1、sars的傳播模型摘 要本文在傳統(tǒng)的傳染病sir模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，建立了sars傳播的微分方程模型，即：，其中表示時(shí)刻的sars病人數(shù)， 表示時(shí)刻的傳播率，表示表示時(shí)刻的治愈率，表示表示時(shí)刻的死亡率。本文用、三個(gè)參數(shù)較好地描述了sars的傳播過(guò)程。通過(guò)采集北京6月份以前的數(shù)據(jù)，結(jié)合各個(gè)參數(shù)代表的實(shí)際意義，對(duì)他們分別進(jìn)行指數(shù)或拋物線的回歸分析，得到了、的表達(dá)式，較好地刻劃了sars的傳播規(guī)律，并對(duì)疫情作出了預(yù)測(cè)。與附件模型相比，本模型的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：1、模型采用的是北京本地前期的數(shù)據(jù)，排除了地區(qū)差異帶來(lái)的影響；2、通過(guò)回歸分析的方法使離散的點(diǎn)連續(xù)化；3、用微分方程描述sars的傳播問(wèn)

2、題更加準(zhǔn)確。本文利用matlab和mathematica兩個(gè)數(shù)學(xué)軟件，對(duì)復(fù)雜的微分方程進(jìn)行了求解。僅用6月以前的數(shù)據(jù)，就得到了sars病人數(shù)目隨時(shí)間變化的曲線預(yù)測(cè)圖。預(yù)測(cè)了在6月10日左右疫情將得到緩解，在7月中旬將基本消除。經(jīng)檢驗(yàn)，我們的預(yù)測(cè)與實(shí)際情況是相吻合的。文中調(diào)整、來(lái)對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行控制，畫出提前5天和推后5天進(jìn)行隔離時(shí)病人數(shù)和時(shí)間的曲線，其結(jié)果與實(shí)際情況是相符的?？傊疚慕⒌奈⒎址匠棠Ｐ湍軌蜉^好地對(duì)sars的傳播過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)，并為政府部門提供決策依據(jù)，具有一定的普遍適用性。在分析sars對(duì)經(jīng)濟(jì)的某一方面影響時(shí)，我們選擇了受sars沖擊較大的旅游業(yè)，以北京每月海外旅游的人數(shù)作為考察

3、的對(duì)象?？紤]到疫情對(duì)旅游人數(shù)的影響，本文建立了衰減模型，其中體現(xiàn)了往年旅游人數(shù)的規(guī)律，而則是衰減因子，用來(lái)衡量sars對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響大小的程度（稱為災(zāi)難系數(shù)）。很顯然在sars被控制甚至被消除后，將呈遞減趨勢(shì)，并隨著時(shí)間的增加逐漸趨近于0，為此本文用函數(shù)對(duì)進(jìn)行回歸分析，得到衰減模型的解。經(jīng)過(guò)圖像分析，預(yù)測(cè)出在6月份時(shí)海外旅游人數(shù)僅為正常情況下的75%，而10月份海外旅游人數(shù)將恢復(fù)到原來(lái)的98，年末將完全恢復(fù)。在建模的過(guò)程中，本文采用的圖表多達(dá)13個(gè)，通過(guò)大量的分析對(duì)比，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了很有效的整理，為模型提供了有力的支持。一、問(wèn)題的提出sars是二十一世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。sars的爆

4、發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大的影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。附件一所給的模型是在5月8號(hào)以前的北京疫情數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上、按香港和廣東的數(shù)據(jù)得出參數(shù)，對(duì)北京地區(qū)的疫情進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的。題目要求：(1)根據(jù)北京市疫情的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行分析，評(píng)價(jià)附件一所給模型的合理性和實(shí)用性。(2)要求我們建立自己的模型，說(shuō)明怎樣才能建立一個(gè)預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，分析它比所給模型更優(yōu)越，并對(duì)衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論對(duì)疫情傳播所造成的影響進(jìn)行估計(jì)。(3)根據(jù)sars對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響的參考數(shù)據(jù)，建立

