1、高二數(shù)學(xué)數(shù)列的概念及等差數(shù)列 理 北師大版必修5【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列的概念及等差數(shù)列二、教學(xué)目標理解數(shù)列的函數(shù)特性，會判別數(shù)列的單調(diào)性；掌握通項公式的定義，能用不完全歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式。理解并掌握等差數(shù)列的定義，會判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，熟練的掌握等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。體會用函數(shù)的思想，方程的數(shù)學(xué)思想，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等解決等差數(shù)列問題。三、知識要點分析：（一）數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列的通項是關(guān)于項數(shù)n的函數(shù)，即（數(shù)列具有函數(shù)的特性如單調(diào)性，周期性等）： （二）等差數(shù)列有關(guān)知識1. 等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式（定義）（通項

2、），（前n項和公式）等差數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系： 2. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）若數(shù)列成等差數(shù)列，則數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列成等差數(shù)列，且，則 （3）若數(shù)列成等差數(shù)列，是其前n項和，則成等差數(shù)列（4）若數(shù)列成等差數(shù)列，分別是其前n項的和，則有【典型例題】考點一：用不完全歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式例1：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出下列數(shù)列的一個通項公式（1）（2）（3）1，0，1，0，1，0，1，【思路分析】此類問題常用觀察法，觀察與n的關(guān)系，找出規(guī)律，用不完全歸納法寫出一個通項公式.解：（1），（2），（3） 考點二：判斷數(shù)列的單調(diào)性，（函數(shù)特性的考查）例2：已知數(shù)列的通項，試問：該數(shù)列有無最大項

3、，若有，求出項數(shù)，若沒有，請說明理由?！舅悸贩治觥看祟}考查數(shù)列的單調(diào)性，要從比較與的大小關(guān)系入手分析增減性。解： 當(dāng)n9時： 當(dāng)n=9時： 當(dāng)n9時： 故可以推出數(shù)列中的最大項是第9項、第10項，即考點三：等差數(shù)列的判定例3：已知數(shù)列的前n項和是，且滿足： （1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，（2）求數(shù)列的通項公式【思路分析】（1）要判斷數(shù)列是等差數(shù)列，常用的有三種方法：（i）定義法，（ii）中項法：若數(shù)列滿足：，則數(shù)列是等差數(shù)列。（iii）通項法：若數(shù)列滿足：是常數(shù)），則數(shù)列是等差數(shù)列。對于本題的特點采用定義法證明。（2）由（1）求出，再利用已知：求。解：（1）把代入可證：。（2）由（1）得：，（n2

4、）故當(dāng)n2時， =，又n=1時，故考點四：等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用例4：已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差d， （1）：若：，試問13是否是數(shù)列中的項，若是，是第幾項，若不是，請說明理由。（2）若=1，求公差d，使最小【思路分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，然后求出數(shù)列的通項公式，再判斷。（2）利用二次函數(shù)求最值，把表示成關(guān)于d的二次函數(shù)。解：（1）由已知求得：，由此可得d=，故=+（n9）=由=13，得n=18，即13是數(shù)列中的第18項。（2）由已知： =1， =1+d， =1+2d， 故當(dāng)時，最小。例5：已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差d0， 若求的值，（2）若，求的值（3）利用函數(shù)觀點證明你所得

5、出的上述兩個有趣的結(jié)論【思路分析】（1）（2）由已知條件建立關(guān)于和d的方程組，求出和d，進而利用數(shù)列的通項公式及前n項和的公式，可以求出結(jié)果。（3）對于結(jié)論（1）：當(dāng)d0時，等差數(shù)列的通項是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖像是在斜率為d的直線上的孤立的點，然后選擇三個點列，利用A，B，C三點共線可以證明。對于結(jié)論（2）：由等差數(shù)列前n項和公式：是等差數(shù)列，仿照結(jié)論（2）證明。解：（1）由已知：得：，由等差數(shù)列的通項公式得： =0由已知： （3）對于結(jié)論（1）：選取點列，由A，B，C三點共線得：對于結(jié)論（2）：由數(shù)列是等差數(shù)列，可在其圖像上選取三個點列，由A，B，C三點共線得：（*），把代入（*）得：。例

