1、2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,1,一點(diǎn)說明：,對(duì)于無窮限的廣義積分或無界函數(shù) 的廣義積分 ( 無窮間斷點(diǎn)必須在區(qū)間的 端點(diǎn)處 ),以像定積分一樣進(jìn)行換元處理。,只要換元函數(shù)是單調(diào)的, 可,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,2,例4：,為一常義積分,0,0,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,3,例5：,無窮限,且 x = 0 為無窮間斷點(diǎn),稱為混合型廣義積分.,= 2.,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,4,例6：,且 x = 1 為無窮間斷點(diǎn),混合型廣義積分.,無窮限,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,5,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,6

2、,第六章 定積分的應(yīng)用,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,7,在引出定積分的引例中，我們介紹了計(jì)算曲邊梯形的面積，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等問題。它們所涉及的思想方法是相同的。現(xiàn)在我們把這一思路用更簡潔的形式表示出來，以期能用它來解決更多的此類問題。如求旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲線的弧長、變力所作的功及水壓力等。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,8,1 . 定積分的元素法,回顧求曲邊梯形面積的步驟：,設(shè) y = f (x) 0, 且在 a, b 上連續(xù)。,(1) 分割：得小曲邊梯形的面積,(i =1, 2, n),(2) 近似：,(3) 求和：,(4) 逼近：,2020年7月15日,高等

3、數(shù)學(xué)A （二）,9,其中, 極限固然重要, 但定積分形式的形成關(guān)鍵,在于,(2) 部分量,形成了被積表達(dá)式,(1) 所求量具有區(qū)間可加性是形成定積分的前提。,為簡便起見, 現(xiàn)省去下標(biāo)。,(1), (2).,的雛形。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,10,0,x,y,y = f (x),a,b,上的小曲邊梯形面積,x,x+dx,又稱為面,則小區(qū)間長為 dx,記作 d A,或面積微元。,dx,積元素,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,11,只要求出一小塊的面積, 其無限的累加即為所求整個(gè)曲邊梯形的面積。,把面積 A 改為一般的所求量 I, 則有,這一小段的質(zhì)量,則整段細(xì)棒的質(zhì)量為

4、這一小段質(zhì)量的無限累加。,這就是定積分的元素法。,的質(zhì)量：,如長為 l 的細(xì)棒上的線密度 連續(xù)，則細(xì)棒,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,12,2. 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,現(xiàn)在利用元素法討論：,(1) 平面圖形的面積,(2) 旋轉(zhuǎn)體的體積,(3) 平行截面面積為已知的立體體積,(4) 平面曲線的弧長,(5) 旋轉(zhuǎn)曲面的面積等幾何問題。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,13,1、直角坐標(biāo)情形,(1) 圖形由連續(xù)曲線,(a),取任一小區(qū)間,以直邊近似代替曲邊,一、平面圖形的面積,x,x+dx,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,14,x,x,.,.,2020年7月15日,

5、高等數(shù)學(xué)A （二）,15,(2) 圖形由兩條連續(xù)曲線,.,x,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,16,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,17,此時(shí)取 y 為積分變量,y .,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,18,求平面圖形面積的步驟:,1、作圖, 求出交點(diǎn);,2、選擇積分變量, 寫出面積元素;,3、作定積分, 并計(jì)算.,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,19,(1) 選 x 為積分變量,求交點(diǎn),(2) 選 y 為積分變量,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,20,解方程組：,得交點(diǎn)：(8, 4), (2,2),選 y 為積分變量,2,4,4,4,如選 x

6、 為積分變量, 請(qǐng)同學(xué)們寫出計(jì)算過程.,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,21,3,3,得兩切線的斜率為,故兩切線為,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,A =,l1,l2,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,22,例4. 求拋物線,在 (0,1) 內(nèi)的一條切線, 使,它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,設(shè)拋物線上切點(diǎn)為,則該點(diǎn)處的切線方程為,它與 x, y 軸的交點(diǎn)分別為,所指面積,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,23,且為最小點(diǎn).,故所求切線為,得 0, 1 上的唯一駐點(diǎn),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,24,2、參數(shù)方程情形,若曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程：,2020年

