1、第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線 第二節(jié)第二節(jié) 圓錐曲線圓錐曲線 第一部分第一部分 五年高考薈萃五年高考薈萃 20202020 年高考題年高考題 20202020 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編圓錐曲線圓錐曲線 一、選擇題一、選擇題 1.（2020 全國(guó)卷理）設(shè)雙曲線 22 22 1 xy ab （a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相 切，則該雙曲線的離心率等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】設(shè)切點(diǎn) 00 (,)P xy，則切線的斜率為 0 0 |2 x x yx . 由題意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得: 22 0 1,

2、2,1 ( )5 bb xe aa . 【答案】C 2.（2020 全國(guó)卷理）已知橢圓 2 2 :1 2 x Cy的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Al，線 段AF交C于點(diǎn)B，若3FAFB ,則|AF =( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】過(guò)點(diǎn) B 作BMl于 M,并設(shè)右準(zhǔn)線l與 X 軸的交點(diǎn)為 N，易知 FN=1.由題意 3FAFB ,故 2 | 3 BM .又由橢圓的第二定義,得 2 22 | 233 BF |2AF.故選 A 【答案】A 3.（2020 浙江理）過(guò)雙曲線 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該 直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)

3、分別為,B C若 1 2 ABBC ，則雙曲線的離心率是 ( ) A2 B3 C5 D10 【解析】對(duì)于,0A a，則直線方程為0 xya，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab 則有 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ， 因 22 2,4,5ABBCabe 【答案】C 4.（2020 浙江文）已知橢圓 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在 橢圓上，且BFx軸， 直線AB交y軸于點(diǎn)P若2APPB ，則橢圓的離心率是（ ） A 3 2 B 2 2 C 1 3 D

4、1 2 【解析】對(duì)于橢圓，因?yàn)?APPB ，則 1 2,2 , 2 OAOFace 【答案】D 5.（2020 北京理）點(diǎn)P在直線:1l yx上，若存在過(guò)P的直線交拋物線 2 yx于 ,A B兩點(diǎn)，且|PAAB，則稱點(diǎn)P為“點(diǎn)” ，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ） A直線l上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C直線l上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 【解析解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問(wèn)題和 解決問(wèn)題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖， 設(shè),1A m nP x x， 則2,2

5、2Bmxnx， 2 ,A Byx在上， 2 2 21(2) nm nxmx 消去n,整理得關(guān)于x的方程 22 (41)210 xmxm （1） 222 (41)4(21)8850mmmm 恒成立， 方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，應(yīng)選 A. 【答案答案】A 6.(2020 山東卷理)設(shè)雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線與拋物線 y=x 2 +1 只有一個(gè)公共點(diǎn)， 則雙曲線的離心率為( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 【解析】雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線為x a b y ,由方程組 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2 10 b

6、xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故選 D. 【答案】D 【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位 置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本 技能. 7.(2020 山東卷文)設(shè)斜率為 2 的直線l過(guò)拋物線 2 (0)yaxa的焦點(diǎn)F,且和y軸交于 點(diǎn)A,若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為 4,則拋物線方程為( ). A. 2 4yx B. 2 8yx C. 2 4yx D. 2 8yx 【解析】拋物線 2 (0)yaxa的焦

7、點(diǎn)F坐標(biāo)為(,0) 4 a ,則直線l的方程為2() 4 a yx,它 與y軸的交點(diǎn)為 A(0,) 2 a ,所以O(shè)AF的面積為 1 | | 4 2 42 aa ,解得8a .所以拋物線 方程為 2 8yx ,故選 B. 【答案】B 【命題立意】:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的點(diǎn)斜式方程和三角形面 積的計(jì)算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)a的符號(hào)不定而 引發(fā)的拋物線開(kāi)口方向的不定以及焦點(diǎn)位置的相應(yīng)變化有兩種情況,這里加絕對(duì)值號(hào)可以做 到合二為一. 8.（2020 全國(guó)卷文）雙曲線1 36 22 yx 的漸近線與圓)0()3( 222 rryx相切，

8、則r= ( ) A.3 B.2 C.3 D.6 【解析】本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識(shí)，由圓心到漸近線的距離等于 r，可求r= 3 . 【答案】A】A 9.（2020 全國(guó)卷文）已知直線)0)(2(kxky與拋物線 C:xy8 2 相交A、B兩點(diǎn)， F為C的焦點(diǎn)。若FBFA2,則k=() . 3 1 . 3 2 . 3 2 . 3 22 【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過(guò)定點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)（2，0） ，由 2FAFB及第二定義知)2(22 BA xx聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求 k= 2 2 3 . 【答案】D】D 1.（2020 安徽卷理）下列曲線中離心率為 6 2 的是 .

