1、5-1構(gòu)件受力如圖5-26所示。試：(1)確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置；(2)用單元體表示危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（即用縱橫截面截取危險(xiǎn)點(diǎn)的單元體，并畫出應(yīng)力）。（a）（b）（c）（d）題5-1圖 解：a) 1) 危險(xiǎn)點(diǎn)的位置：每點(diǎn)受力情況相同，均為危險(xiǎn)點(diǎn)；2）用單元體表示的危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)見下圖。b) 1) 危險(xiǎn)點(diǎn)的位置：外力扭矩3T與2T作用面之間的軸段上表面各點(diǎn)；2）應(yīng)力狀態(tài)見下圖。 c) 1) 危險(xiǎn)點(diǎn)： A點(diǎn)，即桿件最左端截面上最上面或最下面的點(diǎn)； 2）應(yīng)力狀態(tài)見下圖。d) 1）危險(xiǎn)點(diǎn)：桿件表面上各點(diǎn)； 2）應(yīng)力狀態(tài)見下圖。a)b)c)d)5-2試寫出圖5-27所示單元體主應(yīng)力1、2和3的值，并指出屬于哪

2、一種應(yīng)力狀態(tài)（應(yīng)力單位為MPa）。c)b)a)題5-2圖解： a) =50 MPa, =0,屬于單向應(yīng)力狀態(tài) b) =40 MPa, =0, =30 MPa，屬于二向應(yīng)力狀態(tài) c) =20 MPa, =10 MPa, =30 MPa，屬于三向應(yīng)力狀態(tài)5-3已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖5-28所示（應(yīng)力單位為MPa）。試用解析法求指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。c)b)a)題5-3圖解：a) 取水平軸為x軸，則根據(jù)正負(fù)號規(guī)定可知： =50MPa , =30MPa , =0, =30 帶入式（5-3），（5-4）得 =45MPa= -8.66MPab) 取水平軸為x軸，根據(jù)正負(fù)號規(guī)定：= -40MPa ,

3、 =0 , =20 MPa , =120帶入公式，得：=7.32MPa=7.32MPac) 取水平軸為x軸，則= -10MPa , =40MPa , = -30MPa,=30代入公式得：=28.48MPa=-36.65MPa5-4已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖5-29所示（應(yīng)力狀態(tài)為MPa）。試用解析法求：(1)指定斜截面上的應(yīng)力；(2)主應(yīng)力及其方位，并在單元體上畫出主應(yīng)力狀態(tài)；(3)最大切應(yīng)力。a)c)b)題5-4圖a) 解：（1）求指定斜截面的上應(yīng)力 取水平軸為x軸，則 =100MPa , =40MPa , =40MPa,=45 帶入公式，得: =30 MPa= 30MPa (2) 求主應(yīng)力及其

4、方向，由公式（5-8）得：= MPa按代數(shù)值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主應(yīng)力方向 = ，= 最大主應(yīng)力的方向與x軸正向夾角為逆時(shí)針3）最大切應(yīng)力 由公式（5-20） MPa b）解： （1） 求指定斜截面上的應(yīng)力 取水平軸為x軸，=60MPa , = -20MPa , = -30MPa,= -30代入公式得:=-14.02MPa= -49.64MPa(2) 求主應(yīng)力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代數(shù)值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主應(yīng)力方向 = ，= 最大主應(yīng)力的方向與x軸正向夾角為逆時(shí)針 如圖所示：3）最大切應(yīng)力 由公式（5-2

5、0） MPac)解:取水平軸為x軸，則=60MPa , =0 , = -40MPa,= -150代入公式得：=79.64MPa=5.98Mpa(2) 求主應(yīng)力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代數(shù)值 得 MPa， MPa， MPa 由公式（5-7）可求得主應(yīng)力方向 = ，= 最大主應(yīng)力的方向與x軸正向夾角為逆時(shí)針 如圖所示：3）最大切應(yīng)力 由公式（5-20） 5-5已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖5-30所如圖所示（應(yīng)力狀態(tài)為MPa）。試用圖解法求：(1)指定斜截面上的應(yīng)力；(2)主應(yīng)力及其方位，并在單元體上畫出主應(yīng)力狀態(tài)；(3)最大切應(yīng)力。c)b)a)題5-5圖解：(1)求指定斜截面上的應(yīng)力由圖示

