1、前言,第 八 章 晶體的能帶結構,從STM得到的硅晶體 表面的原子結構圖,物理學前言之一,材料的性質,大規(guī)模集成電路,半導體激光器,超導,人工微結構,1,8.1 晶體的能帶,一. 電子共有化,晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則 排列的點陣結構。,電子受到周期性勢場的作用。,按量子力學須解定態(tài)薛定格方程。,2,解定態(tài)薛定格方程(略）， 可以得出兩點重要結論：,1.電子的能量是分立的能級;,2.電子的運動有隧道效應。,原子的外層電子(高能級)， 勢壘穿透概率 較大， 電子可以在整個晶體中運動, 稱為 共有化電子。,原子的內層電子與原子核結合較緊,一般 不是 共有化電子。,3,二. 能帶 (ener

2、gy band),量子力學計算表明，晶體中若有N個 原子，由于各原子間的相互作用，對應于 原來孤立原子的每一個能級,在晶體中變 成了N條靠得很近的能級,稱為能帶。,晶體中的電子能級 有什么特點？,4,能帶的寬度記作E ，數量級為 EeV。,若N1023,則能帶中兩能級的間距約10-23eV。,一般規(guī)律：,1. 越是外層電子，能帶越寬，E越大。,2. 點陣間距越小，能帶越寬，E越大。,3. 兩個能帶有可能重疊。,5,離子間距,a,2P,2S,1S,E,0,能帶重疊示意圖,6,三 . 能帶中電子的排布,晶體中的一個電子只能處在某個能帶中的 某一能級上。,排布原則：,1. 服從泡里不相容原理（費米子

3、）,2. 服從能量最小原理,設孤立原子的一個能級 Enl ，它最多能容納 2 (2 +1)個電子。,這一能級分裂成由 N條能級組成的能帶后， 能帶最多能容納 2N(2l +1)個電子。,7,電子排布時，應從最低的能級排起。,有關能帶被占據情況的幾個名詞：,1滿帶（排滿電子）,2價帶（能帶中一部分能級排滿電子） 亦稱導帶,3空帶（未排電子） 亦稱導帶,4禁帶（不能排電子）,2、3能帶，最多容納 6N個電子。,例如，1、2能帶，最多容納 2N個電子。,2N(2l+1),8,一. 布洛赫定理,一個在周期場中運動的電子的波函數應 具有哪些基本特點？,在量子力學建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里

4、淵（Brillouin）等人就致力于研究 周期場中電子的運動問題。他們的工作為 晶體中電子的能帶理論奠定了基礎。,布洛赫定理指出了在周期場中運動的電子 波函數的特點。,8.2（補充） 布洛赫定理 空間,9,在一維情形下，周期場中運動的電子能量E(k) 和波函數 必須滿足定態(tài)薛定諤方程,k -表示電子狀態(tài)的角波數 V( x ) -周期性的勢能函數，它滿足 V( x ) = V( x + n a ) a - 晶格常數 n -任意整數,10,布洛赫定理：,式中 也是以a為周期的周期函數，即 *,注*：關于布洛赫定理的證明，有興趣的讀者 可以查閱固體物理學黃昆原著 韓汝琦改編 （1988）P154,具

5、有(2)式形式的波函數稱為布洛赫波函數, 或布洛赫函數。,滿足（1）式的定態(tài)波函數必定具有如下的特殊形式,11,布洛赫定理說明了一個在周期場中運動的電子 波函數為：一個自由電子波函數 與一個具有 晶體結構周期性的函數 的乘積。, 只有在 等于常數時，在周期場中運動的 電子的波函數才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮怠? 這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的 傾向，又有受到周期地排列的離子的束縛的特點。, 因此，布洛赫函數是比自由電子波函數 更接近實際情況的波函數。, 它是按照晶格的周期 a 調幅的行波。,12,實際的晶體體積總是有限的。因此必須 考慮邊界條件。,設一維晶體的原子數為N,它的線度為 L

6、=Na,則布洛赫波函數 應滿足如下條件,此式稱為周期性邊界條件。,二 . 周期性邊界條件,采用周期性邊界條件以后，具有 N 個晶格點的 晶體就相當于首尾銜接起來的圓環(huán)：,在固體問題中，為了既考慮 到晶體勢場的周期性，又考慮到晶體是有限 的，我們經常合理地采用周期性邊界條件：,13,由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數 的 波數 k 只能取一些特定的分立值。,周期性邊界條件對波函數中的波數是有影響的。,圖 2 周期性邊界條件示意圖,14,左邊為,右邊為,所以,由周期性邊界條件,即周期性邊界條件使 k 只能取分立值：,證明如下:,按照布洛赫定理：,15,k 是代表電子狀態(tài)的角波數, n 是代表電

7、子狀態(tài)的量子數。,對于三維情形, 電子狀態(tài)由一組量子數(nx、 ny、nz)來代表。 它對應一組狀態(tài)角波數（kx、 ky、 kz）。,一個 對應電子的一個狀態(tài)。,16,在 空間中，電子的每個狀態(tài)可以用 一個狀態(tài)點來表示，這個點的坐標是,三. 空間,17,上式告訴我們，沿 空間的每個坐標軸方向， 電子的相鄰兩個狀態(tài)點之間的距離都是 。,圖 3 表示二維 空間每個點所占的面積是 。,因此， 空間中每個狀態(tài)點所占的體積為 。,圖 3 二維 空間 示意圖,18, 8.3 克朗尼格- 朋奈模型 能帶中的能級數目,一 . 克朗尼格- 朋奈模型,能帶理論是單電子近似理論。,布洛赫定理指出，一個在周期場中運動

