1、第四章三角函數(shù)教材分析三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。其基礎(chǔ)主要是幾何上的相似性和圓，研究方法主要是代數(shù)變形和圖像分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步將幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)。本章介紹的知識(shí)不僅是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，也是中學(xué)學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本章教學(xué)時(shí)間約為36課時(shí)，具體分配如下(僅供參考):4.1角度概念的推廣大約需要2個(gè)課時(shí)4.2電弧系統(tǒng)約為2個(gè)課時(shí)4.3任意角度的三角函數(shù)約為2課時(shí)4.4同角度三角函數(shù)的基本關(guān)系約為2課時(shí)4.5正弦和余弦的歸納公式約為3課時(shí)4.6兩個(gè)角度之和與差的正弦、余弦和正切值約為7課時(shí)4.7雙角的正弦、余弦和正切值約為3課時(shí)4.8正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像

2、和屬性約為4課時(shí)4.9函數(shù)y=Asin(x )的圖像需要大約3個(gè)課時(shí)4.10正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)約為2課時(shí)4.11眾所周知，三角函數(shù)值的計(jì)算大約需要2個(gè)課時(shí)總結(jié)和復(fù)習(xí)大約4個(gè)課時(shí)一、內(nèi)容和要求(1)本章的主要內(nèi)容是任意角的概念、弧系、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、歸納法、兩個(gè)角之和與差的三角函數(shù)、雙角三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、用已知的三角函數(shù)值求角等。(2)本章開(kāi)頭的介紹安排了一道應(yīng)用題來(lái)求半圓內(nèi)接矩形的最大面積。這個(gè)問(wèn)題可以用二次函數(shù)來(lái)解決，但是如果把角度設(shè)為一個(gè)獨(dú)立變量，就可以得到三角函數(shù)，學(xué)生還沒(méi)有學(xué)會(huì)找到它的最大值。第一節(jié)是“任意角度的三角函數(shù)”。教材首先推廣了角度的

3、概念，引入了弧系，然后直接將三角函數(shù)的概念從銳角推廣到任意角度(均由坐標(biāo)定義)，進(jìn)而導(dǎo)出了兩個(gè)相同角度的三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦和余弦的歸納公式。第二節(jié)是“兩個(gè)角之和與差的三角函數(shù)”。首先介紹平面上兩點(diǎn)間的距離公式(公式的正確性只能通過(guò)繪圖來(lái)說(shuō)明，不能?chē)?yán)格證明)，然后由距離公式推導(dǎo)出余弦的和與角公式，再依次推導(dǎo)出其他公式(盡量啟發(fā)式)。同時(shí)，對(duì)這些公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了整理，包括解決引言中的實(shí)際問(wèn)題，并引出半角公式、和差積和積和差積公式供學(xué)生理解第三部分是“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”。首先，教科書(shū)用正弦線畫(huà)出函數(shù)x0的圖像，根據(jù)“終端邊緣的相同角度具有相同的三角函數(shù)值”，將該圖像平行向左

4、和向右移動(dòng)，得到正弦曲線。在此基礎(chǔ)上，利用歸納法，將正弦曲線向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦曲線。然后，根據(jù)這兩條曲線的形狀和特點(diǎn)，研究了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，并簡(jiǎn)要介紹了正弦函數(shù)草圖的繪制方法。最后，簡(jiǎn)要介紹了正切函數(shù)圖像和正切函數(shù)的性質(zhì)。最后，介紹了如何從已知的三角函數(shù)值中尋找角度。介紹arcsinx、arccosx、arctanx等標(biāo)志，以供參考(3)本章的教學(xué)要求是：1.讓學(xué)生理解任意角度的概念和弧度的含義；能正確轉(zhuǎn)換弧度和角度2.使學(xué)生掌握任意角度的正弦、余弦和正切的定義，理解余切、割線和余切的定義；掌握等角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦和余弦的歸納公式3.使學(xué)生掌握兩個(gè)角度的

5、正弦、余弦和正切公式以及兩個(gè)a的區(qū)別5.學(xué)生用單位圓上的三角函數(shù)線畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，然后用歸納法畫(huà)余弦函數(shù)的圖像；了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，并通過(guò)圖像了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的圖，并理解A、的物理意義6.讓學(xué)生從已知的三角函數(shù)值中找出角度，并用符號(hào)arcsinx、arccosx和arctanx來(lái)表示二、測(cè)試中心的要求1.理解弧度的定義，并能正確轉(zhuǎn)換弧度和角度2.掌握任意角度三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、三角函數(shù)在同一角度的關(guān)系式和歸納法，理解周期函數(shù)和最小正周期的含義，找出可以求解的周期，或三角函數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單常