6、應(yīng)力狀態(tài)可知=40MPa , =20MPa , =10MPa, =-10MPa 由此可確定-面內(nèi)的D、D兩點(diǎn)，連接D、D交于C 。以C 為圓心，DD為直徑可做應(yīng)力圓，斜截面與x軸正方向夾角為60，在應(yīng)力圓上，由D逆時(shí)針量取120得E點(diǎn)，按比例量的E點(diǎn)坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：=60MPa，=3.7MPa（2）求主應(yīng)力及其方程應(yīng)力圓中A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)二向應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力：=44.14MPa，= 15.86Mpa按照 得約定，可得三個(gè)主應(yīng)力為： =44.14MPa， =15.86MPa， =0MPa由D轉(zhuǎn)向A 的角度等于2。量得 2=45（順時(shí)針）因此，最大主應(yīng)力與x軸正方向夾角為

7、順時(shí)針22.5。（3）最大切應(yīng)力等于由畫出的應(yīng)力圓的半徑=22.07MPab)解：首先做應(yīng)力圓：其中 D（0，-20） D（50，+20）1）斜截面與y軸正方向夾角45（逆），因此從D逆時(shí)針量2=90得E點(diǎn)： =5MPa，=25Mpa 2) =57MPa， = -7Mpa 按照得 =57MPa， =0MPa， = -7MPa 主應(yīng)力方向：最大主應(yīng)力與y軸夾角為（順）3) 最大切應(yīng)力等于由畫出的應(yīng)力圓的半徑： MPa(c)解： 由圖示應(yīng)力狀態(tài)可得應(yīng)力圓上兩點(diǎn)D（-20，20）和 D（30，-20） 連DD交軸于C, 以C為圓心，DD為直徑作圓， 即為應(yīng)力圓，如圖所示1） 斜截面與x軸正方向夾角為

8、 60 (順), 因此由D順時(shí)針量120得E點(diǎn) =34.82MPa， =11.65MPa2） 主應(yīng)力及其方位 應(yīng)力圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)即為兩個(gè)主應(yīng)力： =37MPa， = -27Mpa 因此 =37MPa， =0MPa， = -27MPa由D到A的夾角為逆時(shí)針38.66，因此最大主應(yīng)力為由y軸正方向沿逆時(shí)針量19.33所得截面上的正應(yīng)力。 3） 最大切應(yīng)力為由畫出的應(yīng)力圓半徑MPa5-6一矩形截面梁，尺寸及載荷如圖5-31所示，尺寸單位為mm。試求：(1)梁上各指定點(diǎn)的單元體及其面上的應(yīng)力；(2)作出各單元體的應(yīng)力圓，并確定主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。題5-6圖解：1） 各點(diǎn)的單元體及應(yīng)力由

9、梁的靜力平衡求得kNA,B,C三點(diǎn)所在截面上的彎矩Nm剪力 kNPa=93.75MPa（壓應(yīng)力）MPa（壓應(yīng)力） MPaMPa2） 作各單元體的應(yīng)力圓A點(diǎn)：MPa，=46.875MPaB點(diǎn)： MPa，MPa，=27.3MPaC點(diǎn)： 18.75MPa，0，= -18.75 MPa，=18.75MPa5-7試用解析法求圖5-32所示各單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。c)a)b)題5-7圖解：a) 主應(yīng)力 MPa， 由于其它兩方向構(gòu)成純剪切應(yīng)力狀態(tài)，所以有， =50MPa。b) 一個(gè)主應(yīng)力為50MPa，其余兩個(gè)方向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示 =30MPa， = -20MPa，=20MPa 代入

