1、2015年廣東省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）（2015廣東）若集合M=x|（x+4）（x+1）=0，N=x|（x4）（x1）=0，則MN=（）A1，4B1，4C0D考點：交集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：集合分析：求出兩個集合，然后求解交集即可解答：解：集合M=x|（x+4）（x+1）=0=1，4，N=x|（x4）（x1）=0=1，4，則MN=故選：D點評：本題考查集合的基本運算，交集的求法，考查計算能力2（5分）（2015廣東）若復數(shù)z=i（32i）（i是虛數(shù)單位），則=（

2、）A23iB2+3iC3+2iD32i考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)分析：直接利用復數(shù)的乘法運算法則化簡求解即可解答：解：復數(shù)z=i（32i）=2+3i，則=23i，故選：A點評：本題開采方式的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，考查計算能力3（5分）（2015廣東）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex考點：函數(shù)奇偶性的判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：直接利用函數(shù)的奇偶性判斷選項即可解答：解：對于A，y=是偶函數(shù)，所以A不正確；對于B，y=x+函數(shù)是奇函數(shù)，所以B不正確；對于C，y=2x+是偶函

3、數(shù)，所以C不正確；對于D，不滿足f（x）=f（x）也不滿足f（x）=f（x），所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以D正確故選：D點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，基本知識的考查4（5分）（2015廣東）袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）ABCD1考點：古典概型及其概率計算公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計分析：首先判斷這是一個古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件包含的基本事件個數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個球任取2球的取法，而在求“所取的2個球中恰有1

4、個白球，1個紅球”事件的基本事件個數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可解答：解：這是一個古典概型，從15個球中任取2個球的取法有；基本事件總數(shù)為105；設(shè)“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”為事件A；則A包含的基本事件個數(shù)為=50；P（A）=故選：B點評：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟練掌握組合數(shù)公式和分步計數(shù)原理5（5分）（2015廣東）平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0考點：圓的切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所

5、有專題：計算題；直線與圓分析：設(shè)出所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線方程中的變量，即可求出直線方程解答：解：設(shè)所求直線方程為2x+y+b=0，則，所以=，所以b=5，所以所求直線方程為：2x+y+5=0或2x+y5=0故選：A點評：本題考查兩條直線平行的判定，圓的切線方程，考查計算能力，是基礎(chǔ)題6（5分）（2015廣東）若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最小值為（）A4BC6D考點：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最小值解答：解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x+2y得y

6、=x+，平移直線y=x+，則由圖象可知當直線y=x+，經(jīng)過點A時直線y=x+的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（1，），此時z=31+2=，故選：B點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵7（5分）（2015廣東）已知雙曲線C：=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0），則雙曲線C的方程為（）A=1B=1C=1D=1考點：雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用已知條件，列出方程，求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程解答：解：雙曲線C：=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0），可得：，c=5，a=4，b=3，所

7、求雙曲線方程為：=1故選：C點評：本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力8（5分）（2015廣東）若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；空間位置關(guān)系與距離分析：先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解答：解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；在空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面

8、體，成立；若n4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，且球的半徑等于邊長，即有球心與正四面體的底面嗎的中心重合，故不成立；同理n5，不成立故選：B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯題二、填空題（本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分）（一）必做題（1113題）9（5分）（2015廣東）在（1）4的展開式中，x的系數(shù)為6考點：二項式定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；二項式定理分析：根據(jù)題意二項式（1）4的展開式的

9、通項公式為Tr+1=（1）r，分析可得，r=1時，有x的項，將r=1代入可得答案解答：解：二項式（1）4的展開式的通項公式為Tr+1=（1）r，令2=1，求得r=2，二項式（1）4的展開式中x的系數(shù)為=6，故答案為：6點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題10（5分）（2015廣東）在等差數(shù)列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，則a2+a8=10考點：等差數(shù)列的通項公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將a5的值代入即可