5、一個(gè)sars對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響模型。(4)給報(bào)刊寫一篇通俗短文，說(shuō)明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。二、附件1的模型評(píng)價(jià)附件1的模型采用解析公式分析了北京sars疫情前期的走勢(shì)。在此基礎(chǔ)上，加入了每個(gè)病人可以傳染他人的期限（由于被嚴(yán)格的隔離、治愈、死亡等），并考慮在不同階段社會(huì)條件下傳染概率的變化，然后先分析香港和廣東的情況以獲取比較合理的參數(shù)，最后初步預(yù)測(cè)北京的疫情走勢(shì)?？偟膩?lái)說(shuō)，這種分析問(wèn)題的方式是可取的，因?yàn)樗芨鶕?jù)香港和廣東的參數(shù)較為合理地預(yù)測(cè)北京的疫情的走勢(shì)，但又存在較多的缺陷。具體的評(píng)價(jià)如下：（一）優(yōu)點(diǎn)：1該模型的最大特點(diǎn)是引入了兩個(gè)重要的參數(shù)：每人每天的傳染率k和傳染周期l，這是一種比較方

6、便有效的方法。在前期數(shù)據(jù)擬合的基礎(chǔ)上通過(guò)一定的假設(shè)處理(如在十天內(nèi)對(duì)k的調(diào)整等)對(duì)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行控制。2模型解得的結(jié)果對(duì)sars傳播的前期預(yù)測(cè)效果較好，在整體上也較為合理，能夠基本預(yù)測(cè)其大致的發(fā)展趨勢(shì)。3根據(jù)所得的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的病情預(yù)測(cè)，為醫(yī)療部門的決策提供了參考建議。（二）缺點(diǎn)：1模型為：，是初始病例數(shù)，是天數(shù)，為平均每個(gè)病人每天可傳染的人數(shù)。模型并沒(méi)有考慮病人的死亡和治愈情況，即退出傳染系統(tǒng)的人并沒(méi)有考慮在內(nèi)。2該模型采取的是對(duì)香港與廣東的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出參數(shù)k的值作為北京的模型參數(shù)，這對(duì)預(yù)測(cè)北京的疫情是不合適的。第一，北京市政府采取了比香港、廣東地區(qū)更為得力的措施 ，如嚴(yán)格執(zhí)行隔離措施、

7、對(duì)人口流動(dòng)較快的地方實(shí)行封閉管理、加大衛(wèi)生宣傳力度等第二，北京市與香港、廣東地區(qū)的氣候、環(huán)境、人口流動(dòng)情況不同，如廣東、香港經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)，外來(lái)人口打工的較多，屬于外貿(mào)的中心地帶，氣溫相對(duì)較高，而北京則不同。這兩點(diǎn)直接影響到已感染者的傳染率和病毒的傳染周期，也就是說(shuō)，不管是用香港的或是用廣東的參數(shù)來(lái)作為北京的參數(shù)都是不合理的。3k值的假設(shè)上存在問(wèn)題。在控制前，sars接近于自然傳播時(shí)的傳播模式，此時(shí)k值可以看作一個(gè)常量，這是合理的。而把過(guò)渡期設(shè)為10天，且在10天之內(nèi)僅用三個(gè)離散的k值進(jìn)行過(guò)渡,過(guò)渡期之后,又將k值看作一個(gè)大于0的常數(shù),這一系列的處理都是很不科學(xué)的假設(shè)。我們通過(guò)北京實(shí)際的數(shù)據(jù)進(jìn)行

8、分析得到40個(gè)k值，可以看到過(guò)渡期大于10天而且是連續(xù)變化的過(guò)程，k到最后實(shí)際是趨近于0的（見圖2）。（三）模型檢驗(yàn)：我們把5月8號(hào)以后公布的實(shí)際數(shù)據(jù)(圖中藍(lán)點(diǎn)所示)與他所做的北京日增病例走勢(shì)分析進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)sars疫情發(fā)展的趨勢(shì)大體上與預(yù)測(cè)曲線是相一致，但下降得更陡峭一些（見圖1）。圖1這是由于在后階段，模型中的k是大于0的常數(shù)，而實(shí)際情況是趨近于0的(見圖2)，這就意味著實(shí)際傳播中的后期由于多方面的原因，傳染率已經(jīng)被控制得很小了。圖2以上就是我們對(duì)附件1做出的評(píng)價(jià)。f ：通過(guò)對(duì)附件一中模型的多方面分析，我們對(duì)sars疫情的傳播有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，為了克服附件模型中的諸多不足，更準(zhǔn)確地預(yù)