7、7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,25,圖形的面積。,(星形線, 又稱內(nèi)擺線),由圖形的對(duì)稱性,0,y,x,0,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,26,3、極坐標(biāo)情形,的圖形面積。,A,(即求曲邊扇形的面積),由元素法：,任取,即有面積元素：,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,27,A,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,28,分析：,由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系：,為圓心在(a, 0), 半徑為a 的圓,2a,a,同理,2a,a,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,29,解：,2a,a,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,30,a,a,一圓沿另一等圓外緣無滑動(dòng)

8、地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,心形線,(圓外旋輪線),觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,31,a,a,2a,觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),心形線,(圓外旋輪線),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,32,2a,0 2,0 r 2a,P,r,心形線,(圓外旋輪線),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,33,2a,0 2,0 r 2a,P,r,x,y,o,a,心形線,(圓外旋輪線),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,34,例2.,2,A =,r = 1+ cos,3,r = 3cos,由,得,A,2,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,35,由對(duì)稱性,

9、雙紐線化成極坐標(biāo),令 r = 0,A =,4,+,a,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,36,課 外 作 業(yè),習(xí)題 6 2(A),3(3, 5, 7), 8,習(xí)題 6 2(B),1(1, 3), 2,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,37,旋轉(zhuǎn)體：,由一平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線,旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。此直線稱為對(duì),稱軸。,如：,圓柱、,圓錐、,圓臺(tái)、,圓球、,現(xiàn)在利用元素法推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體的體積公式。,二、 立 體 體 積,1、旋轉(zhuǎn)體的體積,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,38,f(x),a,b,求旋轉(zhuǎn)體體積,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,39,f(x),a,

10、b,x,111111111,V =,x+dx,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,40,x=g(y),c,d,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,41,x=g(y),c,d,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,42,x=g(y),c,d,y,y+dy,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,43,a,b,f (x),y,x,0,求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,x,dx,在a,b上,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,44,x,a,b,y,x,0,內(nèi)表面積,dx,求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,dV =,2 x f (x)dx,f (x),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,45,b

11、,y,x,0,a,dV =,2 x f (x)dx,f (x),求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,46,b,y,x,0,a,f (x),求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,dV =,2 x f (x)dx,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,47,0,y,0,x,b,x,a,dx,f (x),求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,dV =,2 x f (x)dx,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,48,f (x),Y,x,0,b,dx,0,y,z,a,.,求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,dV =,2 x f (x)dx,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,49,例1：,繞 x 軸與

12、y 軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。,解：,2,(1) 繞 x 軸：,(2) 繞 y 軸：,為中空立體，,法1：, 曲邊三角形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,50,2,dx,法2：,柱殼法,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,51,例2. 設(shè),在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,52,例3：,設(shè)平面圖形 D 由,確定, 求 D 繞直線 x = 2 旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。,2,解：,1,93年考研題,x,y,D,.y,2020年7月15日,高等數(shù)

13、學(xué)A （二）,53,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,54,例4：,解：,0，,設(shè) b 0,b,V(b),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,55,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面積為 A(x) 的立體,a,V,2、平行截面面積為已知的立體的體積,b,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,56,同理: 若立體由曲面及垂直于y 軸的兩個(gè)平面 y = c, y = d 所圍，且垂直于 y 軸的任一截面 面積為一已知連續(xù)函數(shù) A(y)，,則立體的體積：,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,57,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是銳角)角的平面

14、所截，得一圓柱楔。求其體積。,o,x,y,例1,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,58,o,y,R,x,R,R,例1,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是銳角)角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,59,o,y,R,x,x,y,R,R,y tan,(x, y),截面積,A(x),例1,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是銳角)角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,60,o,y,R,x,R,R,方法2,例1,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是銳角)角的平面

15、所截，得一圓柱楔。求其體積。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,61,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,截面積,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,S(y),例1,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是銳角)角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,62,課 外 作 業(yè),習(xí)題 6 2(A),13(2, 5), 14, 17,習(xí)題 6 2(B),4, 7,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,63,當(dāng)折線段的,最大邊長 0 時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的,即,并稱此曲線弧為可求長的。,定理: 任