9、 22 1 24 xy . 22 1 42 xy . 22 1 46 xy . 22 1 410 xy 【解析】由 6 2 e 得 222 222 331 ,1, 222 cbb aaa ，選 B. 【答案】 11.（2020 福建卷文）若雙曲線 22 22 1 3 xy ao a 的離心率為 2，則a等于( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 1 【解析】由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虛軸b= 3，而離心率e= a ，解得a=1 或 a=3，參照選項(xiàng)知而應(yīng)選 D. 【答案】D 12.（2020 安徽卷文）下列曲線中離心率為的 是(. ( ) A. B. C. D

10、. 【解析】依據(jù)雙曲線 22 22 1 xy ab 的離心率 c e a 可判斷得. 6 2 c e a .選 B。 【答案】B 13.（2020 江西卷文）設(shè) 1 F和 2 F為雙曲線 22 22 1 xy ab (0,0ab)的兩個(gè)焦點(diǎn), 若 12 FF，(0,2 )Pb是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 A 3 2 B2 C 5 2 D3 【解析】由 3 tan 623 c b 有 2222 344()cbca,則2 c e a ,故選 B. 【答案】B 14.（2020 江西卷理）過(guò)橢圓 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦點(diǎn) 1 F作x軸的垂線交橢圓于 點(diǎn)P， 2 F為

11、右焦點(diǎn)，若 12 60FPF ，則橢圓的離心率為 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【解析】因?yàn)?2 (,) b Pc a ，再由 12 60FPF 有 2 3 2 , b a a 從而可得 3 3 c e a ，故選 B 【答案】B 15.（2020 天津卷文）設(shè)雙曲線)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虛軸長(zhǎng)為 2，焦距為32，則 雙曲線的漸近線方程為（ ） A.xy2 B .xy2 C .xy 2 2 D.xy 2 1 【解析】由已知得到2, 3, 1 22 bcacb，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，故 漸近線方程為xx a b y 2 2 【答案】C

12、 【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運(yùn)用。考察了同學(xué)們的運(yùn)算能力和推 理能力。 16.(2020 湖北卷理)已知雙曲線 22 1 22 xy 的準(zhǔn)線過(guò)橢圓 22 2 1 4 xy b 的焦點(diǎn)，則直線 2ykx與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是( ) A. 1 1 , 2 2 K B. 11 , 22 K C. 22 , 22 K D. 22 , 22 K 【解析】易得準(zhǔn)線方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 聯(lián)立2 ykx可得 22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A. 【答案】A 17.（2

13、020 四川卷文、理）已知雙曲線)0( 1 2 2 22 b b yx 的左、右焦點(diǎn)分別是 1 F、 2 F， 其一條漸近線方程為xy ，點(diǎn)), 3( 0 yP在雙曲線上.則 1 PF 2 PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4 【解析】由漸近線方程為xy 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是2 22 yx，于 是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.不妨去) 1 , 3(P，則 ) 1, 32( 1 PF，) 1, 32( 2 PF. 1 PF 2 PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32( 【答案】C】C 18.（2020

14、 全國(guó)卷理）已知直線20yk xk與拋物線 2 :8C yx相交于 AB、兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若| 2|FAFB，則k ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 2 3 【解析】設(shè)拋物線 2 :8C yx的準(zhǔn)線為:2l x 直線 20yk xk恒過(guò)定點(diǎn)P2,0 .如圖過(guò)AB、 分 別作AMl于M,BNl于N, 由| 2|FAFB, 則| 2|AMBN,點(diǎn) B 為 AP 的中點(diǎn).連結(jié)OB,則 1 | 2 OBAF, | |OBBF 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1, 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為 2 202 2 (1,2 2) 1 ( 2)3 k , 故選 D. 【答案】D 19.（2020 全國(guó)卷理）已知

