1、第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析,時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。,2.1 引言,系統(tǒng)分析過程,經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與(t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決 h(t)；,卷積積分法: 任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。(新方法),本章主要內(nèi)容,線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解； 沖激響應(yīng)h(t)的求解； 卷積的圖解說明； 卷積的性質(zhì)； 零狀態(tài)響應(yīng)： 。,2.2 微分方程式的建立,微分方程的列寫 n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述,一微分方程的列寫,根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。 對(duì)于電路系統(tǒng)

2、，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。,元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系, KCL，KVL。,例1,電感,電阻,電容,根據(jù)KCL,代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有,這是一個(gè)代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。,求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵(lì) 間的關(guān)系。,這是一個(gè)代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。,兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。,例2,機(jī)械位移系統(tǒng)，

3、質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧,牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為 ，外加牽引力為 ，其外加牽引力 與剛體運(yùn)動(dòng)速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為,二n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述,一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào) 之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述,若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。,2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程,復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0 ，響應(yīng)為 時(shí)的方程的解，初始條件,齊次解：由特征方程求出特征根寫出齊次解形式,注意重根情況處理方法。,特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特

4、解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。,經(jīng)典法,全 解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解 。,例3,系統(tǒng)的特征方程為:,特征根,因而對(duì)應(yīng)的齊次解為,例4,如果已知： 分別求兩種情況下此方程的特解。,給定微分方程式,將此式代入方程得到,等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有,聯(lián)解得到,所以，特解為,這里，B是待定系數(shù)。 代入方程后有：,(2),(原方程： ）,幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解,激勵(lì)函數(shù)e(t),響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解,系統(tǒng)的完全響應(yīng),如果響應(yīng)在0時(shí)刻有跳變，則用 作為初始條件：,利用初始條件求待定系數(shù)Ai 我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)的求解區(qū)間定為 ,如果響應(yīng)在0

5、時(shí)刻沒有跳變，通常取t=0,這樣對(duì)應(yīng)的一組條件稱為初始條件。,例5 試求微分方程 當(dāng) ，初始條件為 ，時(shí)的完全解。 解：（1）求齊次解。 按照題意，特征方程為 其特征根 均為單根，則其齊次解為,（2）求特解。 將 代入方程的右端，得自由項(xiàng)為 ，其中 與一個(gè)特征根 相重，故特解 將 代入上述微分方程，得 所以 因此特解 所以該方程的完全解是,由初始條件 有 解得 ，因此完全解為,2.4 起始點(diǎn)的跳變,電容電壓的突變 電感電流的突變 奇異函數(shù)平衡法確定初始條件,我們來進(jìn)一步討論 的條件。,一起始點(diǎn)的跳變,對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況;,當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)

6、從 到 狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,說明,一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：,但是當(dāng)有沖激電流(或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓（或階躍電流）強(qiáng)迫作用于電感， 狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。,1電容電壓的突變,由伏安關(guān)系,當(dāng)有沖激電流或階躍電壓作用于電容時(shí)：,2電感電流的突變,如果為有限值，,54頁例2-6,配平的原理：t =0 時(shí)刻微分方程左右兩端的(t)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡(其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項(xiàng)）,例：,二奇異函數(shù)平衡法確定初始條件,數(shù)學(xué)描述,設(shè),則,代入方程,得出,所以

7、得,即,即,u(t)：表示從 0 到0+的相對(duì)單位跳變函數(shù)。,總結(jié)：若微分方程右邊的自由項(xiàng)不包含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則0+值與0-值相等，否則要利用奇異函數(shù)平衡法由0- 求0+值。,2.5 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換 系統(tǒng)響應(yīng)劃分 對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),一起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換,在一定條件下，激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。,二系統(tǒng)響應(yīng)劃分,自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng) (Natural+forced),零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) (Zero-input+Zero-state),暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient+Steady-state),

8、也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。,形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。,是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng) 中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t 增加，它將消失。,隨著時(shí)間t 增加，保留下來的分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀 態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。,不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始 狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。,(1)自由響應(yīng)：,(2)暫態(tài)響應(yīng)：,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,強(qiáng)迫響應(yīng)：,(3)零輸入響應(yīng)：,零狀態(tài)響應(yīng)：,各種系統(tǒng)響應(yīng)定義,系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值 決定的初始值求出待定系數(shù)

9、。,系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由起始狀態(tài) 為零決定的初始狀態(tài)求出待定系數(shù)。（包括齊次解和特解）,求解,59頁例2-8,三對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。 (1)響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。 (2)零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性。 (3)零輸入線性：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性。,解（續(xù)）,解得,結(jié)論： 若已知0+值，直接用經(jīng)典法求解齊次解和特解比較簡便； 若已知0-值，應(yīng)用零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)分別求解比較簡便。,2.6 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng),系

10、統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。,一沖激響應(yīng),1定義,2、系統(tǒng)的沖激響應(yīng),沖激 在 時(shí)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲(chǔ)能，t 0時(shí)，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。,例:,解：,求特征根,沖激響應(yīng),求系統(tǒng) 的沖激響應(yīng)。,將e(t)(t)，r(t)h(t),帶u(t),求待定系數(shù),方法一：求0+法,求0+定系數(shù),代入h(t),得,設(shè),求待定系數(shù),方法二：奇異函數(shù)系數(shù)匹配法,響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次),3n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng),(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示,激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次),(

