1、第九章 溫度場與熱變形問題 9-1 溫度場與熱變形問題 9-2 溫度場問題的基本方程 9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法 9-4 熱變形的計算,2.1 直梁 2.1.1梁有限元模型 2.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.1.3單元剛度矩陣 2.1.4單元剛度矩陣的疊加 2.1.5邊界條件 2.1.6工程實例 2.2 平面剛架 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換 2.2.4總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移法基本方程 2.3工程實例 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換

2、2.2.4總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移,9-1 溫度場與熱變形問題,工程中的許多結構在高溫條件下工作或由于工作過程中運動副的摩擦發(fā)熱，都會導致結構產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫度應力，因此，減少或控制熱變形/溫度應力是設計中不可忽視的問題。 工程設計中，常期望準確地計算出結構各個部位的溫升或熱變形量，分析結構的熱平衡狀況，從而達到改進結構設計或環(huán)境設計，減少熱變形對工作精度的影響。 本章介紹： 1、溫度場問題的基本方程 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法 3、熱變形的計算,9-2 溫度場問題的基本方程,一般三維問題，物體各點的溫度是坐標和時間變化的，即 熱平衡原理：任一dt時間內(nèi)，物體內(nèi)任一微元體

3、所積蓄的熱量（即溫度升高所需的熱量）等于傳入該微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的熱量之和。即,微元溫度 傳入微元 微元內(nèi) 升高 = 的 + 產(chǎn)生 所需熱量 凈熱量 的熱量,設微元在dt內(nèi)，溫度升高為： 相應所積蓄的熱量為： 同一時間內(nèi)，微元體沿x方向傳入和傳出的熱量之差，即凈熱量為： 類似，y，z方向的凈熱量： 即傳入微元體的凈熱量為： 由熱傳導定律：熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反，即： 代入上式得傳入微元體凈熱量為：,設微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為Q(x,y,z,t)，則該熱源在dt內(nèi)所共給的熱量為： 據(jù)熱平衡得一般熱傳導微分方程：,微元體溫度升高所需的熱量,三個方向傳入微元體的凈熱量

4、,微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量,物體密度 c 比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高一度所需的熱量 熱傳導系數(shù),整理得： 滿足上述熱傳導方程的解有無限多個，為了確定真實的溫度場，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，即初始條件，稱為第一類邊界條件 同時，還需知道物體表面與周圍介質(zhì)間進行熱交換的規(guī)律，即邊界條件，稱為第二類邊界條件。,1、三維瞬態(tài)熱傳導方程及邊界條件 2、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程及邊界條件,若物體內(nèi)無熱源，則方程退化為二維無熱源穩(wěn)態(tài)熱傳導方程,9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法,1、泛函與變分 函數(shù) y=f(x) 求y 的極值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J y(x) 函數(shù)y(x)為自變量，J為函數(shù)y

5、的函數(shù)，稱J為y的泛函，求泛函的極值，即求變分， 由 可得。 例：平面上AB兩點，連接AB的曲線很多，要求一條曲線使重物靠自重由A沿此曲線滑到B所需的時間最短，即求最速下降曲線。 顯然，AB間直線路徑最短，但重物運動的速度增長并不是最大，即下滑的時間并非最短。,設AB間有n條曲線 ，每條曲線對應一個時間 ，即T是y(x)函數(shù)，即泛函，求變分的極值則可得最速下降曲線 有關泛函的具體構造可參考相關教材,2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函 求滿足平面溫度場方程及邊界條件的溫度場T(x,y),設k為常數(shù) 據(jù)變分原理，此問題等價于求泛函JT(x,y)的極值函數(shù)，參考相關教材，可得上述熱傳導作為歐拉方程的相應泛函：

6、,求解域內(nèi)部溫度場相應的泛函,求解域邊界部分溫度場相應的泛函,3、溫度場單元分析 圖示求解域離散為若干三角形單元，含有邊界的單元，稱為邊界單元，任取一個單元i,j,k,如圖。 A、溫度插值函數(shù) 在邊界線(如ij)上的任一點的溫度T，可用兩個端點的節(jié)點溫度線性插值表示：,B、單元溫度剛度矩陣 從溫度場插值函數(shù)可知，溫度場已離散到全部節(jié)點上，即求溫度場實際是求節(jié)點的溫度值。因而，泛函式實際已成為描述未知節(jié)點溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場T(x,y)的函數(shù)，即問題轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值 設求解域有n個節(jié)點溫度未知量，則泛函JT(x,y)轉(zhuǎn)化為 的形式，極值條件為： 設單元只有三節(jié)點溫度，jk為邊界，將

7、溫度插值函數(shù)代入前述的泛函，并求導得極值條件：,上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣： 對于內(nèi)部單元的溫度剛陣，i,j,k三點輪換，記為矩陣形式： 第二部分： 記為矩陣形式： 兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：,3、整體溫度場方程 為n個線性方程組，對于每個方程而言，是對繞節(jié)點m的所有單元求和，如圖，節(jié)點5，則繞節(jié)點5的單元為1，2，3，而其它單元不含節(jié)點5，即它們的泛函對 的偏導為0，可不考慮，即 如單元1，3為邊界單元，則按邊界單元剛陣計算；如單元2為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元剛陣計算。 如此整理可得整體代數(shù)方程組： 對于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場或三維溫度場計算其方法相似。,9-4 熱變形的計算,當彈性體的溫度改變時，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)生變形，這種變形常稱為熱變形?？紤]到彈性體實際工作中都受到外界和體內(nèi)各個部分間的約束，故熱變形往往不能自由發(fā)生，從而將導致體內(nèi)產(chǎn)生應力，這種應力常稱為熱應力。與之對應的溫度的改變常稱為熱載荷。 設二維平面問題的彈性體兩個瞬時的溫度變化為 ，材料的線膨脹系數(shù)為 ，對各向同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應變，不伴隨產(chǎn)生剪應變。即 若將物體由熱變形產(chǎn)生的應變可視為物體的初應變，則計算熱應力只需算出熱變形引起的初應變，求得相應初應變引起的等效節(jié)點載荷（溫度等