15、雙曲線 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜 率為3的直線交C于AB、兩點(diǎn)，若4AFFB,則C的離心率為 ( ) A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 【解析】設(shè)雙曲線 22 22 1 xy C ab ：的右準(zhǔn)線為l,過(guò)AB、分 別作AMl于M, BNl于N, BDAMD于,由直線AB的斜率為3,知直線AB的傾斜角 1 6060 ,| 2 BADADAB, 由雙曲線的第二定義有 1 | |(|)AMBNADAFFB e 11 |(|) 22 ABAFFB . 又 156 43| 25 AFFBFBFBe e . 【答案】A 20.（2020 湖南卷

16、文）拋物線 2 8yx 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0） 【解析】由 2 8yx ,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)( 2,0) 2 p ，故選 B. 【答案】B 21.（2020 寧夏海南卷理）雙曲線 2 4 x - 2 12 y =1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為( ) A.2 3 B.2 C.3 D.1 【解析】雙曲線 2 4 x - 2 12 y =1 的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線3yx的距離為 340 2 3 2 d , 【答案】A 22.（2020 陜西卷文） “0mn”是“方程 22 1mxny”表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓” 的 A.充分而不

17、必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】將方程 22 1mxny轉(zhuǎn)化為 22 1 11 xy mn , 根據(jù)橢圓的定義，要使焦點(diǎn)在 y 軸上 必須滿足 11 0,0, mn 所以 11 nm . 【答案】C 23.（2020 全國(guó)卷文）設(shè)雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 ，的漸近線與拋物線 2 1yx 相切，則該雙曲線的離心率等于（ ） A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】由題雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 ，的一條漸近線方程為 a bx y ，代入拋物 線方程整理得0 2 abxax，因漸近線與拋物線相切，所以04 2

18、2 ab，即 55 22 eac，故選擇 C. 【答案】C】C 24.（2020 湖北卷文）已知雙曲線1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓（b0）的焦點(diǎn)， 則b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 【解析】可得雙曲線的準(zhǔn)線為 2 1 a x c ,又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為 2 (4,0)b 所以有 2 41b .即b2=3 故b=3.故 C. 【答案】C 27.（2020 天津卷理）設(shè)拋物線 2 y=2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線與拋物線相 交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于 C，BF=2，則BCF與ACF的面積之比 BCF ACF S S =( ) A. 4 5

19、 B. 2 3 C. 4 7 D. 1 2 6 4 2 -2 -4 -6 -10-5510 x=-0.5 F: (0.51, 0.00) h x = -2x+3 g y = -1 2 f y = y2 2 A B F C 【解析】由題知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S ， 又3 2 3 2 2 1 | BBB yxxBF 由A、B、M三點(diǎn)共線有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x ，故2 A x， 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S ，

20、故選擇 A。 【答案】A】A 28.（2020 四川卷理）已知直線 1:4 360lxy和直線 2: 1lx ，拋物線 2 4yx上一 動(dòng)點(diǎn)P到直線 1 l和直線 2 l的距離之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C. 11 5 D. 37 16 【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線的定義、點(diǎn)到直線的距離，綜合題。 【解析 1】直線 2: 1lx 為拋物線 2 4yx的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到 2 l的距離等 于P到拋物線的焦點(diǎn))0 , 1(F的距離，故本題化為在拋物線 2 4yx上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到 點(diǎn))0 , 1(F和直線 2 l的距離之和最小，最小值為)0 , 1(F到直線 1:4 360l

21、xy的距離， 即2 5 |604| min d，故選擇 A。 【解析 2】如圖，由題意可知 22 |3 1 06| 2 34 d 【答案】A】A 二、填空題 29.（2020 寧夏海南卷理）設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與 拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2，2） ，則直線l的方程為_(kāi). 【解析】拋物線的方程為 2 4yx， 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 , 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 則有， 兩式相減得， 直線l 的方程為y-2=x-2, 即y=x 【答案】y=x 3