10、求出值解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，則a2+a8=2a5=10故答案為：10點評：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題11（5分）（2015廣東）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若a=，sinB=，C=，則b=1考點：正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；解三角形分析：由sinB=，可得B=或B=，結(jié)合a=，C=及正弦定理可求b解答：解：sinB=，B=或B=當B=時，a=，C=，A=，由正弦定理可得，則b=1當B=時，C=，與三角形的內(nèi)角和為矛盾故答案為：1點評：本題

11、考查了正弦、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵12（5分）（2015廣東）某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了1560條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）考點：排列、組合的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：排列組合分析：通過題意，列出排列關(guān)系式，求解即可解答：解：某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了=4039=1560條故答案為：1560點評：本題考查排列數(shù)個數(shù)的應(yīng)用，注意正確理解題意是解題的關(guān)鍵13（5分）（2015廣東）已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則P=考點：離散型隨機變

12、量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計分析：直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可解答：解：隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，則p=，故答案為：點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計算能力14（5分）（2015廣東）已知直線l的極坐標方程為2sin（）=，點A的極坐標為A（2，），則點A到直線l的距離為考點：簡單曲線的極坐標方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：坐標系和參數(shù)方程分析：把極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后求出極坐標表示的直角坐標，利用點到直線的距離求解即可解答：解：直線l的極坐標方程為

13、2sin（）=，對應(yīng)的直角坐標方程為：yx=1，點A的極坐標為A（2，），它的直角坐標為（2，2）點A到直線l的距離為：=故答案為：點評：本題考查極坐標與直角坐標方程的互化，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力15（2015廣東）如圖，已知AB是圓O的直徑，AB=4，EC是圓O的切線，切點為C，BC=1過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于D和點P，則OD=8考點：相似三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：選作題；創(chuàng)新題型；推理和證明分析：連接OC，確定OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，即可得出結(jié)論解答：解：連接OC，則OCCD，AB是圓O的直徑，BCAC，

14、OPBC，OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，4=OD，OD=8故答案為：8點評：本題考查圓的直徑與切線的性質(zhì)，考查射影定理，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)三、解答題16（12分）（2015廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若與的夾角為，求x的值考點：平面向量數(shù)量積的運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及應(yīng)用分析：（1）若，則=0，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求tanx的值；（2）若與的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標公式進行求解即可求x的值解答：解：（1）若，則

15、=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）|=1，|=1，=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx，若與的夾角為，則=|cos=，即sinxcosx=，則sin（x）=，x（0，）x（，）則x=即x=+=點評：本題主要考查向量數(shù)量積的定義和坐標公式的應(yīng)用，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)17（12分）（2015廣東）某工廠36名工人年齡數(shù)據(jù)如圖：工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836

16、192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；（2）計算（1）中樣本的均值和方差s2；（3）36名工人中年齡在s和+s之間有多少人？所占百分比是多少（精確到0.01%）？考點：極差、方差與標準差；系統(tǒng)抽樣方法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）利用系統(tǒng)抽樣的定義進行求解即可；（2）根據(jù)均值和方差公式即可計算（1）中樣本的均值和方差s2；（3）求出樣本和方差即可得到結(jié)論解答：

17、解：（1）由系統(tǒng)抽樣知，36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以其編號為2，所有樣本數(shù)據(jù)的編號為：4n2，（n=1，2，9），其數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40由方差公式得s2=（4440）2+（4040）2+（3740）2=（3）s2=s=（3，4），36名工人中年齡在s和+s之間的人數(shù)等于區(qū)間37，43的人數(shù)，即40，40，41，39，共23人36名工人中年齡在s和+s之間所占百分比為63.89%點評：本題主要考查統(tǒng)計和分層抽樣的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)18（14分）（2

18、015廣東）如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，點E是CD的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）證明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值考點：二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（1）通過POC為等腰三角形可得PECD，利用線面垂直判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論；（2）通過（1）及面面垂直定理可得PGAD，則PDC為二面角PADC的平面角，利用勾股定理即得結(jié)論；（3）連結(jié)AC，

