1、3.4 反 證 法課件,1.了解反證法是間接證明的一種重要的方法. 2.理解反證法的思考過程與特點，并會用反證法證明數(shù)學問題.,1.本課重點是反證法的思考過程與特點. 2.本課難點是反證法的綜合應用.,1.反證法的概念 在證明數(shù)學命題時，先假定命題結(jié)論的_成立，在這個前 提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相_，或與命題 中的已知條件相_，或與假定相_，從而說明命題結(jié)論 的_不可能成立.由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法 叫反證法.,反面,矛盾,矛盾,矛盾,反面,2.反證法證題的三個步驟 (1)反設(shè)作出否定_的假設(shè)； (2)推理進行推理，導出_； (3)結(jié)論否定_，肯定_.,結(jié)論,矛盾,假設(shè)

2、,結(jié)論,1.用反證法證明命題“若p則q”時，為什么假，q就真？ 提示：在證明數(shù)學命題時，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論q的反面錯誤時，q一定正確. 2.反證法解題的實質(zhì)是什么？ 提示：用反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾，從而證明原命題正確.,3.用反證法證明命題“如果ab，那么 ”時，假設(shè)的 內(nèi)容應是_. 【解析】 與 的關(guān)系有三種情況： 和 所以“ ”的反設(shè)應為“ 或 ”即 “ ”. 答案：,對反證法概念的理解 (1)反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性. (2)反證法中的“反設(shè)”是應用反證

3、法的第一步，也是關(guān)鍵的一步.“反設(shè)”的結(jié)論將是下一步“歸謬”的一個已知條件，“反設(shè)”是否正確、全面，將直接影響下一步的證明.做好“反設(shè)”應正確分清題設(shè)和結(jié)論,對結(jié)論實施正確的否定,對結(jié)論否定后，找出其所有的分類情況.,(3)反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是： 從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果.,用反證法證明否定性命題 【技法點撥】 用反證法證明否定性命題的適用類型 結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比

4、較具體，適合使用反證法.,【典例訓練】 1.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為_. 2.設(shè) a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1- c)a三個數(shù)不可能同時大于 . 【解析】1.恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況：其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))；其二是至少有兩個偶數(shù). 答案：a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù),2.解題流程:,反設(shè),推理,結(jié)論,【互動探究】將題2改為“x,y,z(0，2)，求證：x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1”該如何證明？ 【解題指南】此類問題的常用方法是考慮問題的反面，即“不都”的反面為“都”，可用反證法來處理.,

5、【證明】假設(shè)x(2-y)1且y(2-z)1且z(2-x)1均成立，則 三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)1 由于0 x2，所以0 x(2-x) 同理0y(2-y)1,0z(2-z)1， 三式相乘得0 xyz(2-x)(2-y)(2-z)1 與矛盾，故假設(shè)不成立. x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.,【想一想】求解本題2的關(guān)鍵是什么？另外求解1時常會出現(xiàn)什么錯誤？ 提示：(1)求解本題2的關(guān)鍵是反設(shè)后利用基本不等式推出矛盾，說明假設(shè)錯誤，從而肯定原命題正確. (2)求解本題1時常出現(xiàn)反設(shè)為“a,b,c全為奇數(shù)”的錯誤.,【變式訓練】設(shè)an,bn是公比不相等的兩

6、個等比數(shù)列，cn=an+bn. 證明：數(shù)列cn不是等比數(shù)列. 【解題指南】本命題含有“不是”否定詞，可考慮采用反證法. 【證明】假設(shè)cn為等比數(shù)列， 則當n2時，(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1)，故,設(shè)an,bn的公比分別為p,q(pq). 因為 所以 所以 因為當pq時， 或 ，與 矛盾，所以 cn不是等比數(shù)列.,用反證法證明唯一性命題 【技法點撥】 巧用反證法證明唯一性命題 (1)當證明結(jié)論以“有且只有”，“當且僅當”，“唯一存在”，“只有一個”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明.,(2)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，

7、否則就不是反證法.用反證法證題時，如果欲證明的命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立.,【典例訓練】 1.已知a與b是異面直線，求證：過a且平行于b的平面只有一個. 2.已知：一點A和平面，求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面垂直.,【證明】1.如圖，假設(shè)經(jīng)過直線a且 平行于直線b的平面有兩個，分別為 和，在直線a上取點A，過b和A確 定一個平面. 且與,分別交于過點A的直線c，d， 由b，知bc, 同理，bd，故cd.這與c，d相交于點A矛盾， 故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立.,2.根據(jù)點A和平面的位置關(guān)系，分

8、兩種 情況證明. (1)如圖1，點A在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點 A至少有平面的兩條垂線AB，AC，那么 AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面，平面和平面 相交于經(jīng)過點A的一條直線a. AB平面，AC平面，a，ABa，ACa. 在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線和直線a垂直，這與平面幾何中 “經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線”相矛盾.,(2)如圖2，點A在平面外，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面的兩條垂線AB，AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面，平面和平面相交于直線BC，因為AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.,在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面