22、0.（2020 重慶卷文、理）已知橢圓 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦點(diǎn)分別為 12 (,0),( ,0)FcF c，若橢圓上存在一點(diǎn)P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，則該橢圓的離心率的 取值范圍為 【解析 1】因?yàn)樵?12 PFF中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 則由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF 設(shè)點(diǎn) 00 (,)xy由焦點(diǎn)半徑公式，得 1020 ,PFaex PFaex則 00 ()()a aexc aex 記得 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由

23、橢圓的幾何性質(zhì)知 0 (1) (1) a e xaa e e 則，整理得 2 210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故橢圓的離心率 ( 21,1)e 【解析 2】 由解析 1 知 12 c PFPF a 由橢圓的定義知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 則即，由橢圓的幾何性質(zhì)知 2 22 2 2 ,20, a PFacaccca ca 則既所以 2 210,ee 以下同解析 1. 【答案】 21,1 31.（2020 北京文、理）橢圓 22 1 92 xy 的焦點(diǎn)為 12 ,F F，點(diǎn)P在橢圓上，若 1 | 4PF ， 則 2 |PF ； 12 F

24、PF的大小為 . 【解析解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 22 9,3ab， 22 927cab， 12 2 7FF ， 又 112 4,26PFPFPFa， 2 2PF ， 又由余弦定理，得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF ， 12 120FPF ，故應(yīng)填2, 120. 32.（2020 廣東卷 理）巳知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為 3 2 ， 且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 12，則橢圓G的方程為 【解析】 2 3 e，122 a，6a，3b，則所求橢圓方程為1

25、 936 22 yx . 【答案】1 936 22 yx 33.（2020 四川卷文）拋物線 2 4yx的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 . 【解析】焦點(diǎn)F（1，0） ，準(zhǔn)線方程1x，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 2. 【答案】2】2 34.（2020 湖南卷文）過(guò)雙曲線C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的一個(gè)焦點(diǎn)作圓 222 xya的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若120AOB （O是坐標(biāo)原點(diǎn)） ， 則雙曲線線C的離心率為 . 【解析】12060302AOBAOFAFOca , 2. c e a 【答案】2】2 35.（2020 福建卷理）過(guò)拋物線 2 2(0)ypx p的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交

26、拋物線 于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為 8，則p _ 【解析】由題意可知過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為 2 p yx，聯(lián)立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx ，又 2 22 (1 1 ) (3 )482 4 p ABpp 。 【答案】 2 36.（2020 遼寧卷理）以知F是雙曲線 22 1 412 xy 的左焦點(diǎn)，(1,4),AP是雙曲線右支上 的動(dòng)點(diǎn)，則PFPA的最小值為 。 【解析】注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F(4,0), 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 兩式相加得|PF|PA|9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

27、 【答案】9 37.（2020 寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與 拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若2,2P為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 。 【解析】設(shè)拋物線為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y， 得：x2kx0， 21 xx k22，故 2 4yx. 【答案】 2 4yx 38.(2020 湖南卷理)已知以雙曲線 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有 一個(gè)內(nèi)角為 60 o ，則雙曲線 C 的離心率為 . 【解析】連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角 分別是, (b c b是虛半軸長(zhǎng)，c是焦半距)，且一個(gè)內(nèi)角是3

28、0，即得tan30 b c ，所以 3cb，所以2ab，離心率 36 22 c e a . 【答案】 6 2 39.（2020 年上海卷理）已知 1 F、 2 F是橢圓1: 2 2 2 2 b y a x C（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)， P為橢圓C上一點(diǎn)，且 21 PFPF .若 21F PF的面積為 9，則b=_. 【解析】依題意，有 22 2 2 1 21 21 4| 18| 2| cPFPF PFPF aPFPF ，可得 4c2364a2，即a2c29， 故有b3。 【答案】3 三、解答題三、解答題 40.(2020 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分） 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸

29、上,離心率為 2 3 ,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 1 F和 2 F,橢圓 G上一點(diǎn)到 1 F和 2 F的距離之和為 12.圓 k C:02142 22 ykxyx)(Rk的圓心為 點(diǎn) k A. (1)求橢圓G 的方程 (2)求 21F FAk的面積 (3)問(wèn)是否存在圓 k C包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解解（1）設(shè)橢圓G的方程為： 22 22 1 xy ab （0ab）半焦距為c; 則 212 3 2 a c a , 解得 6 3 3 a c , 222 36279bac 所求橢圓G的方程為： 22 1 369 xy . (2 )點(diǎn) K A的坐標(biāo)為,2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A