9、測(cè)sars的傳播趨勢(shì)，更有效地提供預(yù)防控制信息，我們建立了sars傳播的更一般的微分方程模型：三、模型的假設(shè)（一）模型假設(shè):1將sars所有可能的傳播途徑都視為與病源的直接接觸。2在模型的建立中所采用的數(shù)據(jù)都是根據(jù)衛(wèi)生部所公布的數(shù)據(jù)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。3我們把整個(gè)人群看作由兩個(gè)系統(tǒng)組成，傳染系統(tǒng)和非傳染系統(tǒng)。傳染系統(tǒng)完全由活著的sars病人組成，且只有活著的sars病人才具有傳染能力，該病人一旦治愈或一旦死亡我們就看作其退出傳染系統(tǒng)。所有的非sars病人組成非傳染系統(tǒng)，其中每個(gè)成員都有可能被傳染成為sars患者。4非傳染系統(tǒng)的成員一旦受傳染就立即進(jìn)入傳染系統(tǒng)（不考慮潛伏期），并被確診通報(bào)。

10、5在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)治療sars的特效藥。（二）符號(hào)規(guī)定1、 ：在時(shí)刻，具有傳染能力的sars病人；2、 ：第n天, 具有傳染能力的sars病人;3、 ：在t時(shí)刻的傳染率，即在單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；4、 ：第n天的傳染率，即在這一天平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；5、 ：在時(shí)刻，被治愈出院的病人數(shù)；6、 ：第n天，被治愈出院的病人數(shù)；7、 ：在時(shí)刻的治愈率，即；8、 ：時(shí)刻的死亡人數(shù)；9、 ：第n天的死亡人數(shù)；10、 ：在時(shí)刻的死亡率，即；11、 ：時(shí)刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)（包括時(shí)刻死亡人數(shù)和治愈人數(shù)）,即：；12、 ：在時(shí)刻的退出率，即；四、模型的建立與求解在sars爆發(fā)的初期, 由

11、于潛伏期的存在, 社會(huì)對(duì)sars病毒的傳播速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠, 所以政府和公眾并不以為然; 當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)被感染者不斷增加、死亡人數(shù)不斷增多時(shí), 政府開始采取多種措施以控制sars的進(jìn)一步蔓延.所以sars的傳播可以分為三個(gè)階段:（1）、控制前的自然傳播模式階段。（2）、過(guò)渡期階段，即公眾開始意識(shí)到sars的嚴(yán)重性到政府采取隔離措施前的一段時(shí)期內(nèi)。（3）、控制階段，即政府采取隔離治療措施階段。但是, 不管sars傳播處于哪個(gè)階段，影響傳播最本質(zhì)的因素是: 自由傳染者的數(shù)量, 傳播的概率及病毒本身的傳播能力(用和來(lái)衡量)等。所以我們不分階段進(jìn)行考慮。第天的病人是在第天的基礎(chǔ)上加上新增的病人，減去

12、退出傳染系統(tǒng)的病人，即： 移項(xiàng)得 （1）經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，得取微分得到下面連續(xù)的方程 即： 由此得到sars的傳播模型為：這和傳染病sir模型的形式是相統(tǒng)一的。其中、等參數(shù)可以為我們提供所需要的信息。我們只要能夠知道、的表達(dá)式，便可以求解微分方程得到。我們根據(jù)北京地區(qū)6月1號(hào)以前的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，預(yù)測(cè)、以后的走勢(shì)曲線，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)的預(yù)測(cè)。1、 對(duì)于我們根據(jù)北京市疫情的數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）式對(duì) 進(jìn)行描點(diǎn)，得到一些值的散點(diǎn)圖。隨著時(shí)間的推移，隔離措施、醫(yī)療保障、公眾健康意識(shí)的加強(qiáng)，值應(yīng)該急劇減小，并趨近于0。因此對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行指數(shù)回歸分析（利用matlab軟件），便可得到關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù)（附件一模型中的值是離散的）