19、利用勾股定理及已知條件可得FGAC，在PAC中，利用余弦定理即得直線PA與直線FG所成角即為直線PA與直線FG所成角PAC的余弦值解答：（1）證明：在POC中PO=PC且E為CD中點，PECD，又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，PE平面PCD，PE平面ABCD，又FG平面ABCD，PEFG；（2）解：由（1）知PE平面ABCD，PEAD，又CDAD且PECD=E，AD平面PDC，又PD平面PDC，ADPD，又ADCD，PDC為二面角PADC的平面角，在RtPDE中，由勾股定理可得：PE=，tanPDC=；（3）解：連結(jié)AC，則AC=3，在RtADP中，AP=5，AF=2F

20、B，CG=2GB，F(xiàn)GAC，直線PA與直線FG所成角即為直線PA與直線FG所成角PAC，在PAC中，由余弦定理得cosPAC=點評：本題考查線線垂直的判定、二面角及線線角的三角函數(shù)值，涉及到勾股定理、余弦定理等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題19（14分）（2015廣東）設(shè)a1，函數(shù)f（x）=（1+x2）exa（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明f（x）在（，+）上僅有一個零點；（3）若曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，且在點M（m，n）處的切線與直線OP平行，（O是坐標原點），證明：m1考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：常規(guī)題型；

21、導數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）利用f（x）0，求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間（2）證明只有1個零點，需要說明兩個方面：函數(shù)單調(diào)；函數(shù)有零點（3）利用導數(shù)的最值求解方法證明，思路較為復雜解答：解：（1）f（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）22分f（x）0，f（x）=（1+x2）exa在（，+）上為增函數(shù)3分（2）證明：由（1）問可知函數(shù)在（，+）上為增函數(shù)又f（0）=1a，a11a05分f（0）0當x+時，f（x）0成立f（x）在（，+）上有且只有一個零點7分（3）證明：f（x）=ex（x+1）2，設(shè)點P（x0，y0）則）f（x）=ex0（x0+1）2，y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，f（x0

22、）=0，即：ex0（x0+1）2=0，x0=19分將x0=1代入y=f（x）得y0=，10分令；g（m）=em（m+1）g（m）=em（m+1），則g（m）=em1，由g（m）=0得m=0當m（0，+）時，g（m）0當m（，0）時，g（m）0g（m）的最小值為g（0）=012分g（m）=em（m+1）0emm+1em（m+1）2（m+1）3即：m14分點評：本題考查了導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值上的應(yīng)用，屬于綜合應(yīng)用，在高考中屬于壓軸題目，有較大難度20（14分）（2015廣東）已知過原點的動直線l與圓C1：x2+y26x+5=0相交于不同的兩點A，B（1）求圓C1的圓心坐標；（2）求線段AB 的中

23、點M的軌跡C的方程；（3）是否存在實數(shù) k，使得直線L：y=k（x4）與曲線 C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由考點：軌跡方程；直線與圓的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；開放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（1）通過將圓C1的一般式方程化為標準方程即得結(jié)論；（2）設(shè)當直線l的方程為y=kx，通過聯(lián)立直線l與圓C1的方程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計算即得結(jié)論；（3）通過聯(lián)立直線L與圓C1的方程，利用根的判別式=0及軌跡C的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論解答：解：（1）圓C1：x2+y26x+5=0

24、，整理，得其標準方程為：（x3）2+y2=4，圓C1的圓心坐標為（3，0）；（2）設(shè)當直線l的方程為y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去y可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）50，可得k2由韋達定理，可得x1+x2=，線段AB的中點M的軌跡C的參數(shù)方程為，其中k，線段AB的中點M的軌跡C的方程為：（x）2+y2=，其中x3；（3）結(jié)論：當k（，），時，直線L：y=k（x4）與曲線C只有一個交點理由如下：聯(lián)立方程組，消去y，可得：（1+k2）x2（3+8k）x+16k2=0，令=（3+8k）24（1+k2）16k2=0，解得k=，又軌跡C的端點（，）與點（4