16、意光滑曲線弧都是可求長的。,三、平面曲線的弧長,的弧長,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,64,1、弧微分（既弧長元素）,設(shè) y = f (x) 在 a, b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,在曲線上取基點(diǎn) M0(x0, y0),設(shè) M(x, y) 為曲線上任一點(diǎn)，,M0 .,x0,M .,x,規(guī)定：,依 x 增大的方向作為曲線的正向。,a,b,規(guī)定：有向弧段,的值 s 為：,s 的絕對(duì)值等于這弧段的長度，當(dāng)有向弧段的方向,與曲線的正向一致時(shí)，s 0; 否則 s 0。,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,65,s 隨 x 的增大而增大, s = s(x) 是 x 的單調(diào),增加函數(shù)。,弧微分（既弧

17、長元素）,顯然 s 是 x 的函數(shù)，即 s = s(x)。,任取,在第一學(xué)期中已有相對(duì)應(yīng)的一小段弧長的計(jì)算,公式為：,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,66,當(dāng)曲線是用參數(shù)方程,當(dāng)曲線方程為 y = f (x)，,當(dāng)曲線用極坐標(biāo)方程,y 有連續(xù)導(dǎo)數(shù),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,67,2、曲線的弧長,設(shè)光滑曲線 y = f (x), 計(jì)算曲線上相應(yīng)于,x 從 a 到 b 的一段弧長。,y = f (x) 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,弧長元素,a. 直角坐標(biāo)情形,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,68,b . 參數(shù)方程情形,c . 極坐標(biāo)情形,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A

18、 （二）,69,例1：,( 半立方拋物線 ),解：,A,B,1,5,0,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,70,例2：,試在星形線上求一點(diǎn) M，使,解：,A,B,. M,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,71,因?yàn)?2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,72,例3：,解：,曲線方程為積分上限函數(shù) y = f (x),2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,73,四、旋轉(zhuǎn)曲面的面積,設(shè)平面光滑曲線,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.,取面積元素:,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,74,面積元素,的線性主部。,若光滑曲線由參數(shù)方程

19、,給出，,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得,不是薄片面積S 的,注意:,旋轉(zhuǎn)面的面積為,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,75,例1. 計(jì)算圓,段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .,解:,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí), 得,對(duì)曲線弧,球的表面積公式,h,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,76,例2. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .,解:,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),利用對(duì)稱性,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,77,課 外 作 業(yè),習(xí)題 6 2(B),9, 11,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,78,3. 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用,2020年7月15日

20、,高等數(shù)學(xué)A （二）,79,一、變力沿直線所作的功,已知物體沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，,若有一不變的力 F,作用在這物體上，且力的方向與運(yùn)動(dòng)方向一,致，則當(dāng)物體移動(dòng)了距離 s 時(shí)，力 F 對(duì)這物,體所作的功是：,若力為變力F(x), 但方向不變,則由定積分,現(xiàn)用元素法來解釋這一積分方法。,W = F s,定義引例知，,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,80,求變力 F(x) 將物體從 x = a 移動(dòng)到 x = b 所作的功,( F(x)為連續(xù)函數(shù) )。,x,.,.,分割 a, b,dx 很小, 則在這小區(qū)間上作用的力 F(x) 可近似看,成常力，,以左端點(diǎn) x 處的力 F(x) 近似代替，又知,

21、則變力 F(x) 將物體從 x 移動(dòng)到, 功元素,x+dx,.,移動(dòng)距離為 dx，,a,b,x+dx 所作的功為：,x,.,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,81,已知把彈簧拉長所需的力與彈簧的伸長成正比，又 1 牛頓的力能使彈簧伸長 1 cm，求把彈簧伸長 10 cm 所作的功。,例1：,解：,x,0,取彈簧平衡位置為原點(diǎn)，,伸長方向?yàn)?x 軸,由題意，,(牛頓米),如圖建立坐標(biāo)系。, 功元素,2020年7月15日,高等數(shù)學(xué)A （二）,82,一等腰三角形水槽（如圖）內(nèi)裝滿了水，若要將水完全吸盡，需作多少功？,例2：,解：,如圖建立坐標(biāo)系,x,則可選 x 為積分變量。,3,x,把這薄層水吸出水槽需作多少功？,功 = 液