1、第二章,力系的簡(jiǎn)化與平衡,退出,目的：求出各種靜定結(jié)構(gòu)的約束反力 重點(diǎn)：(1) 利用力的平移法則導(dǎo)出物體(剛體)的平衡條件 (2) 利用各種形式的平衡條件求解物體的約束反力 (注意有些平衡條件的應(yīng)用限制),力系的簡(jiǎn)化與平衡,退出,2-1 匯交力系的簡(jiǎn)化,2-2 力矩和力偶,2-3 力的平移法則,2-5 例題,2-4 空間力系的簡(jiǎn)化和平衡靜不定問(wèn)題,力系的簡(jiǎn)化與平衡,退出,2-1 匯交力系的簡(jiǎn)化,1.平面匯交力系,1)幾何法,2)解析法(力的投影是代數(shù)值),力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,用解析法求合力，可先求其在 x,y 軸上的投影：,上式稱(chēng)合力投影定理。 由此可求出此匯交力系的合力,設(shè)合力和 x

2、軸所夾的銳角為a，則合力及其方向 ：,(2-5),(2-6),x 軸上投影,y 軸上投影,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2.空間匯交力系的簡(jiǎn)化,空間匯交力系的合力及其方向：,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2-2 力矩和力偶,1. 力對(duì)點(diǎn)的矩,2. 力偶,m=Fh,力矩也是矢量，如圖,(1)力偶沒(méi)有合力。它在坐標(biāo)軸上的投影為零。 (2)力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩都等于其力偶矩本身的大小。 (3)只要不改變力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小, 力偶可在其作用平面內(nèi) 任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),而且也可任意改變其力和力偶臂的大小)。 力偶矩是一個(gè)自由矢量。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2-3 力的平移法則,作用在剛體上的力F

3、可以平行移動(dòng)到任一點(diǎn), 但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力F 對(duì)該點(diǎn)之矩 mo(F)。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2-4 空間力系的簡(jiǎn)化和平衡靜不定問(wèn)題,進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得一主矢和一主矩。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,設(shè)物體受到空間 n 個(gè)力的作用，如圖(a),每個(gè)力按照上節(jié)的平移法則，向O點(diǎn)平移。每個(gè)力移到 O 點(diǎn)后都會(huì)在O點(diǎn)的作用一個(gè)力和一個(gè)富家力偶。,end,空間力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果可有以下幾種:,(1) M0,R=0 時(shí)， 力偶,(2) R0, =0 時(shí)， 合力 R=Smo(Fi) 作用點(diǎn)在O點(diǎn);,(3) R0,M 0 時(shí)， 力系的簡(jiǎn)化應(yīng)分幾種情況:, 當(dāng)RM 時(shí)， 合力R=R，只是合力的作

4、用線移到距O點(diǎn)距離為h=M/R 的O 處 (圖2-19)。,(2-13),此即空間力系的合力矩定理。,由于力矩為矢量，故如將上式向z 軸投影，可得合力矩投影定理:,(2-14),此式有時(shí)也稱(chēng)為合力矩定理：力系的合力對(duì)某軸之矩即等于系中各力對(duì)該軸的力矩的代數(shù)和。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end, 當(dāng) R / M0 時(shí), 力系可簡(jiǎn)化為一力螺旋。,它不能再簡(jiǎn)化了。它是力系簡(jiǎn)化的又一形式，也是力系簡(jiǎn)化的最一般形式。, 當(dāng) R 和 M0 成某一夾角a 時(shí),則可將M0分解為平行于和垂直于的兩分量M0 和M0” 。M0” 和R 仍可合成一個(gè)距 O點(diǎn)距離為h= M0sina / R 處的一個(gè)力R, 而M0平行移動(dòng)后

5、和力R仍可組成一力螺旋，只是其中的力偶為 M0cosa 。,當(dāng) R=0；Mo=0 時(shí)，則力系平衡。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,按照合力投影定理和合力矩投影定理,上述兩矢量式可解析地寫(xiě)成以下的六個(gè)式子:,（2-15）,此即空間力系的平衡方程。它有六個(gè)方程，可解六個(gè)未知數(shù)。,對(duì)于空間平行力系(如圖),故獨(dú)立的平衡方程就只有三個(gè)，即:,(2-16),力系的簡(jiǎn)化與平衡,圖2-21,end,至于具體解題時(shí)，空間力在軸上的投影已在前面講過(guò)，空間力對(duì)軸之矩下節(jié)再講。 對(duì)于在xoy平面內(nèi)的平面力系其平衡方程為：,( x 軸不能和AB連線垂直),(A,B,C三點(diǎn)不能在一直線上),(2-17),(2-18),(2

6、-19),兩投影一力矩式：,兩力矩一投影式：,三力矩式：,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,對(duì)于空間匯交力系和平面匯交力系，其平衡方程分別為：,為了使解算過(guò)程簡(jiǎn)單，一般坐標(biāo)軸盡量選得和未知力垂直，力矩點(diǎn)常選在未知力的交點(diǎn)處。,具有”多余約束”的靜不定結(jié)構(gòu)，求解其約束反力，除需要列出其平衡方程外，尚需考慮共變形。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,(3) 力對(duì)軸之矩,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,用解析方法表示，可得如下公式(圖2-26):,F對(duì)x和y軸之矩也可類(lèi)似地求出，也可按坐標(biāo)x (X), y (Y) ,z (Z) 輪換的方法直接寫(xiě)出,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2-5 例題,例2-1,解：Y=0 T1 sin

