1、第10講 空間中的平行關(guān)系備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1平面的基本性質(zhì)與推論借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線；公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2空間中的平行關(guān)系以立體幾何的上述定

2、義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行；兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題二【命題走向】立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過(guò)近幾年

3、的高考情況分析，考察的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。預(yù)測(cè)2019年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系：（1）考題將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題和一個(gè)解答題；（2）在考題上的特點(diǎn)為：熱點(diǎn)問(wèn)題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主三【要點(diǎn)精講】1平面概述（1）平面的兩個(gè)特征：無(wú)限延展 平的（沒(méi)有厚度）

4、（2）平面的畫(huà)法：通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面（3）平面的表示：用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面ac。2三公理三推論:公理1：若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)：a,b,a,b公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線。公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論一：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面3空間直線:（1）空間兩條直線的

5、位置關(guān)系：相交直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； 異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫(huà)法常用的有下列三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模式：與a是異面直線。4直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）用兩分法進(jìn)行兩次分類。它

6、們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為，。線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。推理模式：線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：5兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。定理的模式：推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行。推論模式：（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）如果

7、兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。四【典例解析】題型1：共線、共點(diǎn)和共面問(wèn)題例1（1）如圖所示，平面abd平面bcd 直線bd ，m 、n 、p 、q 分別為線段ab 、bc 、cd 、da 上的點(diǎn)，四邊形mnpq 是以pn 、qm 為腰的梯形。試證明三直線bd 、mq 、np 共點(diǎn)。證明：四邊形mnpq 是梯形，且mq 、np 是腰，直線mq 、np 必相交于某一點(diǎn)o 。o 直線mq ；直線mq 平面abd ，o 平面abd。同理，o 平面bcd ，又兩平面abd 、bcd 的交線為bd ，故由公理二知，o

8、 直線bd ，從而三直線bd 、mq 、np 共點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：由已知條件，直線mq 、np 必相交于一點(diǎn)o ，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證點(diǎn)o 在直線bd 上，由公理二，就是要尋找兩個(gè)平面，使直線bd 是這兩個(gè)平面的交線，同時(shí)點(diǎn)o 是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可“三點(diǎn)共線”及“三線共點(diǎn)”的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線上”的問(wèn)題。dcbaefhg（2）如圖所示，在四邊形abcd中，已知abcd，直線ab，bc，ad，dc分別與平面相交于點(diǎn)e，g，h，f求證：e，f，g，h四點(diǎn)必定共線證明：abcd，ab，cd確定一個(gè)平面又abe，ab，e，e，即e為平面與的一個(gè)公共點(diǎn)。同理可證f，g，h均為平面與的公共點(diǎn)兩個(gè)平

9、面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，e，f，g，h四點(diǎn)必定共線。點(diǎn)評(píng)：在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理2，即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論。例2已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。證明：1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)a，但ad，如圖1所示：直線d和a確定一個(gè)平面。badcgfeaabcdhk圖1圖2又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于e，f，g，則a，e，f，g。a，e，a，ea，a。同理可證b，c。a，b，c，d在同一平面內(nèi)。2o當(dāng)四條直線中任何三條都不

10、共點(diǎn)時(shí)，如圖2所示：這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面。設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)h，k，則h，k。又 h，kc，c,則c。同理可證d。a，b，c，d四條直線在同一平面內(nèi)點(diǎn)評(píng)：證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)。本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況。因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義。題型2：異面直線的判定與應(yīng)用例3已知：如圖所示，a b a ，b b ，a b a ，c a ，c a 。求證直線b 、c 為異面直線證法一：假設(shè)b 、c 共

11、面于g 由a a ，a c 知，a c ，而a b a，a b a ， a g ，a a。又c a ， g 、a 都經(jīng)過(guò)直線c 及其外的一點(diǎn)a， g 與a 重合，于是a g ，又b b。又g 、b 都經(jīng)過(guò)兩相交直線a 、b ，從而g 、b 重合。 a 、b 、g 為同一平面，這與a b a 矛盾 b 、c 為異面直線證法二：假設(shè)b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。（1）若b c ，又a c ，則由公理4知a b ，這與a b a 矛盾。（2）若b c p ，已知b b ，c a ，則p 是a 、b 的公共點(diǎn)，由公理2，p a ，又b c p ，即p c ，故a c p ，這與a c 矛盾綜

12、合（1）、（2）可知，b 、c 為異面直線。證法三： a b a ，a b a ， a a 。 a c ， a c ，在直線b 上任取一點(diǎn)p（p 異于a），則p a（否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過(guò)兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b a 矛盾）。又c a ，于是根據(jù)“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”知，b 、c 為異面直線。點(diǎn)評(píng)：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b 、c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假

13、設(shè)b 、c 平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個(gè)步驟：（1）否定結(jié)論；（2）進(jìn)行推理；（3）導(dǎo)出矛盾；（4）肯定結(jié)論宜用反證法證明的命題往往是（1）基本定理或某一知識(shí)系統(tǒng)的初始階段的命題（如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）；（2）肯定或否定型的命題（如結(jié)論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題）；（4）正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；（5）結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等

