1、在很多的工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達式一一列出，簡稱為撓度表。,采用疊加法（superposition method）由現(xiàn)有的撓度表得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。,6-4 用疊加法求彎曲變形, 梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式,懸臂梁, 梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式,簡支梁1, 梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式,簡支梁2, 梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式,外伸梁,當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形;, 疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形,由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角;,再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。,已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、

2、EI均為已知。,求：C截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角B。,例 題 1,解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。,解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。,解：3. 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加,將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:,已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。,求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。,例 題 2,組合方法一：增減載荷法,解：1. 首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形,解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形,解：2計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角,解：2計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角,解：3將簡單載荷

3、作用的結(jié)果疊加,將桿件系統(tǒng)分解為n段，分n次變形。假設(shè)每次只有一段變形，其它段均作為剛性處理，然后進行疊加，求得變形量。,組合方法二：逐段剛化法,=,+,例題3 求圖示懸臂梁的 yc,先假設(shè) BC 段剛性，只有 AB 段變形,再考慮 BC 段的變形 ( AB 段剛性 ),先假設(shè) BC 段剛性，只有 AB 段變形,再考慮 BC 段的變形 ( AB 段剛性 ),=,+,組合方法三：等價積分法,積分,例4 求圖示懸臂梁的 yc,先取微分長度，形成微集中力dP=qdx，代換后知：,例5 求圖示簡支梁的yC,解：,組合方法四：等價懸臂梁法(僅適合簡支梁受到對稱荷載),由于對稱：梁在C點的轉(zhuǎn)角為0，可以視

4、為一懸臂梁在C點固定，在A點受集中力作用。 A點所產(chǎn)生的位移恰好與C點的位移數(shù)值相同。,注意：一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力(力偶)作用所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角，即：,=,+,P,=,+,組合方法五：利用對稱性(僅適合求簡支梁中點位移),從數(shù)學(xué)知識，任何實矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣之和的形式: F = F symm + F antisymm, 對于軸對稱的結(jié)構(gòu),力也可以同樣分解. 例如,組合方法五：利用對稱性(僅適合求簡支梁中點位移),例6：已知懸臂梁受集中力作用所產(chǎn)生的端部位移和轉(zhuǎn)角。求圖示梁在中點的撓度，fc,=,+,解：將P力分解為關(guān)于中截面的對稱和反對稱力(P/2)之和的形式。顯然，

5、在反對稱力(P/2)作用下， fc（反對稱）=0,+,=,在對稱力(P/2)作用下， fc（對稱）= fc,+,=,采用等價懸臂梁法,=,在對稱力(P/2)作用下， fc（對稱）= fc,對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。 例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機床主軸的撓度過大會影響加工精度。,6-5 梁的剛度校核, 剛度設(shè)計舉例,對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度設(shè)計準(zhǔn)則(criterion for stiffn

6、ess design)：,上述二式中y和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。,已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。,試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。,B,解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。,1查表確定B處的轉(zhuǎn)角 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為,B,1查表確定B處的轉(zhuǎn)角,B,2根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則, =0.5考慮 單位的一致性,作業(yè) 用疊加法求彎曲變形 6-9，6-10

7、(a,c),6-6 簡單的靜不定梁,解靜不定梁基本步驟：,2、根據(jù)多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變 形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程,3、建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程,1、選定并解除多余約束，代之以多余約束反力，建立平衡方程。,4、將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程。,5、聯(lián)立求解平衡方程、補充方程。解得多余約束反力,應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量,由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx FBx

8、= 0。因此，求解這種靜不定問題只需1個補充方程。,例 題,求: 梁的約束力。,已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI， 長度為l。,解：1. 列出平衡方程,FAy+FBy - ql=0,MA+FByl-ql/2=0,3. 列出物性關(guān)系,wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI,2. 列出變形協(xié)調(diào)方程,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,解：4. 綜合求解,FAy+FBy - ql=0,MA+FByl-ql/2=0,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,將平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物性關(guān)系聯(lián)立解出:,wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl

9、 3 /3EI,FBy =3ql /8 ,FAx=0 ,MA= ql 2/8,FAy =5ql /8 ,撓曲線近似微分方程：,穩(wěn)定性：,與內(nèi)力 截面性質(zhì)和材料有關(guān)。,6-6 提高彎曲剛度的一些措施,一、選擇梁的合理截面,矩形木梁的合理高寬比,北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出: 矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機械技術(shù)講義 一書中指出: 矩形木梁的合理高寬比 為,同樣面積下應(yīng)使抗彎剛度最大,二、采用變截面梁,最好是等強度梁，即,若為等強度矩形截面，則高為：,同時,在工程應(yīng)用中則廣泛采用變截面梁，如：在機械工廠中，行車多采用魚腹梁形狀。,對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對稱的截面,三、根據(jù)材料特性選擇截面,四、合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小,x,五、選用高強度材料，提高許用應(yīng)力值,同類材料，如鋼材“