6、6：已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差d0，是其n項和（1）若=1，證明點在同一條直線上，并寫出直線方程（2）若，求證點都在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)?！舅悸贩治觥浚?）由數(shù)列是等差數(shù)列知：數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)特性可以證明。（2）只要證明點列到圓心的距離小于圓的半徑。解：（1）故點都在直線上即點都在過點（1，1），且斜率為的直線上，所求的直線方程是：。（2）當(dāng)時， ，故得證。 考點五：等差數(shù)列的奇、偶項問題例7：一個等差數(shù)列的前12項的和，在前12項中，偶數(shù)項與奇數(shù)項之和的比是32：27。求此數(shù)列的通項.【思路分析】等差數(shù)列中的奇偶項的問題是等差數(shù)列中常見的類型。在等差數(shù)列中若項數(shù)是（2n

7、1），設(shè)所有的奇數(shù)項的和是，所有偶數(shù)項的和是，則有： （其中是中間項）。若項數(shù)是偶數(shù)（2n），則有.故對本題可以根據(jù)已知求出，然后由求出公差d，再求通項，或建立關(guān)于首項和公差的方程組，求出首項和公差。解法一：解法二：考點六：等差數(shù)列前n項和的最值問題例8：已知數(shù)列的前n項和，且（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列。（2）若，求數(shù)列的前n項和的最小值【思路分析】（1）利用代入已知條件中可以證明。（2）利用二次函數(shù)求最小值或利用等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)時，數(shù)列的前n項和存在最大值，即滿足由此確定n，當(dāng)時，數(shù)列的前n項和存在最小值，由此確定n.解：（1）即：，故。（2）方法一：利用二次函數(shù)求：設(shè)數(shù)列的前n項和是，由（

8、1）得： ，故當(dāng)n=15時，數(shù)列取得最小值225方法二：最小值，即數(shù)列的前15項和最小，最小值是225.四、【本講涉及的數(shù)學(xué)思想方法】：本講主要講述了函數(shù)特性、等差數(shù)列概念與性質(zhì)的應(yīng)用，在用不完全歸納法確定數(shù)列的通項公式時運用了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，確定等差數(shù)列有關(guān)問題時運用了方程的數(shù)學(xué)思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想、函數(shù)的思想，特別是利用函數(shù)的思想去解決數(shù)列問題值得關(guān)注。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案（等比數(shù)列及數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用）一、預(yù)習(xí)前知1、在同一坐標系中作出函數(shù)的圖像，比較這兩個函數(shù)的圖像的區(qū)別。2、在同一坐標系中作出函數(shù)的圖像，比較這兩個函數(shù)圖像的變化趨勢。3、某公司今年的產(chǎn)值是a元，計劃今后的5

9、年中每年比上一年產(chǎn)值增長5%，你能寫出從今年起今后6年的產(chǎn)值嗎？（用a表示）.把這6年的產(chǎn)值由小到大組成一個數(shù)列，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果不是，它有何特點？4、在日常生活中，同學(xué)們是怎樣處理零花錢的？你會把你父母給你的零花錢存入銀行嗎？你了解銀行存款有幾種方式嗎？二、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)探究與反思：探究的任務(wù)：等比數(shù)列及數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用。1、等比數(shù)列的定義： 叫等比數(shù)列。其中 叫公比，公比滿足的條件是 。【反思】：（1）你能用數(shù)學(xué)語言寫出等比數(shù)列的定義嗎？（2）等比數(shù)列中的項能否有“零”存在？為什么？（3）你能寫出一個數(shù)列，使其既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列嗎？這樣的數(shù)列有多少個？2、等比數(shù)列的通

10、項公式是 。【反思】（1）你知道等比數(shù)列的通項公式是怎樣推導(dǎo)出來的嗎？和推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式的方法是一樣的嗎？（2）在等比數(shù)列的通項公式中，有哪幾個量？（3）等比數(shù)列具有的函數(shù)特性，如單調(diào)性，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來分析等比數(shù)列的單調(diào)性與首項、公比有何關(guān)系？（參考教材的思考與交流）（4）若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？你能否利用等比數(shù)列的定義及通項公式來說明？（5）在等比數(shù)列中，若p+q=s+t，則成立嗎？請用等比數(shù)列的通項公式證明。3、等比中項的定義： ?！痉此肌浚?）在等比數(shù)列中，除首末兩項外，每一項都是其前后兩項的等比中項，你能用數(shù)學(xué)式子表示出來嗎？這一結(jié)論能否用來判斷一個

