1、1,3.5 洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)展開,已知：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)解析時(shí)，Taylor定理告訴我們， f(z)可展開成冪級(jí)數(shù)。 問題的提出 為了研究函數(shù)在奇點(diǎn)附近的性質(zhì)，需要函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0鄰域上的展開式。 考慮：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開成冪級(jí)數(shù)或展開成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。,2,教學(xué)目的與要求: 了解雙邊冪級(jí)數(shù),了解洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,掌握解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式的求法. 重點(diǎn): 解析函數(shù)的洛朗展式;解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式的求法. 難點(diǎn)：解析函數(shù)的洛朗展式的證明.,3,一、雙邊冪級(jí)數(shù)(含有正、負(fù)冪項(xiàng)),其中 正冪部分稱為 解析

2、(正則)部分， 負(fù)冪部分稱為 主要(無限)部分。,4,收斂區(qū)域(環(huán))的確定： 正則部分 收斂(圓) 區(qū)域?yàn)椋?負(fù)冪部分 令 則 設(shè) 即負(fù)冪部分在|z-z0|=R2的圓外收斂。,5,由此，我們可以用它的正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性來定義原級(jí)數(shù)的斂散性。 規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，并且把原級(jí)數(shù)看成是正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 討論： (1)若R1R2，則雙邊冪級(jí)數(shù)就在R2|z-z0|R1環(huán)狀區(qū)域內(nèi)收斂，環(huán)狀收斂域稱為收斂環(huán)。 雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對且一致收斂，在環(huán)外發(fā)散，在環(huán)上斂散性不定。,6,正則部分 主要部分,收斂環(huán) R2|z-z0|R1,7,雙邊冪級(jí)數(shù)的

3、性質(zhì) 定理1：雙邊冪級(jí)數(shù) 在收斂環(huán)上的和函數(shù)是一解析函數(shù)，并且在任意較小的閉圓環(huán)上 一致收斂。,定理2：設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù) 的收斂環(huán)B為R2|z-z0|R1，則f(z) (1) 在B內(nèi)連續(xù)； (2) 在B內(nèi)解析，且逐項(xiàng)可導(dǎo)； (3) 在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。,8,定理3：設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀區(qū)域R2|z-z0|R1的內(nèi) 部單值解析，則對于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z) 必可展開成 ，其中,稱為洛朗系數(shù)，C為環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線(也可取圓周),9,幾點(diǎn)說明： (1) z=z0(即展開中心)可能不是f(z)的奇點(diǎn)，但 在|z-z0|R2上，存在奇點(diǎn)(即內(nèi)圓以內(nèi)存在 奇點(diǎn))； (2) 洛朗系數(shù) ，

4、因?yàn)?成立的條件是f(z)在C內(nèi)解析； (3) 洛朗展開的唯一性；,10,(4) 如果只有環(huán)心z0是f(z)的奇點(diǎn)，則內(nèi)圓半徑可以任意小，同時(shí)z可以無限地接近z0點(diǎn)，這時(shí)就稱 為f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)的洛朗展開式。若f(z)在z0不解析(不可微或無意義)，而在去心鄰域0|z-z0|內(nèi)解析，則稱z=z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)。若在z0無論多么小的鄰域內(nèi)，總有除z0外的奇點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。 泰勒級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域R2|z-z0|R1內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)也具有。 在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、和函數(shù)是解析函數(shù)。,11,求洛朗展開式的系數(shù)C

5、n 洛朗展開式的系數(shù)Cn用公式計(jì)算是很麻煩的， 由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性，我們可用別的方法，特別是代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法展開，這樣往往更便利(即間接展開法) 。 同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一般不同；由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性可知，同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一定相同。,12,例1 求函數(shù) 在圓環(huán) 的洛朗級(jí)數(shù)。,解,注意,13,用到已有的展開：,作業(yè)題的錯(cuò)誤集中在后半邊的展開，特別是,原因應(yīng)該是沒有熟練掌握已有的展開,14,例2 將函數(shù)在指定去心領(lǐng)域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù) 并指出收斂范圍,我們知道 在原點(diǎn)鄰域上的展開式為,把z全換成1/z,可得到以下結(jié)果:,15,用1-z去換上式中的z得到：,16,即,17,則,用到的已知的展開：,注意,18,我們知道 在原點(diǎn)鄰域上的展開式為,所以,19,注：以上每項(xiàng)分別是,等的展開，繼續(xù)計(jì)算展開相乘得結(jié)果,20,應(yīng)當(dāng)指出,根據(jù)定理公式直接求一個(gè)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是很困難的,必須計(jì)算無窮多個(gè)積分才能得到,而不能像泰勒級(jí)數(shù)通過求導(dǎo)得,到,但是根據(jù)洛朗級(jí)數(shù)的唯一性,可以利用已知函數(shù)如,等的泰勒展開式和冪級(jí)數(shù),的運(yùn)算