6、數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為上述函數(shù)的周期。三角公式可以用來(lái)簡(jiǎn)化三角函數(shù)，在任意角度尋找三角函數(shù)，證明更簡(jiǎn)單的三角恒等式。3.了解正弦、余弦、正切和余切函數(shù)的繪制方法，用“五點(diǎn)法”繪制正弦、余弦函數(shù)及其圖形，解決與正弦和曲線相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題4.能夠推導(dǎo)和掌握兩個(gè)角之和、兩個(gè)角之差、雙角和半角的正弦、余弦和正切公式5.理解三角函數(shù)、和差與和差的乘積公式6.上述公式可以正確地用來(lái)簡(jiǎn)化三角函數(shù)，求出一定角度的三角函數(shù)，證明更簡(jiǎn)單的三角恒等式，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程，并能用它們來(lái)求解斜三角形三、測(cè)試中心分析三角函數(shù)是一個(gè)重要的初等函數(shù)。由于它的特殊性質(zhì)以及與其他代數(shù)和幾何知

7、識(shí)的密切關(guān)系，它不僅是學(xué)習(xí)其他部分知識(shí)的重要工具，也是高考的重要內(nèi)容之一。本章分為兩個(gè)部分。第一部分是三角函數(shù)的基礎(chǔ)。它不要求介紹困難、復(fù)雜和熟練的主題，但應(yīng)注重知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練程度和靈活性大部分試題都是選擇題和填空題的形式，這并不難，而且經(jīng)常和其他知識(shí)結(jié)合在一起復(fù)習(xí)時(shí)，我們應(yīng)該把握以下幾點(diǎn)：1.理解弧系統(tǒng)所表達(dá)的角度的優(yōu)點(diǎn)在于角度集和實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)。其次，三角函數(shù)可以看作是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)2.有必要區(qū)分正角度、負(fù)角度、零角度、銳角、鈍角、間隔角度、象限角度和具有相同角度的終端邊緣的概念3.當(dāng)你知道一個(gè)角度的三角函數(shù)值，并找到這個(gè)角度的其他三角函數(shù)值時(shí)，你應(yīng)該注意中間角度的范圍

8、，并為不同的象限找到相應(yīng)的值。當(dāng)你使用歸納公式來(lái)簡(jiǎn)化和評(píng)估三角形時(shí)，你應(yīng)該注意公式中符號(hào)的選擇4.單位圓中的三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示。用三角函數(shù)線的值代替三角函數(shù)值比用三角函數(shù)定義的比值得到的三角函數(shù)值優(yōu)越得多。因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的有力工具5.善于將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為盡可能只包含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)公式”，進(jìn)而得到一些復(fù)合三角函數(shù)的最大值、最小正周期和單調(diào)性。當(dāng)對(duì)泛函公式進(jìn)行常數(shù)變形時(shí)，應(yīng)特別注意保持定義域的不變性。6.在給定的區(qū)間內(nèi)考慮函數(shù)的單調(diào)性，只有屬于同一單調(diào)方面的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值可以用它的單調(diào)性來(lái)比較7.對(duì)于周期函數(shù)，在繪制時(shí)，你只需要先在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)其進(jìn)行成像，

9、然后利用周期來(lái)制作一個(gè)圖像本章的第二部分是兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)。共檢查了7個(gè)知識(shí)。在高考中，這一章的知識(shí)已經(jīng)被考試成三種題型：選擇題、填空題和解答題。大部分問(wèn)題是評(píng)價(jià)問(wèn)題，其中一些直接計(jì)算三角函數(shù)的值，還通過(guò)三角變換計(jì)算函數(shù)的變量范圍、周期、最小值和最大值，并討論其他性質(zhì)；除了少量的簡(jiǎn)化外，證明性問(wèn)題所考查的問(wèn)題數(shù)量一般為3-4個(gè)，分?jǐn)?shù)為12-22分，屬于簡(jiǎn)單問(wèn)題和中等問(wèn)題。重點(diǎn)考核內(nèi)容是兩角和差的正弦、余弦和正切公式、和差積、各積和差積公式?？忌Х种饕袃蓚€(gè)原因：一是公式不熟悉，二是操作不夠，所以復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1.在調(diào)和、差、雙、半角三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中，掌握下列三角常數(shù)變形的常