11、數(shù)列是等比數(shù)列？（2）若三個數(shù)a，b，c滿足：。則a，b，c一定成等比數(shù)列嗎？4、等比數(shù)列前n項和公式是： 【反思】（1）等比數(shù)列前n項和公式在推證過程中，利用什么方法？與等差數(shù)列前n項和公式的推證一樣嗎？（這兩種方法都要熟練的掌握）（2）在利用等比數(shù)列前n項和公式的時候，要特別注意的是什么？（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，則成等比數(shù)列嗎？你能利用等比數(shù)列前n項和公式證明嗎？（4）若數(shù)列的前n項和，此數(shù)列是等比數(shù)列嗎？（利用等比數(shù)列前n項和公式可以說明）（5）若數(shù)列的通項公式=，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，你能用等比數(shù)列前n項和推導(dǎo)的方法求數(shù)列的前n項和嗎？5、數(shù)列在日常經(jīng)濟生活

12、中存款的類型有 和 兩種?！痉此肌浚?）兩種存款類型哪一種是等比數(shù)列類型的？哪一種是等差數(shù)列類型的？（2）采用單利計算：若P表示本金，n代表存期，r表示利率，則本利和是什么？若采用復(fù)利計算，本利和公式是什么？【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一、選擇題：*1. 在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前8項和是（ ）A. 128 B. 80 C. 64 D. 56*2. 首項為60的等差數(shù)列，從第10項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（ ）A.B.C.D. *3. 已知表示數(shù)列的前k項和，且，則此數(shù)列是 （ ）A. 遞增數(shù)列 B. 遞減數(shù)列 C. 常數(shù)列 D. 不確定*4. 已知數(shù)列滿足：（ ）A. 0B.

13、C.D. 5. 等差數(shù)列，其前n項和分別是，且滿足，則（ ）A.B. 1C.D. 6. 等差數(shù)列前m項的和是30，前2m項的和是100，則其前3m項的和是（ ）A. 130 B. 170C. 210D. 2607. 在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有的奇數(shù)項之和為165，所有的偶數(shù)項之和是150，則n=（ ）A.9B. 10C. 11D. 12二、填空題8. 在數(shù)列中，則ab=_.9. 已知表示等差數(shù)列的前n項和，則 *10. 等差數(shù)列的首項，它的前11項的平均值是5，若從中抽取一項，余下的平均值是4，則抽取的是第 項。*11. 大樓共n層，現(xiàn)指定每層一個人，共n人集中到設(shè)在第k層的臨時會議室

14、開會，要使n位參會人員所走的路程總和最短（假定相鄰兩層樓梯長相等），則k=_三、計算題*12. 已知是等差數(shù)列，首項，公差d=4（1）若，求k的值。（2）設(shè)其前n項和是，試問數(shù)列中是否存在相等的兩項，若存在，求出這樣的兩項，若不存在，說明理由。*13. 設(shè)數(shù)列的前n項和。（1）求數(shù)列的通項公式。（2）判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列，并加以證明。*14. 函數(shù)f（x）對任意的xR，都有（1）求及的值。（）（2）若數(shù)列滿足：，則數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明?！驹囶}答案】一、選擇題：1. C 2. A 3. C 4. B 5. C 6. C 7. B二、填空題：8. 4 9. 72 10. 第11項 1

15、1. 當(dāng)n為奇數(shù)時， 當(dāng)n為偶數(shù)時，或三、解答題12. 分析：（1）欲求和必先去掉絕對值，故判斷的符號。（2）假設(shè)存在兩項相等，通過討論方程的解來判斷其存在性。解：（1）由已知，故數(shù)列的前6項大于零，從第7項開始小于零。（i）當(dāng)時， ， =60解得k=4或k=7.5（舍去）（ii）當(dāng)k7時， =12（2326）k（232k）= 由=60，由方程的知：方程無解綜上可知：k=4（2）假設(shè)存在兩項使，由得： 整理得：（pq）（2p+2q23）=0（*）因pq，2p+2q是偶數(shù)，所以：2p+2q230，即（*）不成立。故不存在相等的兩項。13. 分析：（1）由確定數(shù)列的通項公式。（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷。解：（1）當(dāng)n=1時，。當(dāng)n時