 那么這個圖形叫做軸 對稱圖形，這條直線就是對稱軸。 例如： 等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點， 所以等腰三角形頂角的分角線 是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。 十三、勾股定理十三、勾股定理

47、 勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：a b c 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系： a b c 那么這個三角形是直角三角形 222 22 幾何部分幾何部分 第三章：四邊形第三章：四邊形 知識點：知識點： 一、多邊形一、多邊形 1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫做多邊形。 2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。 3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。 4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。 5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的

48、周長。 6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線 所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。 說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形； 有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。 7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。 8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的 外角。 注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角的鄰補角。 9、n 邊形的對角線共有 1 n(n 3)條。 2 說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數計算出它

49、的對角線的條數， 也可以由一 個多邊形的對角線的條數求出它的邊數。 10、多邊形內角和定理：n 邊形內角和等于（n2）180。 11、多邊形內角和定理的推論：n 邊形的外角和等于 360。 說明：多邊形的外角和是一個常數（與邊數無關） ，利用它解決有關計算題比利用多邊形 內角和公式及對角線求法公式簡單。無論用哪個公式解決有關計算，都要與解方程聯(lián)系起 來，掌握計算方法。 二、平行四邊形二、平行四邊形 1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。 3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。 4、平行四邊形性質定理2 推論：夾在平行

50、線間的平行線段相等。 5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。 6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 說明： （1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證 明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。 （2） 平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質， 又是平行四邊形的一個判定方法。 三、矩形三、矩形 矩形是特殊的平行四邊形，

51、 從運動變化的觀點來看， 當平行四邊形的一個內角變?yōu)?0 時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。 1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形） 2、矩形性質定理 1：矩形的四個角都是直角。 3矩形性質定理 2：矩形的對角線相等。 4、矩形判定定理 1：有三個角是直角的四邊形是矩形。 說明：因為四邊形的內角和等于360 度，已知有三個角都是直角， 那么第四個角必定是 直角。 5、矩形判定定理 2：對角線相等的平行四邊形是矩形。 說明：要判定四邊形是矩形的方法是： 法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明） 法二：先證

52、明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1） 法三：只需證出三個角都是直角。 （這是判定定理 2） 四、菱形四、菱形 菱形也是特殊的平行四邊形， 當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時， 即當兩個鄰邊相等時， 平行四邊形變成了菱形。 1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 2、菱形的性質 1：菱形的四條邊相等。 3、菱形的性質 2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。 4、菱形判定定理 1：四邊都相等的四邊形是菱形。 5、菱形判定定理 2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 說明：要判定四邊形是菱形的方法是： 法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。 （

53、這就是定義證明） 。 法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。 （這是判定定理 2） 法三：只需證出四邊都相等。 （這是判定定理 1） （五）正方形（五）正方形 正方形是特殊的平行四邊形， 當鄰邊和內角同時運動時， 又能使平行四邊形的一個內角 為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。 1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。 2、正方形性質定理 1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。 3、正方形性質定理 2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平 分一組對角。 4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定

54、理 2：兩條對角線相等的菱形是正方形。 注意：要判定四邊形是正方形的方法有 方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行 四邊形。 （這是用定義證明） 方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。 （這是判定定理 1） 方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。 （這是判定定理 2） 六、梯形六、梯形 1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊 叫做下底） 3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。 5、

55、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 7、等腰梯形性質定理 1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。 8、等腰梯形性質定理 2：等腰梯形的兩條對角線相等。 9、等腰梯形的判定定理l。 ：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理 2：對角線相等的梯形是等腰梯形。 研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的 直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點；或延長兩腰交于一點。 七、中位線七、中位線 1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 說明：三角形的中位線

56、與三角形的中線不同。 2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。 3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。 八、多邊形的面積八、多邊形的面積 說明：多邊形的面積常用的求法有： （1）將任意一個平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的 面積這種方法叫做分割法。如圖 3l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點向這 條對角線引垂線，把六邊形分成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。 （2）將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當的位置上，從而改變

57、原來圖 形的形狀。利用計算變形后的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。 叫做割補法。 （3）將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋€圖形，利用新的圖形減去所 補充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。 注意：兩個圖形全等，它們的面積相等。 等底等高的三角面積相等。一個圖形的面積等 于它的各部分面積的和。 幾何部分幾何部分 第四章：相似形第四章：相似形 知識點：知識點： 一、比例線段一、比例線段 1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b 的長度分別是 m、n， 那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或 am ） bn 2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b 中。a

58、叫做比的前項，b 叫做比的后項。 說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。 3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項：在比例 ac bd ac （或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外項。 bd ac 5、比例內項：在比例 （或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例內項。 bd ac 6、第四比例項：在比例 （或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例項。 bd 7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為 ab ba （或 a:b=b:c 時，我們把 b 叫做 a 和 d 的比例中項。 ） 8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條

59、線段的比， 那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。 9、比例的基本性質：如果 a：bc：d 那么 adbc 逆命題也成立，即如果 adbc，那 么 a：bc：d 10、比例的基本性質推論：如果 a：b=b：d 那么 b2=ad，逆定理是如果 b2=ad 那么 a： b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質及推例式與等積式互 化的理論依據。 aca bc d ，那么 bdbd acma c ma 12 等比性質： 如果 ，（b d m 0） ， 那么 bdnb d nb 11、合比性質：如果 說明：應用等比性質解題時常采用設已知條件為 k ，這種方法思路單一，方法簡單不 易出錯。 13、 黃金分割把一條線段分成兩條線段， 使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中 項，叫做把這條線段黃金分割。 說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB 上截取這條 線段的 5 1 倍得到點 C，則點 C 就是 AB 的黃金分割點。 2 二、平行線分線段成比例二、平行線分線段成比例