10、用方法和簡(jiǎn)單技巧常量替換，尤其是“1”的替換，如：等術(shù)語(yǔ)的劃分和角度的匹配下降和上升次數(shù)普遍替代另外，要注意理解兩個(gè)角的和、差、雙、半角公式中的角的本質(zhì)。公式中的角度可以看作一個(gè)整體形式，可以組合成其他變量或函數(shù)，從而增加公式的適用范圍和強(qiáng)度2.能夠?qū)⒑臀⒎址e和和微分公式應(yīng)用于三角函數(shù)和微分公式，善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，形成公式，引入輔助角和形式，其中輔助角所在的象限由符號(hào)決定，角度值由符號(hào)決定。對(duì)此，有必要加強(qiáng)培訓(xùn)，加深理解。3.總結(jié)和掌握三角函數(shù)簡(jiǎn)化和求值的常用方法和技巧(1)在簡(jiǎn)化三角函數(shù)時(shí)，在題目設(shè)計(jì)的要求下，首先要合理使用相關(guān)公式，還要盡量減少角度和三角函數(shù)的數(shù)量，盡量改變相同

11、的角度和相同的名稱。其他思想包括：異態(tài)、高階、低階、弦或正切、和與差積、積與和差積、特殊角三角函數(shù)和特殊值互變等(2)三角函數(shù)的求值有兩種主要類型。一是給定角度的評(píng)估。另一個(gè)問(wèn)題是找到給定值的角度。他們都試圖通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q來(lái)建立與被評(píng)估的三角函數(shù)、具有特定角度的三角函數(shù)以及具有已知值的三角函數(shù)的聯(lián)系。在選擇公式時(shí)，要注意方向性和靈活性，以便創(chuàng)造機(jī)會(huì)消除或減少術(shù)語(yǔ)，簡(jiǎn)化問(wèn)題4.三角函數(shù)的簡(jiǎn)單證明三角恒等式的證明可以分為兩種類型：無(wú)附加條件和附加條件。證明的一般規(guī)律是從簡(jiǎn)化開(kāi)始，適當(dāng)?shù)刈儞Q，并簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)，但這里的變換目標(biāo)取決于被證明的恒等式的特征。無(wú)附加條件的三角恒等式證明：常用綜合法和解析法，在特

12、定條件下也可使用數(shù)學(xué)歸納法附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于正確及時(shí)地使用附加條件，即仔細(xì)尋找附加條件與待證明方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。常用的方法有替換法和消去法三角恒等式證明的關(guān)鍵是使用和、差、積的相互轉(zhuǎn)換公式。掌握等價(jià)變換思想和變量代換方法的關(guān)鍵是找出的差異，觀察方程、函數(shù)和運(yùn)算兩個(gè)角之間的差異；找出的聯(lián)系，選擇合適的公式，并找出區(qū)別之間的聯(lián)系；合理的轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式至于角恒等式或條件恒等式的證明，一般來(lái)說(shuō)，有必要證明v(1)本章的重點(diǎn)是：任意角度三角函數(shù)的概念，等角度三角函數(shù)之間的關(guān)系公式，歸納公式及其應(yīng)用，正弦和余弦的和角公式，正弦曲線的繪制方法以及正弦函數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)有：

13、圓弧系統(tǒng)的思想，綜合運(yùn)用本章公式簡(jiǎn)化簡(jiǎn)單三角函數(shù)并證明恒等式，周期函數(shù)的概念，函數(shù)圖像與正弦曲線的關(guān)系。關(guān)鍵是讓學(xué)生掌握任意角度的三角函數(shù)。由于課時(shí)緊張，教學(xué)應(yīng)遵循教學(xué)大綱規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已經(jīng)刪除的知識(shí)點(diǎn)。例如，三角函數(shù)基本上只談?wù)撜?、余弦和正切；同角三角函?shù)的基本關(guān)系只談，三；除(kZ)外，在其他歸納公式中，要求學(xué)生靈活記憶和使用，只有那些用正弦和余弦表示的公式，譚燦可以用科學(xué)計(jì)算器或轉(zhuǎn)換成；在推導(dǎo)正切和角公式和繪制正切函數(shù)圖像時(shí)，會(huì)出現(xiàn)正切的歸納公式，但這只是推導(dǎo)的中間步驟，不需要學(xué)生記憶；積和差與和差積公式和半角公式只作為和(差)角公式的應(yīng)用出現(xiàn)，其結(jié)果不需要記憶，更不用