9、幾何中“經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線”相矛盾. 綜上，經(jīng)過一點A只能有平面的一條垂線.,【歸納】證明本題1的關(guān)鍵點及證明本題2易忽視的問題. 提示：(1)證明本題1的關(guān)鍵是對原命題的反設(shè). (2)證明本題2時易把第2種情況漏掉而導致錯誤.,【變式訓練】求證：兩條相交直線有且只有一個交點. 【證明】假設(shè)結(jié)論不成立，令兩條相交直線為a和b,即有兩種可能：無交點，不只有一個交點. (1)若直線a,b無交點，那么ab或a與b是異面直線與已知矛盾.,(2)若直線a,b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B,這樣同時經(jīng)過點A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”矛盾. 綜上所述，原假

10、設(shè)不成立. 故兩條相交直線有且只有一個交點. 【誤區(qū)警示】注意明確反面有幾種情況，不要忽略了某種情況.,用反證法證明存在性命題 【技法點撥】 用反證法證明存在性命題的適用類型及常見的“結(jié)論詞”及“反設(shè)詞” (1)適用類型：當命題出現(xiàn)“至多”“至少”等形式時，從已知條件直接推證時，解題方向不明確，不易證明，常采用反證法.,(2)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”,【典例訓練】 1.“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定是_. 2.(2012棗莊高二檢測)已知a,b,c均為實數(shù)，且a=x2- 求證：a,b,c中至少有一個大于0. 【解析】1.該命題的否定有兩部分，一是任何三角形，二是至少有兩個. 答

11、案：“存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角”,2.假設(shè)a,b,c都不大于0，即a0,b0，c0，得a+b+c0. 又 =x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+-3 =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30. 即a+b+c0與a+b+c0矛盾，假設(shè)不成立， 即a,b,c中至少有一個大于0.,【歸納】解答本題2的關(guān)鍵點及本題1易忽視的問題. 提示：(1)解答本題2的關(guān)鍵是正確地反設(shè)，反設(shè)后結(jié)合完全平方式得到矛盾. (2)解答本題1時易忽視對某一部分的反設(shè)而致錯.,【變式訓練】若x0,y0,且x+y2,求證： 與 中至 少有一個小于2. 【解題指南】結(jié)論中有詞語“至少”，宜采用反

12、證法，注意 “至少有一個”的否定形式為“一個也沒有”.,【證明】假設(shè) 與 都大于等于2，即 因為x0,y0，所以1+y2x,1+x2y.+得2+x+y2x+2y,所以x+y2,這與已知條件x+y2矛盾，所以假 設(shè)不成立，所以 與 中至少有一個小于2.,【規(guī)范解答】反證法在實際問題中的應用 【典例】(12分)已知： 且sin(+)=2sin，求證：.,【解題指導】,【規(guī)范解答】用反證法證明該題. 假設(shè)=.(且均為銳角)，2分 由sin(+)=2sin得， sincos+cossin=2sin， 2sincos=2sin， 3分 cos=1. 這與(0， )相矛盾，故. 5分 假設(shè).7分 sinc

13、os+cossin=2sin，,cossin=sin(2-cos)， 即 .9分 由 0,得sinsin0, 10分 又0coscos1，2-cos1, 故 不成立，故. 11分 因為且,. 綜上. 12分,【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見規(guī)范解答過程),【規(guī)范訓練】(12分)已知x,yR，且x2+y2=0，求證：x,y全為 零. 【解題設(shè)問】(1)本題用什么方法證明較簡單？_. (2)本題用反證法證明需注意什么？_的反設(shè).,反證法,注意x,y全為零,【規(guī)范答題】假設(shè)x,y不全為零，則有以下三種可能： (1)x=0,y0，得x2+y2=y20

14、,與x2+y2=0矛盾；4分 (2)x0,y=0,得x2+y2=x20，與x2+y2=0矛盾；7分 (3)x0,y0，得x2+y20與x2+y2=0矛盾. 10分 綜上，假設(shè)不成立，故x,y全為零.12分,1.用反證法證明命題“a,bN，如果ab可被5整除，那么a,b至 少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是( ) (A)a,b都能被5整除 (B)a,b都不能被5整除 (C)a不能被5整除 (D)a,b有1個不能被5整除 【解析】選B.用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有1個”的反面是“一個也沒有”，故選B.,2.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，反設(shè)正確的是( ) (A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60 (B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60 (C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60 (D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60 【解析】選B.“至少有一個不”對立面是“都”故反設(shè)正確的是B.,3.兩直線a與b異面的否定為_. 【解析】兩直線a與b的位置關(guān)系共有a與b異面、相交、平行，故a與b異面的否定為a與b相交或平行. 答案：a與b相交或平行,4.用反證法證明命題“x2-(a+