10、公式（5-8） MPa所以 =50MPa， =37MPa， = -27MPa =MPab) 一個(gè)主應(yīng)力為-30MPa，其余兩/auction/35-/item_detail-0db1-937fe7561f213e8e36c98.jhtml方向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示取 =120MPa， = 40MPa，=-30MPa代入公式MPa所以 =130MPa， =30MPa， =-30MPa=MPa5-8單元體各面上的應(yīng)力如圖5-33所示。試作三向應(yīng)力圖，并求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。題5-8圖解： a) 三個(gè)主應(yīng)力為 三向應(yīng)力圓可作如下 b) 這是一個(gè)純剪切應(yīng)力狀

11、態(tài) 其三向應(yīng)力圓為 =三向應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力為零先做一二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，得再由和分別作應(yīng)力圓三個(gè)應(yīng)力圓包圍的陰影部分各點(diǎn)對應(yīng)三向應(yīng)力狀態(tài)5-9二向應(yīng)力狀態(tài)如圖5-34所示。試作應(yīng)力圓并求主應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。題5-9圖解： 畫出二向應(yīng)力狀態(tài)的單元體，取水平方向?yàn)閤軸，則 =？ , =50MPa , =？，=30時(shí)=80MPa, =0 代入式（5-3）（5-4） =80Mpa=0=70MPa , = MPa可做應(yīng)力圓如圖所示由應(yīng)力圓可求的三個(gè)主應(yīng)力分別為 =80MPa， =40MPa， =0MPa最大切應(yīng)力為=40MPa5-10圖5-35所示棱柱形單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)，AB面上無應(yīng)力

12、作用。試求切應(yīng)力和三個(gè)主應(yīng)力。題5-10圖解：畫出二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，取水平方向?yàn)閤軸則=15MPa , = -15MPa , =，=135時(shí)=0, =0 代入式（5-3）（5-4） =0=0 (自然滿足)由上式解得=15MPa主應(yīng)力可由公式（5-8）求MPa因此三個(gè)主應(yīng)力為 ： =0， =0， =-30MPaMPa5-11已知單元體的應(yīng)力圓或三向應(yīng)力圖如圖5-36所示（應(yīng)力單位為MPa）。試畫出單元體的受力圖，并指出應(yīng)力圓上A點(diǎn)所在截面的位置。c)b)a) d) e) f) 題5-11圖5-12圖5-37所示單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)。已知：。試求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。題5-12圖解： =80MPa

13、 , =40MPa , =，=50MPa, =60 將以上已知數(shù)據(jù)代入公式（5-3） =0 再把，代入公式（5-8）求主應(yīng)力 MPa因此三個(gè)主應(yīng)力為 ： =80 MPa， =40 MPa， =-0MPa=40MPa5-13如圖5-38所示單元體處于二向應(yīng)力狀態(tài)。已知兩個(gè)斜截面和上的應(yīng)力分別為；。試作應(yīng)力圓，求出圓心坐標(biāo)和應(yīng)力圓半徑R。題5-13圖解： 已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa由上面兩組坐標(biāo)可得應(yīng)力圓上兩點(diǎn)D1,D2,連D1D2,作其垂直平分線交軸于C點(diǎn)，以C為圓心，CD為半徑作圓即為所求應(yīng)力圓。由圖中幾何關(guān)系可得圓心坐標(biāo)C(120,0) 半徑 =1005-1