13、（圖3）。圖3從圖中可以看出，由前40個(gè)點(diǎn)擬合出的指數(shù)函數(shù)與后期的數(shù)據(jù)是吻合的。根據(jù)新增死亡病例和新增治愈病例的數(shù)據(jù)，也可以得到和的散點(diǎn)圖。2、 對(duì)于隨著醫(yī)療水平的提高以及對(duì)sars病毒研究的深入，死亡率將逐漸減少，我們對(duì)的散點(diǎn)圖進(jìn)行指數(shù)回歸分析，即得（如圖4）圖43、 對(duì)于在sars疫情蔓延的初期，傳染系統(tǒng)的人數(shù)較少，由于人們對(duì)sars病毒的了解不多，防危意識(shí)不強(qiáng)，導(dǎo)致疫情的爆發(fā)，傳染系統(tǒng)的人數(shù)急劇增加，治愈率呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)；隨著政府的干預(yù)，人們防危意識(shí)的增強(qiáng)，治愈率開始增加。整體顯示出拋物線的特性，我們對(duì)它進(jìn)行二階回歸分析得到如下結(jié)果（圖5）： 圖5 n 由于實(shí)際數(shù)據(jù)有很大的隨機(jī)性，在回歸

14、分析中，我們很難找到準(zhǔn)確的函數(shù)來(lái)描述相應(yīng)參數(shù)的變化趨勢(shì)，只能從整體上來(lái)預(yù)測(cè)。這是我們遇到的最大的困難。將得到的、代入微分方程，得我們利用mathematica的微分方程數(shù)值求解命令，求得的數(shù)值解，并畫出隨著時(shí)間變化的曲線（圖6）： 圖6x軸的起始坐標(biāo)是4月20號(hào)，y軸表示人數(shù) 五、模型結(jié)果的分析和檢驗(yàn)我們建立的微分方程模型具有一定的普遍適用性，針對(duì)北京地區(qū)而言，我們從以下幾個(gè)方面對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行分析：1)對(duì)模型本身的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)2)與附件模型進(jìn)行比較3)模型參數(shù)的評(píng)價(jià)4)模型的缺點(diǎn)(一) 結(jié)果檢驗(yàn)：a與實(shí)際情況作對(duì)比圖進(jìn)行分析圖7說(shuō)明：x軸的起始坐標(biāo)是4月20號(hào)，y軸表示人數(shù) ，綠色曲線表示我

15、們?cè)诹鲁醯玫降念A(yù)測(cè)曲線；離散點(diǎn)表示實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)由預(yù)測(cè)圖線可以看出： 病情在5月13號(hào)左右達(dá)到“高潮期”，即圖中曲線上升最快到開始平緩的過(guò)渡時(shí)期； 疫情大約在6月10號(hào)之后開始緩解。； 感染系統(tǒng)大概在x=81時(shí)將降到0，因此，我們預(yù)計(jì)北京的sars疫情將在7月份中旬得到基本的消除，即疫情的“最終控制期”；實(shí)際情況是： 病情在5月17號(hào)達(dá)到最高峰，比模型中的結(jié)果晚到四天，誤差較小。值得注意的是，我們所要預(yù)測(cè)的是6月以后的發(fā)展趨勢(shì)，因此這里產(chǎn)生的誤差對(duì)預(yù)測(cè)不會(huì)造成太大影響。 疫情大約在6月13號(hào)之后開始緩解； 由圖上可以看出，在6月之后，預(yù)測(cè)曲線和實(shí)際離散點(diǎn)是非常接近的； 通過(guò)在網(wǎng)上查閱資料，可以