7、45o- T2 sin45o = 0 X=0 -Scos30o+2T1 cos45ocos60o=0 Z=0 -W-Ssin30o+2T1cos45osin60o=0,例2-2,解：X=0, Pcos45=0 Y=0, qLPcos45=0 mA(F)=0, qLL/2Pcos45L+m=0,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,例2-3,解： X=0, XA+ NBcos45=0 Y=0, YA- P+ NBsin45=0 mA(F)=0, NBcos45o1-P1.5=0,XA= -15KN, YA= -5KN, NB=21.2KN,計(jì)算結(jié)果中的負(fù)號(hào)，表示所設(shè)未知力的方向和實(shí)際力的方向相反 。,力系的

8、簡(jiǎn)化與平衡,(a),end,例2-4 塔式起重機(jī)如圖。設(shè)起重機(jī)的重量W 的作用線離右軌B 的距離為c ，軌距為b ，載重P 離右軌B的最遠(yuǎn)距離為l ,并設(shè)平衡物重Q 的作用線離左軌A的距離為a 。今欲使起重機(jī)滿載，且載重P在最遠(yuǎn)處和空載時(shí)均不傾倒，試求平衡重物的重量的大小。,解: (1) P滿載時(shí) ,繞B點(diǎn)翻轉(zhuǎn),力系的簡(jiǎn)化與平衡,(a),欲使起重機(jī)滿載而且載重P在最遠(yuǎn)處時(shí)不致繞B點(diǎn)傾倒，必須 YA 0, 將此條件代入(a)式，可得此時(shí)平衡重Q 應(yīng)為:,(b),由平衡方程可得:,end,(2) 空載時(shí)，P=0，繞A點(diǎn)翻轉(zhuǎn)。,(c),力系的簡(jiǎn)化與平衡,由平衡方程得,欲使起重機(jī)空載時(shí)不致繞 A 點(diǎn)傾

9、倒，必須YB0,將此條件代入(c)式，可得此時(shí)平衡重Q應(yīng)為:,(d),綜上所述可知:為了保證起重機(jī)滿載和空載時(shí)均不傾倒，平衡重Q的大小應(yīng)為:,(e),end,例2-5 三個(gè)鉸內(nèi)有6個(gè)未知反力， 如果只取一個(gè)平衡對(duì)象，只能得到3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。必須再取一個(gè)平衡對(duì)象，這樣又可得到3個(gè)平衡方程，總共6個(gè)方程就可解出此 6個(gè)未知數(shù)。,取整體平衡有:,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,再取左半折桿平衡有:,為了校核以上的結(jié)果，可以再取右邊的折桿為平衡對(duì)象，列出它的平衡方程，將求得的結(jié)果代入，驗(yàn)算是否滿足平衡條件,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,例2-7 桁架各桿自重不計(jì)，其尺寸和受力如圖所示。求各桿的內(nèi)力。,由于結(jié)

10、構(gòu)和荷載對(duì)稱(chēng)，易知,由于桁架內(nèi)各桿均為二力桿, 故可用節(jié)點(diǎn)法求解桿的內(nèi)力,A點(diǎn): Y=0,X=0,力系的簡(jiǎn)化與平衡,A,C,D,E,F,G,H,B,1,7,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,(b),end,F點(diǎn): X=0,Y=0,C點(diǎn): Y=0,X=0,D點(diǎn): Y=0,如果只需求出桁架中某些桿，如4,5.6 桿的內(nèi)力，也可采用截面法，將桁架分成兩部分。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,(b),end,例2-8 吊裝用的起重桅桿如圖所示。當(dāng)起重臂轉(zhuǎn)到和桅桿的對(duì)稱(chēng)面成a 角的位置時(shí)，求兩纜繩內(nèi)的拉力和支座 A處的反力。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,X=0，,Y=0，,Z=0，,因纜繩只能受拉力，

11、即必須T1 0 和T2 0。由此可求得起重臂的旋轉(zhuǎn)范圍為 -45 a 45,如超出此范圍，起重吊將向纜繩所在的一方傾倒而發(fā)生嚴(yán)重的事故。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,2-6 物體的重心,重心：物體重力這個(gè)平行力系的合力的作用點(diǎn)。,物體的重心相對(duì)于物體來(lái)說(shuō)是個(gè)固定的點(diǎn)，不論物體如何放置，其合力的作用線必過(guò)此點(diǎn)。,當(dāng)重力平行于z軸時(shí)，對(duì)y取矩，有,對(duì)x取矩，有,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,設(shè)將物體和坐標(biāo)軸同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，使重力和y軸平行，同樣由合力矩定理，如對(duì)x軸取矩，有,對(duì)于均質(zhì)物體，如物體具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，則此物體的重心必在其對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心上。,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,對(duì)于均質(zhì)物體，如物體具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，則此物體的重心必在其對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心上。,故均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)只和物體的幾何形狀和尺寸有關(guān)，故有時(shí)將此種物體的重心坐標(biāo)值所決定的點(diǎn)也稱(chēng)為此物體的形心。,對(duì)平面圖的形形心坐標(biāo)值為:,力系的簡(jiǎn)化與平衡,end,當(dāng)物體總重W可分成有限個(gè)重力, 且每個(gè)重力,的作用點(diǎn)的坐標(biāo)已知時(shí)，有,力系的簡(jiǎn)化與平衡,對(duì)均質(zhì)物體，由于 W和體積V 成正比，可寫(xiě)成：,end,例2-10 由于半球體有對(duì)稱(chēng)軸z，故其形心必在對(duì)稱(chēng)軸上。取坐標(biāo)軸如圖所示，則其z坐標(biāo)處的微體積為:,將它們代入(