14、說(shuō)應(yīng)用了；另外，不要增加“變換成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式”的例題(2)在談到弧線系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)和角度系統(tǒng)的缺點(diǎn)時(shí)，要注意科學(xué)性。事實(shí)上，角度的概念推廣后，無(wú)論是用圓弧系統(tǒng)還是用角度系統(tǒng)，都可以在角度集和實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，說(shuō)“每個(gè)角度都有一個(gè)唯一對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)”，這個(gè)實(shí)數(shù)可以取角度系統(tǒng)下的弧度數(shù)，或度數(shù)，或分?jǐn)?shù)，或角度系統(tǒng)下的秒。然而，在每個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的，所以不要認(rèn)為只有弧系統(tǒng)可以一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)的角度。有些老師認(rèn)為角度系統(tǒng)的測(cè)量單位太小，而圓弧系統(tǒng)的測(cè)量單位太大，可以省略。雖然這種說(shuō)法有些道理，但在科學(xué)上沒(méi)有足夠的理由，因?yàn)樾∮泻锰帲P(guān)鍵是坐標(biāo)系中兩個(gè)數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致

15、。我們總是同時(shí)使用十進(jìn)制和十六進(jìn)制。例如，在角度中，61、21和12都是十進(jìn)制數(shù)，度、分和秒之間的關(guān)系是60位小數(shù)。這樣，為了找出對(duì)應(yīng)于角度的實(shí)數(shù)(我們學(xué)的實(shí)數(shù)都是十進(jìn)制數(shù))，進(jìn)行一些計(jì)算就不太方便了。(3)在定義了任意角度的三角函數(shù)之后，嚴(yán)格地說(shuō)，例如，只能說(shuō)它是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，這意味著它們不是這六種函數(shù)的函數(shù)。它們不能說(shuō)是三角函數(shù)。例如，可以說(shuō)它們是2x正弦函數(shù)(此時(shí)可以說(shuō)是三角函數(shù))，或者可以說(shuō)它們是正弦函數(shù)和比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。然而，它們不能說(shuō)是x的正弦函數(shù)。另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域，它總是附屬于三角函數(shù)或相關(guān)函數(shù)。因此，說(shuō)(或?qū)?“正弦函數(shù)y=”是不合適的(4)至于求已

16、知三角函數(shù)值的角，在解釋相關(guān)例子時(shí)，可以用輔助角(即通過(guò)設(shè)置輔助元素將未知轉(zhuǎn)化為已知，這是歸約思想的應(yīng)用)來(lái)求解，并調(diào)整求解過(guò)程如下：1.如果函數(shù)值為正，首先找到相應(yīng)的銳角；如果函數(shù)值為負(fù)，首先找出與其絕對(duì)值相對(duì)應(yīng)的銳角。2.確定哪個(gè)象限角度可以是3.如果函數(shù)值是負(fù)的，根據(jù)象限角度X可以是哪個(gè)，內(nèi)部對(duì)應(yīng)角度可以表示為第二象限角度。如果它是第三或第四象限角，它可以表示為或上述輔助角度也可視為一個(gè)參數(shù)(x是一個(gè)獨(dú)立變量)，因此所提供的方法可視為參數(shù)的應(yīng)用。新大綱分散了相關(guān)教學(xué)內(nèi)容中的參數(shù)知識(shí)，有利于提醒學(xué)生在教學(xué)中及時(shí)注意參數(shù)的使用(5)本章所使用的符號(hào)及其用法均符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，物理教科書(shū)中的板書(shū)也逐漸規(guī)范化。因此，在布置和批改作業(yè)時(shí)，本章中解決幾個(gè)與物理(力學(xué)和電學(xué))有關(guān)的習(xí)題時(shí)所使用的符號(hào)及其用法應(yīng)與教科書(shū)中的相同，以免與物理教師講課時(shí)的要求相沖突，使學(xué)生感到不知所措。(6)注意學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。除了從實(shí)際問(wèn)題中引入數(shù)學(xué)概念外，這方面的措施如下：(1)重構(gòu)數(shù)字結(jié)構(gòu)首先，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系(數(shù)形結(jié)合)定義任意角度的三角函數(shù)。在得到第一組歸納法公式，即“端邊相同的同一個(gè)三角函數(shù)的值相等”后，引入與單位圓相關(guān)的有向線段，分別得到任意角度的正弦