16、知道在7月15日全國(guó)僅有15人sars病人接受治療，可以認(rèn)為疫情已經(jīng)基本消除，和預(yù)測(cè)模型的結(jié)果相吻合。由以上對(duì)比我們知道，建立的微分方程模型較完整地刻劃了sars病人數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，較好地解決了非典疫情的預(yù)測(cè)問(wèn)題。b靈敏度分析根據(jù)對(duì)sir模型的分析知，治愈率的倒數(shù)為平均傳染周期，我們假設(shè)一旦進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則傳染周期將減小。設(shè)提前天進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則原模型修改為：當(dāng)時(shí)，分別代入相應(yīng)的參數(shù)求解得到兩條曲線，與時(shí)進(jìn)行比較，得到下圖：圖8說(shuō)明：藍(lán)色曲線表示提前5天進(jìn)行隔離；紅色曲線表示延后5天進(jìn)行隔離由圖上可以看出按照我們提出的模型，提前采取嚴(yán)格的隔離措施l 能夠大大縮短傳染病的持續(xù)時(shí)間（大約能提前

17、20天）；l 能提前進(jìn)入疫情控制期；l 能對(duì)疫情進(jìn)行有效地控制，這和實(shí)際情況也是完全吻合的。除了及時(shí)采取隔離措施以外，其他能夠縮短平均傳染周期的措施都能夠有效地提高治愈率。如：對(duì)抗病毒藥物的研究，建立緊急防疫機(jī)制，提高醫(yī)療軟、硬件水平等。通過(guò)以上兩個(gè)方面的分析，我們認(rèn)為我們的模型在刻劃sars病毒的傳播方面具有較強(qiáng)的針對(duì)性，可為預(yù)防和控制sars疫情提供可靠、足夠信息。(二) 與附件1的模型進(jìn)行比較a我們?cè)谀Ｐ徒⒌倪^(guò)程中，充分考慮到治愈和死亡這兩因素對(duì)sars病人數(shù)的的影響，引進(jìn)了治愈率和死亡率，使模型更加貼近實(shí)際。b在數(shù)據(jù)有限的情況下，我們沒(méi)有用外地的來(lái)預(yù)測(cè)北京的疫情發(fā)展趨勢(shì)，而是根據(jù)分析

18、參數(shù)應(yīng)有的變化規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)回歸分析，建立了關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。這樣就消除了地區(qū)差異帶來(lái)的影響c正是由于我們找到了關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，因此比附件模型中所采用的離散調(diào)整法要準(zhǔn)確得多。我們的模型較好地解決了附件1的模型所存在的問(wèn)題，并保留了其優(yōu)點(diǎn)，對(duì)預(yù)防和控制sars病毒的傳播具有較好的參考價(jià)值。(三) 模型參數(shù)的評(píng)價(jià)在這里我們對(duì)模型中的做一些討論作的實(shí)際散點(diǎn)圖如下：圖9由于所以， ，畫出其曲線得到如下圖圖10比較圖9和圖10，可以看出，盡管我們沒(méi)有對(duì)進(jìn)行回歸分析，但根據(jù)已求得的關(guān)系式，仍然可以如實(shí)地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化情況。這說(shuō)明模型是合理的。比較圖5和圖10，還可以看出退出率的曲線和治愈

19、率的曲線極其接近，這說(shuō)明，在影響退出率的程度上，治愈率較之死亡率是占主導(dǎo)方面的，這說(shuō)明在這場(chǎng)與sars的斗爭(zhēng)中，我們必將取得最終的勝利！(四)模型的缺點(diǎn)l 模型的假設(shè)沒(méi)有考慮潛伏期的因素，而sars的潛伏期一般為兩周，這是影響模型準(zhǔn)確性的一個(gè)方面；l 沒(méi)有考慮人員流通程度對(duì)疫情發(fā)展趨勢(shì)的影響。七、sars對(duì)北京旅游業(yè)的影響（一）、問(wèn)題提出突如其來(lái)的sars，給我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展產(chǎn)生了不小的沖擊。但是我們應(yīng)當(dāng)看到sars對(duì)經(jīng)濟(jì)的各方面的影響是不同的，比如，醫(yī)療、電信在sars期間獲利明顯，而旅游、餐飲業(yè)遭受重創(chuàng)。我們選取海外游客來(lái)京旅游作為研究對(duì)象，分析sars對(duì)其造成的影響,并作出合理的預(yù)測(cè)。分析