30、 F F SFF V （3）若0k ，由012152101206 22 可知點(diǎn)（6，0）在圓 k C外， 若0k ，由01215210120)6( 22 可知點(diǎn)（-6，0）在圓 k C外； 不論K為何值圓 k C都不能包圍橢圓G. 41.（2020 浙江理） （本題滿分 15 分） 已知橢圓 1 C： 22 22 1(0) yx ab ab 的右頂點(diǎn)為(1,0)A，過(guò) 1 C的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦 長(zhǎng)為1 （I）求橢圓 1 C的方程； （II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線 2 C： 2 ()yxh hR上， 2 C在點(diǎn)P處的切線與 1 C交于點(diǎn) ,M N當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值

31、 解解（I）由題意得 2 1 2 , 121 b a b b a 所求的橢圓方程為 2 2 1 4 y x， （II）不妨設(shè) 2 1122 ( ,),(,), ( ,),M x yN xyP t th則拋物線 2 C在點(diǎn) P 處的切線斜率為 2 x t yt ，直線 MN 的方程為 2 2ytxth，將上式代入橢圓 1 C的方程中，得 222 4(2)40 xtxth，即 22222 4 14 ()()40txt th xth，因?yàn)橹本€ MN與橢圓 1 C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有 422 1 162(2)40thth ， 設(shè)線段 MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 3 x，則 2 12 3 2 () 22

32、(1) xxt th x t ， 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 4 x，則 4 1 2 t x ，由題意得 34 xx，即有 2 (1)10th t ，其中的 2 2 (1)40,1hh 或3h ； 當(dāng)3h 時(shí)有 2 20,40hh，因此不等式 422 1 162(2)40thth 不 成立；因此1h ，當(dāng)1h 時(shí)代入方程 2 (1)10th t 得1t ，將1,1ht 代入 不等式 422 1 162(2)40thth 成立，因此h的最小值為 1 42.（2020 浙江文） （本題滿分 15 分） 已知拋物線C： 2 2(0)xpy p上一點(diǎn)( ,4)A m到其焦點(diǎn)的距離為 17 4 （I）求

33、p與m的值； （II）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(0)t t ，過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于 點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N若MN是C的切線，求t的最小 值 解解（）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程： 2 p y，根據(jù)拋物線定義 點(diǎn))4 ,(mA到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即 4 17 2 4 p ，解得 2 1 p 拋物線方程為：yx 2 ，將)4 ,(mA代入拋物線方程，解得2m （）由題意知，過(guò)點(diǎn)),( 2 ttP的直線PQ斜率存在且不為 0，設(shè)其為k。 則)(: 2 txktylPQ，當(dāng), 0 2 k ktt xy 則) 0 , ( 2 k ktt M 。 聯(lián)立方程 yx

34、txkty 2 2 )( ，整理得：0)( 2 tktkxx 即：0)()(tkxtx，解得, tx 或tkx )( ,( 2 tktkQ，而QPQN ，直線NQ斜率為 k 1 )( 1 )(: 2 tkx k tkylNQ，聯(lián)立方程 yx tkx k tky 2 2 )( 1 )( 整理得：0)()( 11 22 tktk k x k x，即： 0 1)()( 2 tkktkxkx 0)(1)(tkxtkkkx，解得： k tkk x 1)( ，或tkx ) 1)( , 1)( ( 2 2 k tkk k tkk N ， ) 1( ) 1( 1)( 1)( 22 22 2 2 2 ktk k

35、tk k ktt k tkk k tkk KNM 而拋物線在點(diǎn) N 處切線斜率： k tkk yk k tkk x 2)(2 1)( 切 MN 是拋物線的切線， k tkk ktk ktk2)(2 ) 1( ) 1( 22 22 ， 整理得021 22 ttkk 0)21 (4 22 tt，解得 3 2 t（舍去） ，或 3 2 t， 3 2 min t 43.（2020 北京文） （本小題共 14 分） 已知雙曲線 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的離心率為3，右準(zhǔn)線方程為 3 3 x 。 （）求雙曲線C的方程； （）已知直線0 xym與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段A

