1、第四節(jié)向量組的等級、線性代數(shù)、向量組的等價、向量組的等級、矩陣的秩與向量組的等級的關(guān)系、向量組的最大不相關(guān)組、1 .向量組的等價、定義1設(shè)置向量組，如果向量組a中的各向量能夠由向量組b線性表示， 向量組a被稱為向量組b可線性表示的這兩個向量組的等價，很明顯，向量組的等價具有自反性、對稱性和傳遞性。 1 .定義、自反性：的各向量組與自等價。 另外，如果對稱性：向量組a與b等價，則向量組b與a等價。 另外，如果傳遞性：向量組a與b等價，向量組b與c等價，則向量組a與c等價。 如果描述向量組，則b可以用a線性表示，即每個向量存在數(shù)量，2 .判定，因此矩陣，矩陣稱為向量組用向量組的線性表示的系數(shù)矩陣，

2、結(jié)論：如果是由1有限個列向量構(gòu)成的向量組， 群能夠用線性表示的一盞茶條件是矩陣方程具有解，如果b能夠用a線性表示，即假設(shè)每個向量的存在數(shù)定理1向量群都是由列向量構(gòu)成的向量群，則向量群b能夠用向量群a線性表現(xiàn)的一盞茶的必要條件是(P102定理1的推進(jìn)) 推斷向量組，等價的一盞茶的必要條件可以是其中a和b是由向量組a和向量組b構(gòu)成的矩陣，例子1可以證明向量組和向量組等價，分析：可以證明證明向量組等價的方法3360，2，2 .如果是由結(jié)論1有限個列向量構(gòu)成的向量組，則組能夠線性地表現(xiàn)的一盞茶的必要條件是矩陣方程具有解，等價的一盞茶的必要條件由3 .推論向量組通過1 .定義來證明。 非線性向量組中的任

3、何向量都可以用線性表示。 2 .向量組中的最大無關(guān)群組是中心向量，假定它是所有維度的整個行向量。 我知道這個向量不是線性的。 現(xiàn)在任意取維向量，有。 這描述了線性相關(guān)聯(lián)的向量組，使得該向量組具有兩個特征： 一個是其本身不是線性的，兩個是在添加了向量時，得到的向量組是線性相關(guān)的。 在這種情況下，是我們所說的最大的線性關(guān)系組。 定義2是滿足能夠從向量組(包含有限個和無限多個向量)中選擇的向量，(1)與向量組的線性無關(guān)地、1 .與最大的線性無關(guān)地定義向量組， 向量群中的任何向量都可以線性表示，而與最大線性無關(guān)。1 .包含非零向量的向量群中一定存在最大的無關(guān)群組，2 .線性無關(guān)的話，其最大的無關(guān)群組是

4、自各兒，4.1個向量群組例如，為了說明在：個向量組中包括的向量的數(shù)目相同，定理2將向量組定義為具有相同數(shù)目的向量如果向量組能夠用向量組線性地表現(xiàn)，則介紹(b中向量的個數(shù)中的向量的個數(shù))、b能夠用a線性地表現(xiàn)，則向量組b與線性無關(guān)，即，向量組b能夠用向量組a線性地表現(xiàn)，并且向量組線性地相關(guān)如果推論的一個線性不相關(guān)向量組相等，則必須包括相同數(shù)量的向量，而推論的兩個向量組的任意兩個最大不相關(guān)性組包括相同數(shù)量的向量。 定義3向量組的最大無關(guān)組中包含的向量個數(shù)稱為該向量組的等級。 2 .向量組的秩和矩陣的行秩列秩、僅包含零向量的向量組中沒有最大無關(guān)組，將該秩規(guī)定為0 . 如果向量組沒有線性關(guān)系，則該向量