20、參考數(shù)據(jù)，從1997到2002年，每年北京市接待海外旅游人數(shù)的分布在時(shí)間上基本呈同一趨勢(shì)，而且逐年穩(wěn)步上升。2003年1至3月基本上也是按這一趨勢(shì)發(fā)展，但由于遭受sars的影響，從4 月份以后旅游人數(shù)急劇下滑，直到sars得到控制之后，才有所回升，我們的任務(wù)就是定量地刻劃sars疫情對(duì)旅游業(yè)的影響，并預(yù)測(cè)后八月份以后海外來(lái)京旅游人數(shù)。（二）、模型假設(shè)1、 通過(guò)數(shù)據(jù)分析知，在2月份的同期比較中發(fā)現(xiàn)2000年的接待人數(shù)比1999年翻了一番，數(shù)值增長(zhǎng)異常，不符合實(shí)際。故我們上網(wǎng)查資料，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的確有誤，故而更新數(shù)據(jù)，得到一組新的統(tǒng)計(jì)表1：北京市接待海外旅游的人數(shù)(單位:萬(wàn)人)年1月2月3月4月5月6

21、月7月8月9月10月11月12月979.411.316.819.820.318.824.924.924.724.319.418.6989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.99910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.50011.412.2819.625.927.624.323.027.827.328.532.818.50111.512.0120.426.128.928.025.230.828.728.122.220.70213.715.9923.128.929.027.426.032.

22、231.432.6029.222.90315.417.123.511.61.782.618.816.2 表1其中紅色的數(shù)據(jù)為修正后的數(shù)據(jù)，我們假設(shè)修正后的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。2、 通過(guò)查閱網(wǎng)站資料，旅游業(yè)是受非典打擊最大的行業(yè)。因此我們認(rèn)為，海外來(lái)京旅游人員的數(shù)量?jī)H受sars因素的影響。也就是說(shuō)，如果沒(méi)有遭受sars的影響，2003年接待海外的游客人數(shù)按往年的趨勢(shì)發(fā)展。3、 符號(hào)約定 ：在沒(méi)有sars的情況下，預(yù)計(jì)第個(gè)月北京接待海外旅客的人數(shù)，； ：在有sars的情況下，通過(guò)模型求解，得到的今年第個(gè)月北京接待海外旅客的人數(shù)（），其中前8個(gè)月北京實(shí)際接待海外旅客的人數(shù)用表示，后4個(gè)月預(yù)測(cè)的人數(shù)用表示；

23、 ：年分（1997年為第一年份，記1，次往后推，則今年7）； ：用來(lái)衡量疫情對(duì)第個(gè)月北京接待海外旅客人數(shù)的響程度（三）、模型建立與求解在2003年，如果沒(méi)有遭受sars的影響，那么每個(gè)月接待游客的人數(shù)就會(huì)按照往年同期增長(zhǎng)趨勢(shì)增長(zhǎng)，我們假設(shè)每個(gè)月的人數(shù)逐年是線性相關(guān)的，即，那么我們對(duì)前6年12個(gè)月的人數(shù)分別進(jìn)行線性回歸分析，得到一組，通過(guò)這組值預(yù)測(cè)2003年各月份在沒(méi)有sars影響情況下接待的旅游人數(shù)。得到的是一個(gè)散點(diǎn)圖，然后對(duì)其進(jìn)行插值連成光滑的曲線，如圖11 圖11 此圖就是2003年在沒(méi)有遭受sars的影響的情況下，我們預(yù)測(cè)的形勢(shì)圖。由于2003年遭受了sars的影響，這樣我們引進(jìn)衰減因子