36、B的中點(diǎn)在圓 22 5xy上，求m的值. 【解析解析】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力 解解（）由題意，得 2 3 3 3 a c c a ，解得1,3ac， 222 2bca，所求雙曲線C的方程為 2 2 1 2 y x . （）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 1122 ,x yxy，線段AB的中點(diǎn)為 00 ,M xy， 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm（判別式0 ）, 12 000 ,2 2 xx xm yxmm , 點(diǎn) 00 ,M xy在圓 22 5xy上， 2 2 25m

37、m，1m . 44.（2020 北京理） （本小題共 14 分） 已知雙曲線 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的離心率為3，右準(zhǔn)線方程為 3 3 x （）求雙曲線C的方程； （）設(shè)直線l是圓 22 :2O xy上動(dòng)點(diǎn) 0000 (,)(0)P xyx y 處的切線，l與雙曲線C交 于不同的兩點(diǎn),A B，證明AOB的大小為定值. 【解法解法 1】1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力 （）由題意，得 2 3 3 3 a c c a ，解得1,3ac， 222 2bca，所求雙曲線C的方程為 2

38、2 1 2 y x . （）點(diǎn) 0000 ,0P xyx y 在圓 22 2xy上， 圓在點(diǎn) 00 ,P xy處的切線方程為 0 00 0 x yyxx y ， 化簡(jiǎn)得 00 2x xy y. 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820 xxx xx ， 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、B，且 2 0 02x， 2 0 340 x ，且 222 000 164 34820 xxx ， 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 1122 ,x yxy， 則 2 00 1212 22 00 482 , 3434 xx xxx x xx ， c

39、os OA OB AOB OA OB ，且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y ， 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx . AOB的大小為90. 【解法解法 2】2】 （）同解法 1. （）點(diǎn) 0000 ,0P xyx y 在圓 22 2xy上， 圓在點(diǎn) 00 ,P xy處的切線方程為 0 00 0 x yyxx y ， 化簡(jiǎn)得 00 2x xy y.

40、由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、B，且 2 0 02x， 2 0 340 x ，設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 1122 ,x yxy， 則 22 00 1212 22 00 8228 , 3434 xx x xy y xx ， 1212 0OA OBx xy y ， AOB的大小為90. （ 22 00 2xy且 00 0 x y ， 22 00 02,02xy，從而當(dāng) 2 0 340 x 時(shí)，方程和 方程的判別式均大于零

41、）. 45.（2020 江蘇卷） （本題滿分 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2） ，其焦點(diǎn)F在x軸上。 （1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程； （3）設(shè)過(guò)點(diǎn)( ,0)(0)M mm 的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記 D和E兩點(diǎn)間的距離為( )f m，求( )f m關(guān)于m的表達(dá)式。 46.(2020 山東卷理)（本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓E: 22 22 1 xy ab （a,b0）過(guò)M（2，2） ，N (6,1)兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得

42、該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 OAOB ？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。 解:（1）因?yàn)闄E圓E: 22 22 1 xy ab （a,b0）過(guò)M（2，2） ，N (6,1)兩點(diǎn), 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 橢圓E的方程為 22 1 84 xy （2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 OAOB ,設(shè)該圓的切線方程為ykxm解方程組 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm, 即 222

43、 (12)4280kxkmxm, 則= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB ,需使 1212 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk, 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以

44、2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圓為 22 8 3 xy,此時(shí)圓的 切線ykxm都滿足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為 2 6 3 x 與橢圓 22 1 84 xy 的兩個(gè)交點(diǎn)為 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 滿足 OAOB ,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓 22 8 3 xy，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒 有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OAOB

45、. 因?yàn)?12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 當(dāng)0k 時(shí) 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因?yàn)?2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 1

46、12 1 33 44k k , 所以 4 6 | 2 3 3 AB當(dāng)且僅當(dāng) 2 2 k 時(shí)取”=”. 當(dāng)0k 時(shí), 4 6 | 3 AB . 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 , 所以此時(shí) 4 6 | 3 AB , 綜上, |AB |的取值范圍為 4 6 | 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢 圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有 關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系. 47. (2020 山東

