1、第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),基本知識點(diǎn),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),寫成矩陣形式,考慮只有靜力耦合的情況,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),固有頻率及振型求解,(4.1-11),（1）固有頻率求解,(2)稱為特征行列式，它是2的二次多項(xiàng)式。,展開得,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),式中1和2唯一地決定于振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，稱為系統(tǒng)的固有頻率。1為第一階固有頻率，簡稱為基頻；2為第二階固有頻率。,（2）陣型求解,用 和 表示對應(yīng)于1的值，用 和 表示對應(yīng)于

2、2的值。1 , ，2 , 。,將 代入方程特征方程組,特征方程組,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),將 代入特征方程組,成對的常數(shù) 和 與另一對常數(shù) 和 可以確定當(dāng)系統(tǒng)分別以頻率1和2進(jìn)行同步簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)呈現(xiàn)的形狀，稱為系統(tǒng)的固有振型(或主振型)。,可以表示為下列矩陣形式,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),式中 和 稱為振型向量或模態(tài)向量。 為第一階固有振型， 為第二階固有振型。,響應(yīng)求解,在一般情況下，振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)將通過兩個(gè)固有振型的疊加求得，即,式中常數(shù)C1和C2以及相角1和2由初始條件確定。,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)

3、動(dòng),在一般情況下，兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩種不同頻率的固有振動(dòng)的疊加，其結(jié)果通常不再是簡諧振動(dòng)。,在特殊的情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)會按某一個(gè)固有頻率作固有振動(dòng)，其結(jié)果是簡諧振動(dòng)。,初始條件的響應(yīng)，由,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),解得,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),例題1：在下圖所示的振動(dòng)系統(tǒng)中，設(shè)m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型圖。,解：振動(dòng)的微分方程為,(a),設(shè),(b),第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),代入振動(dòng)微分方程組，得,(c),代入m1=m, m2=

4、2m, k1=k2=k, k3=2k，得,上式具有非零解的條件為X1和X2的系數(shù)行列式等于零，即,(d),(e),得特征方程,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),(f),固有頻率為,(g),將 代入式(d) ，有,(h),得,(i),第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),將 代入式(d) ，有,(j),得,(k),故根據(jù)(4.1-15)得到的系統(tǒng)的固有振型為,圖 4.1-2,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),例題2：已知二自由度無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方 程： 求該系統(tǒng)固有頻率、主振型， 并畫主振型圖。,解：由已知得特征方程,第二

5、部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),解特征方程得，,求振型，,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),1 兩自由度系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng),第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),考慮F1(t)和F2(t)為簡諧激勵(lì)，即,響應(yīng)求解,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式,代入微分方程,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),引入記號：,方程可以改寫為,于是有,式中,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),如下圖所示，梁上有一固定轉(zhuǎn)速的馬達(dá)，運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)由于偏心而產(chǎn)生受迫振動(dòng)，激振力 。馬達(dá)的質(zhì)量為m1、梁的質(zhì)量忽略不計(jì)，梁的剛度為k1。通過附加彈簧質(zhì)量（m2,k2)系統(tǒng)可進(jìn)行動(dòng)力消振，試推導(dǎo)消振系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件。,第二部分 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng),2 兩自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng),解：系統(tǒng)的力學(xué)模型見右圖,相應(yīng)的微分方程為,穩(wěn)