24、，建立了如下的模型： （2）式中，即為沒(méi)有遭受sars時(shí)的情況，我們稱為衰減因子?？梢钥吹剑?dāng)比較大時(shí)，越小，對(duì)的衰減就越大，因此我們不妨稱為災(zāi)難系數(shù)?？梢灶A(yù)見的是，在sars疫情被控制和消除以后，將會(huì)隨著的增長(zhǎng)不斷趨近于0，這樣經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，旅游人數(shù)便能恢復(fù)到應(yīng)有水平。我們要預(yù)測(cè)的是9到12月份的旅游人數(shù)，根據(jù)sars的實(shí)際情況我們知道，非典已經(jīng)消除，因此我們可以認(rèn)為是一個(gè)關(guān)于的衰減函數(shù)。我們用6、7、8月的和，根據(jù)（2）式得到3個(gè)樣本，并用一個(gè)衰減函數(shù)對(duì)樣本進(jìn)行非線性的回歸分析，最后得到的結(jié)果是利用上式進(jìn)行預(yù)測(cè)2003年在遭受sars影響之后的發(fā)展趨勢(shì)，如圖12 圖12 說(shuō)明：其中黑色

25、曲線為實(shí)際值，紅色曲線為預(yù)測(cè)值sars對(duì)2003年北京接待海外游客的影響。在圖13中可以反映出來(lái)。圖13 我們將求解過(guò)程中的參數(shù)制成下表（如表2）1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月0.810.681.411.972.242.210.821.741.531.461.841.088.0910.3214.0516.6916.5515.0320.2521.3721.7922.8718.0915.0613.815.0723.8730.0532.2130.5326.0133.5732.4733.07 31.022.6415.417.123.511.61.782.618.816.224.

26、128.528.821.80.740.860.920.960.980.991.00 表2 （四）、模型結(jié)果的分析和檢驗(yàn)觀察表2和圖13，可以看出，1、在沒(méi)有發(fā)生疫情的1月和2月，實(shí)際的接待數(shù)量和按沒(méi)有sars影響情況下的預(yù)測(cè)數(shù)量是相當(dāng)吻合的；2、在疫情的高峰期，接待海外旅游的業(yè)務(wù)幾乎癱瘓3、預(yù)計(jì)在疫情消失之后，接待海外游客數(shù)量將上升，到年底可以恢復(fù)到正常水平。八、短文建立傳染病模型的重要性從“霍亂、天花”的肆虐全球，到“艾滋病”的險(xiǎn)惡傳播。傳染病一直是人們心中的最痛！建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)和控制傳染病的發(fā)展趨勢(shì)，一直是各國(guó)專家和官員關(guān)注的問(wèn)題

27、！盡管sars離我們遠(yuǎn)去，但它留在我們心中的陰影始終揮之不去。在這場(chǎng)與sars的斗爭(zhēng)中，數(shù)學(xué)工作者通過(guò)建立各種預(yù)測(cè)監(jiān)控模型來(lái)描述其傳播發(fā)展趨勢(shì)，為決策部門提供了有效的依據(jù)。建立的sars模型對(duì)疫情的預(yù)測(cè)與控制具有極其重要的作用。通過(guò)模型預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的不同階段，可以有針對(duì)性地為醫(yī)療部門提出意見；也可以調(diào)整模型中的若干參數(shù)進(jìn)行疫情模擬，為疫情控制部門提供有效的決策。模型中相關(guān)參數(shù)的衡量直接與治愈率、隔離措施、公眾的健康意識(shí)等相關(guān)聯(lián)。如果醫(yī)務(wù)水平高、隔離措施得力、公眾的健康意識(shí)強(qiáng)，就可以減小疾病的蔓延。這些都可以用模型來(lái)進(jìn)行模擬和解釋。因此，通過(guò)建立sars傳播的數(shù)學(xué)模型，就可以為預(yù)防和控制疾病提供一些具體的建議：1、強(qiáng)化確診病例和疑似病人的醫(yī)治和隔離。在傳播期間，控制傳染源是相當(dāng)必要的，所以一定要堅(jiān)持不懈地抓好對(duì)他們的治療和管理。2、提高醫(yī)務(wù)人員的醫(yī)療水平，特別是建立治療此種疾病的專門醫(yī)院、增加醫(yī)