47、卷文)（本小題滿分 14 分） 設(shè)mR,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量(,1)amx y ,向量( ,1)bx y ,ab ,動(dòng)點(diǎn) ( , )M x y的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀; （2）已知 4 1 m,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè) 交點(diǎn)A,B,且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程; (3)已知 4 1 m,設(shè)直線l與圓 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1,且l與軌跡E只有一個(gè)公 共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解解（1）因?yàn)閍b ,(,1)amx y ,( ,1)bx y

48、, 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy. 當(dāng)m=0 時(shí),方程表示兩直線,方程為1y; 當(dāng)1m 時(shí), 方程表示的是圓 當(dāng)0m且1m時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)0m時(shí),方程表示的是雙曲線. (2).當(dāng) 4 1 m時(shí), 軌跡E的方程為 2 2 1 4 x y,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為ykxt,解 方程組 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt,即 222 (14)8440kxktxt, 要使切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使= 2 22222 6416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt ,即 22 41tk, 且 12

49、 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk , 要使OAOB , 需使 1212 0 x xy y,即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk , 所以 22 5440tk, 即 22 544tk且 22 41tk, 即 22 44205kk恒成立. 所以又因?yàn)橹本€ykxt為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4

50、 5 115 k t r kk , 所求的圓為 22 4 5 xy. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為5 5 2 x,與 2 2 1 4 x y交于點(diǎn))5 5 2 ,5 5 2 (或 )5 5 2 ,5 5 2 (也滿足OAOB. 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓 22 4 5 xy，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OAOB . (3)當(dāng) 4 1 m時(shí),軌跡E的方程為 2 2 1 4 x y,設(shè)直線l的方程為ykxt,因?yàn)橹本€l與圓 C: 222 xyR(1R0）與x軸 的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B,且與x軸垂直，S為l上 異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T. (1)若曲線C

51、為半圓，點(diǎn)T為圓弧AAB的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)； （II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在a,使得O,M,S三 點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解解 方法一方法一 ()當(dāng)曲線 C 為半圓時(shí)，1,a 如圖，由點(diǎn) T 為圓弧AAB的三等分點(diǎn)得BOT=60或 120. (1)當(dāng)BOT=60時(shí), SAE=30. 又AB=2,故在SAE 中,有tan30,( ,);SBABs t (2)當(dāng)BOT=120時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為(1,2 3) ,綜上, 2 3 (1,) 3 S或S(1, 2 3) ()假設(shè)存在(0)a a ,使得O,M,S三點(diǎn)共線.

52、 由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故BTOS. 顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設(shè)直線AS的方程為()yk xa. 由 2 2 22222422 2 1 (1)20 () x y a kxa k xa ka a yk xa 得 設(shè)點(diǎn) 222 22 (,),(), 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k ,從而 22 2 () 1 TT ak yk xa a k . 亦即 22 2222 2 (,). 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 ( ,0),(,) 11 a kak B aBT a ka k 由 () xa yk

53、 xa 得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0,0,2kaa 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)2a 時(shí),O,M,S 三點(diǎn)共線. 故存在2a ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線. 方法二方法二: : ()同方法一. ()假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線. 由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故SMBT. 顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設(shè)直線AS的方程為()yk xa 由 2 2 22222222 2 1 (1)20 () x y a bxa k xa ka a yk xa 得 設(shè)點(diǎn)(,) TT

54、T xy,則有 422 22 (). 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 ,()(). 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 從而亦即 2 2 1 ( ,0), T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 () xa yk xa 得S(a, 2ak),所直線 SM 的方程為 2 2()yaka k xa O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即 2 2()aka ka. 0,0,2aKa 故存在2a ,使得O,M,S三點(diǎn)共線. 60.（2020 遼寧卷文、理） （本小題滿分 12 分） 已知，橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1， 3 2 ） ，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0） （1，0） 。 （1）求橢圓C的方程； （2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直 線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 （）解解 由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為 22 22 1 14 xy bb 。 因?yàn)锳在橢圓上，所以 22 19 1 1