14、4今測得圖5-39所示受拉圓截面桿表面上某點(diǎn)K任意兩互垂方向的線應(yīng)變和。試求所受拉力F。已知材料彈性常數(shù)E、，圓桿直徑d。題5-14圖解： 圍繞K 點(diǎn)取單元體，兩截面分別沿 和” 方向。 如下圖所示 由廣義胡克定律 聯(lián)求解得 我們還可以取K點(diǎn)的單元體如下，即沿桿件橫截面，縱截面截取 根據(jù)單元體任意兩相互垂直截面上的正應(yīng)力之和為一常量得： 又= 所以 F=A=5-15今測得圖5-40所示圓軸受扭時(shí)，圓軸表面K點(diǎn)與軸線成30方向的線應(yīng)變。試求外力偶矩T。已知圓軸直徑d ,彈性模量E和泊松比。題5-15圖解： 圍繞K點(diǎn)沿30方向和與之垂直的方向取單元體如左圖 由沿橫縱截面單元體如右圖 由公式（5-3

15、、5-4)得: 由胡克定律 又=， 所以5-16一剛性槽如圖5-41所示。在槽內(nèi)緊密地嵌入一鋁質(zhì)立方塊，其尺寸為101010mm3，鋁材的彈性模量E=70GPa，=0.33。試求鋁塊受到F=6kN的作用時(shí)，鋁塊的三個(gè)主應(yīng)力及相應(yīng)的變形。題5-16圖解： F力作用面為一主平面，其上的正應(yīng)力為 MPa = -60MPa 前后面為自由表面，也為主平面，=0 由題意知=0 由胡克定律 = 所以 = = 所以 5-17現(xiàn)測得圖5-42所示受扭空心圓軸表面與軸線成45方向的正應(yīng)變，空心圓軸外徑為D ,內(nèi)外徑之比為。試求外力偶矩T。材料的彈性常數(shù)E、均為已知。題5-17圖解： 受扭圓軸表面上任一點(diǎn)均為純剪切

16、應(yīng)力狀態(tài)，純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體上45和135面上主應(yīng)力取得極大值和極小值，為主平面，=， = - 由胡克定律 = 代入化簡得 所以 = 由受扭圓軸表面上一點(diǎn)剪應(yīng)力公式 5-18現(xiàn)測得圖5-43所示矩形截面梁中性層上K點(diǎn)與軸線成45方向的線應(yīng)變，材料的彈性模量,。試求梁上的載荷F之值。題5-18圖解： K點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示 其中由公式（3-40） 求得 又K點(diǎn)有，135方向有，代入到胡克定律 有 Pa 比軸兩式有=48000N=48kN5-19圖5-44所示受拉圓截面桿。已知A點(diǎn)在與水平線成60方向上的正應(yīng)變，直徑d=20mm，材料的彈性模量。試求載荷F。題5-19圖解： A點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示

17、 由公式（5-3） 由胡克定律 又=所以=37233.7N=37.23 kN5-20試求圖5-45所示矩形截面梁在純彎曲時(shí)AB線段長度的改變量。已知：AB原長為a，與軸線成45，B點(diǎn)在中性層上，梁高為h，寬為b，彈性模量為E，泊松比為，彎矩為M。題5-20圖解： 求AB 的伸長量需先求AB方向的應(yīng)變，去AB中點(diǎn)位置C其應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其中= =由此可求出AB 方向及與其垂直方向的正應(yīng)力 由胡克定律 5-21 用45應(yīng)變花測得受力構(gòu)件表面上某點(diǎn)處的線應(yīng)變值為0=-26710-6, 45=-57010-6及90=7910-6。構(gòu)件材料為Q235鋼，E=210GPa，=0.3。試求主應(yīng)變，并求出該點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值和方向。解： 由公式（5-36） 可求主應(yīng)力：=MPa由公式（5-34）求主應(yīng)變，在此之前先由(5-33)求代入（5-34） 主應(yīng)力與主應(yīng)變同方向：由 （5-35）： 20=70，0=355-22 在某液壓機(jī)上橫梁的表面某點(diǎn)處，用45應(yīng)變花測得0=51.610-6, 45=16910-6及90=-11710-6。上橫梁的材料為鑄鐵，E=110GPa，=0.25。試求該點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值和方向。解： 由公式（5-36） MPa 所以=14.44MPa, =0, =-24.03MPa 主應(yīng)力方向 =2