11、2)h(t)解答的形式,設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）,由于 及其導(dǎo)數(shù)在 時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。,二階躍響應(yīng),系統(tǒng)的輸入 ，其響應(yīng)為 。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，還有特解項(xiàng)。,系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。,1定義,2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系,線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性,用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡捷方便，但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。,2.7 卷積,卷積 利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 卷積圖解說明 卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí),卷積方法的原理就是

12、將信號(hào)分解為沖激信號(hào)之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t),求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。,一卷積（Convolution）,利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,二利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),任意信號(hào)e(t)可表示為沖激序列之和,這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,三卷積的計(jì)算,由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。,利用圖解說明確定積分限,借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限,例1,1列寫KVL方程,2沖激響應(yīng)為,4.定積分限（關(guān)鍵）,波形,解析法求卷積積分,練習(xí) 求 u(t) u(t) .,解：,注意：(1) 修改積分限; (2) 乘u(

13、t),卷積的圖解說明,用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確。,例2:,浮動(dòng)坐標(biāo),浮動(dòng)坐標(biāo)：,下限 上限,t-3,t,t ：移動(dòng)的距離,t =0 f2(t-) 未移動(dòng),t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,t -1,兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即卷積積分為0,-1 t 1,時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為0， 積分下限-1，上限t ，t 為移動(dòng)時(shí)間;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷積結(jié)果,積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定,當(dāng) 或 為非連續(xù)函數(shù)時(shí)，卷積需分段，積分限分段定。,(1)積分

14、上下限,(2)卷積結(jié)果區(qū)間,四對(duì)卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí),(1) t ：觀察響應(yīng)的時(shí)刻，是積分的參變量； : 信號(hào)作用的時(shí)間，積分變量 從因果關(guān)系看，必定有,(2) 卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應(yīng)h(t)建立了響應(yīng)r(t)與激勵(lì)e(t)之間的關(guān)系。,(3) 積分限由 存在的區(qū)間決定，即由 的范圍決定。,總結(jié),時(shí)域求解響應(yīng)的方法：,時(shí)域經(jīng)典法：,雙零法：,完全解=齊次解 + 特解(用0+值求待定系數(shù)),對(duì)應(yīng)齊次解，用初始條件(0-值)求待定系數(shù),全響應(yīng)=零輸入響應(yīng) + 零狀態(tài)響應(yīng),沖激響應(yīng)h(t)對(duì)應(yīng)齊次解，用奇異函數(shù)系數(shù)平衡法求待定系數(shù),2.8 卷積的性質(zhì),代數(shù)性質(zhì) 微分積分性質(zhì) 與沖激函

15、數(shù)或階躍函數(shù)的卷積,一代數(shù)性質(zhì),1交換律,2分配律,3結(jié)合律,系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算,系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算,證明交換律,卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)。因?yàn)榈怪?與倒置 積分面積與t無關(guān)。,一般選簡單函數(shù)為移動(dòng)函數(shù)。如矩形脈沖或(t)。,系統(tǒng)并聯(lián)(分配律）,系統(tǒng)并聯(lián)，用以下框圖表示：,結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)=,各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。,系統(tǒng)級(jí)聯(lián)（結(jié)合律）,系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：,結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)= 子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。,例1：,如圖：系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 。求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 。,解：,X,兩端對(duì)t 求導(dǎo),即,已知,交換律,二微分積分性質(zhì),推廣：,微

16、分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實(shí)用,對(duì)于求解卷積很方便，很重要。,g(t)的積分,微分n次，積分m次,m=n, 微分次數(shù)積分次數(shù),三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積,推廣：,例2,2.10 用算子符號(hào)表示微分方程 1算子的定義 （1）微分算子 ，定義如下： （2）積分算子 ，定義如下： 于是上面提到的激勵(lì)信號(hào) 和系統(tǒng)響應(yīng) 又可寫為,其中 被稱為響應(yīng)對(duì)激勵(lì)的傳輸算子或轉(zhuǎn)移算子。 系統(tǒng)輸入輸出模型如下圖所示。 系統(tǒng)的傳輸算子表示,例1 用算子法表微分方程。 解：根據(jù)微分算子的定義，上述微分方程 可表示為,還可將上式改寫為 則傳輸算子或轉(zhuǎn)移算子 為,2算子符號(hào)運(yùn)算的基本規(guī)則 （1）對(duì)算子多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解，但不

17、能進(jìn)行公因子相消。 （2）算子的乘除順序不能隨意顛倒，即 這表明“先乘后除”的算子運(yùn)算（即先微分后積 分） 不能相消；而“先除后乘”（先積分后 微分） 的算子運(yùn)算可以相消。,例2：設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的算子為 試寫出此系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。 解：令系統(tǒng)的輸入為 ，輸出為 ，由給 定傳輸算子 寫出此系統(tǒng)算子方程為 即 與 之間的關(guān)系為 所以系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為,第三次作業(yè),習(xí)題二（P83） 2-6 2-9 (1) 2-13 (1) (2) (3) 2-20,本章總結(jié)： 1、LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)： 全響應(yīng)齊次解(自由響應(yīng))特解(強(qiáng)迫響應(yīng)) 2、關(guān)于0-和0+值 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，如果包含有(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0狀態(tài)到0狀態(tài)發(fā)生了跳變。,3、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)；暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 4