8、的電子， 其波函數一定是布洛赫函數。,下面我們通過一個最簡單的一維周期場- 克朗尼格- 朋奈（Kroning-Penney）模型來說明 晶體中電子的能量特點。,周期性邊界條件的 引入,說明了電子的狀態(tài)是分立的。,它把每個電子的 運動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動。,現(xiàn)在再來說明電子的能量有什么特點？,回顧：,19,克朗尼格- 朋奈模型是把圖1的周期場簡化為 圖 4 所示的周期性方勢阱。假設電子是在這樣的 周期勢場中運動。,在 0 x a 一個周期的區(qū)域中，電子的勢能為,20,按照布洛赫定理，波函數應有以下形式,式中,即可得到 滿足的方程,將波函數 代入定態(tài)薛定諤方程,21,利用波函數應滿足

9、的有限、單值、連續(xù)等物理 （自然）條件，進行一些必要的推導和簡化， 最后可以得出下式,注*：有興趣的讀者可參閱固體物理基礎 蔡伯熏編（1990）P 268。,式中,而 是電子波的角波數*。,（4）式就是電子的能量 E 應滿足的方程,也是電子 能量 E與角波數 k 之間的關系式。,22,(4)式的左邊是 能量E 的一個較復雜的函數，記作 f(E)；,由于 ， 所以使 的 E 值 都不滿足方程。,下圖5 為 給出了一定的 a、b、U0 數值后的 f(E)：,右邊是角波數 k 的函數。,23,由圖看出，在允許取的 E值（暫且稱為能級）之間， 有一些不允許取的 E值（暫且稱為能隙）。,下面 的圖 6

10、為E k 曲線的某種表達圖式。,24,25,兩個相鄰能帶之 間的能量區(qū)域稱 為禁帶。,晶體中電子的能量 只能取能帶中的數 值，而不能取禁帶 中的數值。,26,E k 曲線與 a 有關、與 U0b 乘積有關。,乘積 U0b 反映了勢壘的強弱。,由于原子的內層電子受到原子核的束縛較大， 與外層電子相比，它們的勢壘強度較大。, 計算表明： U0b 的數值越大所得到的能帶越窄。,所以，內層電子的能帶較窄。 外層電子的能帶較寬。,27, 從 E k 曲線還可以 看出： k 值越大， 相應的能帶越寬。,由于晶體點陣常數 a 越小，相應于 k 值越大。,因此，晶體點陣常數 a 越小，能帶的寬度就越大。 有的

11、能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。,這些都與 8.1 節(jié)“概述”中介紹的結論是一致的。,28,二 . 能帶中的能級數,晶體中電子的能量不能取禁帶中的數值， 只能取能帶中的數值。由 圖 5 可以看出：,第一能帶 k 的取值范圍為,第二能帶 k 的取值范圍為,第三能帶 k 的取值范圍為,每個能帶所對應的 k 的取值范圍都是 * 。,注* ：我們把以原點為中心的第一能帶所處的 k 值 范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的 k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。,29,所以，晶體中電子的能帶中有 N 個能級。,電子在晶體中按能級是如何排布的呢？,電子是費密子，它的排布原則有以下兩條：,（1） 服

12、從泡里不相容原理 （2） 服從能量最小原理,而在 空間每個狀態(tài)點所占有的長度為 ， 因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數）能級數為,每個能帶所對應的 k 的取值范圍都是 。,30,對于孤立原子的一個能級 Enl 按照泡里不相容原理，最多能容納 2（2 l +1）個電子。,在形成固體后，這一能級分裂成 由 N 條能級組成 的能帶了，它最多能容納的電子數為 2N(2l+1)個。,例如，對孤立原子的1S、2S能級,在形成固體后相應 地成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數為 2N個。,對孤立原子的 2P、3P能級, 在形成固體后也相應地 成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數為 6N個。,電子排布時還得按照

13、能量最小原理 從最低的能級排起。,31,孤立原子的最外層電子能級可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來填滿電子的， 在形成固體時，其相應的能帶也填滿了電子。,若孤立原子中較高的電子能級上沒有電子， 在形成固體時，其相應的能帶上也沒有電子。,若原來未填滿電子的， 在形成固體時，其相應的能帶也未填滿電子。,孤立原子的內層電子能級一般都是填滿的， 在形成固體時，其相應的能帶也填滿了電子。,32,排滿電子的能帶稱為滿帶；,排了電子但未排滿的稱為未滿帶（或導帶）；,未排電子的稱為空帶；,（有時也稱為導帶）；,兩個能帶之間的禁帶是不能排電子的。,33,8.4 導體和絕緣體 （conductor insulator）,它們的導電性能不同， 是因為它們的能帶結構不同。,晶體按導電性能的高低可以分為,34,導體,導體,導體,半導體,絕緣體,Eg,Eg,Eg,35,在外電場的作用下，大量共有化電子很 易獲得能量，集體定向流動形成電流。,從能級圖上來看，是因為其共有化電子 很易從低能級躍遷到高能級上去。,E,導體,36,從能級圖上來看