5、組的最大無關(guān)組、該向量組的等級.如果向量組a的等級為r，則向量組中具有包含r個向量的線性關(guān)系的部分組全部為a的最大無關(guān)組向量組的秩是描述與向量組相關(guān)聯(lián)的“程度”的數(shù)量概念，指示與向量組中的線性無關(guān)的部分組最多包含多少個向量。 向量組的線性相關(guān)是向量組的線性關(guān)系的定性描述，秩是定量描述。 如果a是矩陣，則將a視為由該行向量構(gòu)成的向量組，將該向量組的等級稱為矩陣a的行等級，同樣，將a視為由該列向量構(gòu)成的向量組， 例2求矩陣的行秩和列秩，解：難以驗(yàn)證向量，與線性無關(guān)，能夠?qū)的所有行向量表示為第一、兩個行向量的線性組合，即與最大線性無關(guān)的組三、矩陣的秩和向量組的秩之間的關(guān)系從上述證據(jù)中可以明確，但當(dāng)

6、時非零階的具有子式的行(列)構(gòu)成了行(列)向量組的最大線性關(guān)系組，因此向量組的在矩陣a中將初等行變換為矩陣b時，如果對a和b的列向量組間具有相同線性關(guān)系的矩陣a進(jìn)行初等列變換而設(shè)為矩陣b，則a和b的行向量組間具有相同的線性關(guān)系例3設(shè)置了向量組，(1)求出向量組的等級而判定的線性相關(guān)性(2)求出向量組的最大線性非依存組，(3)求出的剩馀向量用最大線性非依存向量組表示，通過矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，且改變矩陣向量間的線性關(guān)系通過初等行變換使成為列向量的矩陣成為行階梯形，然后在各階梯中選擇一個“要素”，即構(gòu)成該向量組的最大非依存組，同時求出向量組的等級。 在階梯形成為最簡單形時，還能夠直接得到該

7、馀數(shù)向量用的最大不相關(guān)組的線形式，能夠?qū)⒔?1)列向量作為矩陣，通過初等行變換將矩陣選擇為行階梯形，將向量組的等級選擇為3，選擇向量組的線性相關(guān)， (2)對每個階梯形選擇“要素”，能夠分別取零以外的最初的要素，所以能夠與向量組對應(yīng)，繼續(xù)進(jìn)行初等行的變換，成為行的最簡單的形式時，可以使用、對應(yīng)，1 .最2 .在行向量的情況下，結(jié)構(gòu)具有相同的線性關(guān)系：行的初等行的變換不改變列向量之間的線性關(guān)系；3 .根據(jù)本題的線性關(guān)系導(dǎo)出，只能進(jìn)行初等行的變換；練習(xí)：設(shè)定向量組A:確定： (1)的向量組a的秩導(dǎo)出最大不相關(guān)群，用該最大不相關(guān)群線性地表示其馀向量，解3360對a實(shí)施了初等行變換：因此該向量組的等級為

8、3 .事實(shí)上，在問題僅要求向量組的最大不相關(guān)群或向量組的等級的情況下，僅將矩陣設(shè)為階梯形矩陣推論，四，向量組秩的重要結(jié)論，定理2 (兩個等價向量組的最大不相關(guān)組包含相同個數(shù)的向量)，討論向量組秩的基本方法1 .根據(jù)向量組秩的定義進(jìn)行化學(xué)基討論2 .變換為矩陣的秩進(jìn)行討論3 .等價向量組具有相同的秩矩陣相加的相乘秩的關(guān)系、性質(zhì)1、性質(zhì)2、設(shè)定、一個層次式不等于0、所有的層次式等于0、經(jīng)過一些初等變換，行秩、列秩以及、的行(列)向量組與某行(列)向量的線性無關(guān)的列向量組中，任意的列向量的線性無關(guān)，在的列向量組中，任意的向量能夠由其馀的列向量的線性表示，在的行向量組中，任意的行向量的線性不為0，存在任意的次數(shù)式都不是0. 5的次數(shù)式，所有的最大無關(guān)向量群的概念：最大性、線性矩陣的秩與向量群秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量群的秩矩陣行向量群的秩、關(guān)于向量群秩的一些結(jié)論、求向量群秩和最大無關(guān)群的方法：將向量群中的向量作為列向量最大的無關(guān)群一般不是唯一的，但表現(xiàn)法是唯一的。 總之，矢量群的等價和矩陣的等價是兩個相同的概念嗎？ 實(shí)際上，如果與其他行(列)向量組的行(列)向量組等價，則因?yàn)檫@兩個向量組