14、一類命題。例4（1）已知異面直線a,b所成的角為70，則過(guò)空間一定點(diǎn)o，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條a1 b2 c3 d4（2）異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點(diǎn)o，過(guò)點(diǎn)o有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是（ ）a30 b50 c60 d90解析：（1）過(guò)空間一點(diǎn)o分別作a,b。將兩對(duì)對(duì)頂角的平分線繞o點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與 都成60角的直線。故過(guò)點(diǎn) o與a,b都成60角的直線有4條，從而選d。（2）過(guò)點(diǎn)o分別作a、b，則過(guò)點(diǎn)o有三條直線與a,b所成角都為60，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)o有三條直線與所成角都為60，其中一條正是角的平分線。從而可得選項(xiàng)為c。點(diǎn)

15、評(píng)：該題以學(xué)生對(duì)異面直線所成的角會(huì)適當(dāng)轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力題型3：線線平行的判定與性質(zhì)例5（2009江蘇卷）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號(hào)是(1)(2)例6兩個(gè)全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，mac，nfb，且am=fn，求

16、證：mn平面bce。證法一：作mpbc，nqbe，p、q為垂足，則mpab，nqab。mpnq，又am=nf，ac=bf，mc=nb，mcp=nbq=45rtmcprtnbqmp=nq，故四邊形mpqn為平行四邊形mnpqpq平面bce，mn在平面bce外，mn平面bce。證法二：如圖過(guò)m作mhab于h，則mhbc，連結(jié)nh，由bf=ac，fn=am，得 nh/af/be由mh/bc, nh/be得:平面mnh/平面bcemn平面bce。題型4：線面平行的判定與性質(zhì)例7(2009山東卷理)（本小題滿分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如圖，在直四棱柱abcd-abc

17、d中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點(diǎn)。（1） 證明：直線ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點(diǎn)f1，連接a1d，c1f1，cf1，因?yàn)閍b=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因?yàn)閑、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn)，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因?yàn)槠矫鎓cc，平面fcc，所以直線ee/平面fc

18、c.（2）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中點(diǎn),所以bf=bc=cf,bcf為正三角形,取cf的中點(diǎn)o,則obcf,又因?yàn)橹彼睦庵鵤bcd-abcd中,cc1平面abcd,所以cc1bo,所以ob平面cc1f,過(guò)o在平面cc1f內(nèi)作opc1f,垂足為p,連接bp,則opb為二面角b-fc-c的一個(gè)平面角, 在bcf為正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f,在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值為.e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 解法二:（1）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, f是棱ab的中點(diǎn),所以bf=bc=cf,bcf為正

19、三角形, 因?yàn)閍bcd為等腰梯形,所以bac=abc=60,取af的中點(diǎn)m,連接dm,則dmab,所以dmcd,以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,設(shè)平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee/平面fcc.（2）,設(shè)平面bfc1的法向量為,則所以,取,則,所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為.【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算.考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力,

20、以及應(yīng)用向量知識(shí)解答問(wèn)題的能力.例8（2008四川 19，理21）（本小題滿分12分）如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（）證明：、四點(diǎn)共面；（）設(shè)，求二面角的大小bacdef解析：不是會(huì)不會(huì)的問(wèn)題，而是熟不熟的問(wèn)題，答題時(shí)間是最大問(wèn)題（）面面，面以為原點(diǎn)，以，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則，c、d、e、f四點(diǎn)共面（）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，設(shè)平面的法向量為由，得，由圖知，二面角為銳角，其大小為點(diǎn)評(píng)：證共面就是證平行，求二面角轉(zhuǎn)為求法向量夾角，時(shí)間問(wèn)題是本題的困惑處心浮氣燥會(huì)在計(jì)算、書(shū)寫(xiě)、時(shí)間上丟分因建系容易，提倡用向量法本時(shí)耗時(shí)要超過(guò)17題與18題

21、用時(shí)之和題型5：面面平行的判定與性質(zhì)例9如圖，正方體abcda1b1c1d1 的棱長(zhǎng)為a。證明：平面acd1 平面a1c1b 。證明：如圖， a1bcd1 是矩形，a1b d1c 。又d1c 平面d1ca ，a1b 平面d1ca ， a1b 平面d1ca。同理a1c1 平面d1ca ，又a1c1 a1b a1 ， 平面d1ca 平面ba1c1 點(diǎn)評(píng)：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明a1c1 與a1b 兩相交直線分別與平面acd1 平行。例10p是abc所在平面外一點(diǎn)，a、b、c分別是pbc、pca、pab的重心。（1）求證：平面abc平面abc；（2）sabcsabc的值。解析：(1)取ab、bc的中點(diǎn)m、n，則acmnac平面abc。同理ab面abc，abc面abc.(2)ac=mn=ac=ac，同理五【思維總結(jié)】在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)(定義、公