1、7.2 動量矩定理,質系中各質點對點O（矩心）的動量矩的矢量和稱為質系對點O的動量矩，也稱角動量 （Angular Momentum）,動量矩是一個向量，它與矩心O的選擇有關。,質系的動量矩,質量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為 ，軸AB轉動角速度為 ，角加速度為 ，A、B軸承間的距離為h，求系統(tǒng)對O點的動量矩。,例1,解,CD桿的角速度向量,兩小球對O點的向徑,小球的速度,由質系的動量矩的定義可得,以兩個小球為研究對象，建立固連坐標系Oxyz,定軸轉動圓盤對圓心的動量矩,問題:如何求平面運動圓盤對質心的動量矩？,質系對質心

2、的動量矩等于質系相對質心平動系的動量矩，質心速度沒有貢獻。, 質點的絕對速度,質系對質心的動量矩, 相對質心平動系速度,平面運動圓盤對質心的動量矩,可見：平面運動圓盤對質心的動量矩等于圓盤以同樣角速度繞質心作定軸轉動的動量矩。,問題：如何求圓盤對水平面上一點的動量矩？,對兩點動量矩之間的關系,例2,一半徑為r的勻質圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質心的轉動慣量為JO，角速度為，試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。,解：,對任意點的動量矩定理,下面介紹兩種常用的特殊情況：,對固定點的動量矩定理,質系對固定點A的動量矩的變化率等于作用在質系上的外力系對A點的主矩。,剛體對定軸z的動量矩：,

3、質系對定軸z的動量矩定理：,剛體定軸轉動運動微分方程,給定MOz用此方程求解剛體轉動規(guī)律。,給定剛體轉動規(guī)律不能用此方程求解約束反力?？捎脛傮w一般運動的動力學方程(6個)求解。,質量均為m的A和B兩人同時從靜止開始爬繩。已知A的體質比B的體質好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達頂端并求繩子的移動速率u。,例3,解,取滑輪與A和B兩人為研究對象，系統(tǒng)對O點動量矩守恒：,設繩子移動的速率為u,解,動量矩守恒,當外力系對某固定點的主矩等于零時，質系對于該點的動量矩保持不變。,當外力系對某固定軸的合力矩等于零時，質系對于該軸的動量矩保持不變。,實例分析,通過改變轉動慣量來

4、控制角速度。 衛(wèi)星展開太陽能帆板有一定消旋作用。,實例分析,芭蕾舞演員,花樣滑冰運動員,起旋、加速、減速、停止的分析,質系對質心平動系各軸的動量矩的變化率等于外力對相同坐標軸的合力矩。,Cxyz為質心平動系。,質系對質心C的動量矩的變化率等于作用在質系上的外力對同點的主矩。,對質心的動量矩定理,質量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為 ，軸AB轉動的角速度為，角加速度為零，A、B軸承間距離為h，求作用軸上的力矩及 A、B軸承的約束反力。,例4,由質系的質心運動定理得,外力對O點的主矩為,質系對定點的動量矩定理：,解,利用例1的結

5、果,討論：設作用軸AB上主動力矩為M(t)，求約束反力。,討論,設作用軸AB上的主動力矩為M(t)，求約束反力。,對質心的動量矩守恒,當外力系對質心的主矩等于零時，質系對于質心的動量矩保持不變。,當外力系對質心平動系某軸的合力矩等于零時，質系對于該軸的動量矩保持不變。,實例分析,花樣滑冰：起旋、加速,實例分析,衛(wèi)星姿態(tài)控制：動量矩交換,討論,問題：動量輪的安裝必須通過衛(wèi)星質心嗎？,衛(wèi)星動量輪的安裝位置,“清華一號衛(wèi)星”動量輪安裝位置,動量輪不在衛(wèi)星質心 ，其對 動量矩為,衛(wèi)星對質心動量矩為,系統(tǒng)對質心動量矩為,這里討論平面情況，三維情況可以類似地討論。,衛(wèi)星動量輪的安裝位置(續(xù)),安裝在質心時

6、,其中 為動量輪相對衛(wèi)星的角速度,記系統(tǒng)總轉動慣量為 ，有,系統(tǒng)對質心的總動量矩結果完全一致！ 姿態(tài)控制（通過調整動量輪的相對角速度， 控制衛(wèi)星的角速度和姿態(tài)角）效果一樣！,實例分析,貓下落翻身：1/8秒，翻身180度,空翻轉體“旋”,實例分析,體育健身器材,問題：繞豎方向動量矩守恒嗎？,例5,在光滑水平面上放置半徑為R的圓環(huán)，在環(huán)上有一個質量與環(huán)相同的小蟲，以相對環(huán)的等速率v爬行。設開始時環(huán)與蟲都靜止。求環(huán)的角速度。,解：系統(tǒng)質心為C，則,剛體平面運動微分方程,剛體相對質心的動量矩,應用質心運動定理和對質心的動量矩定理,剛體平面運動微分方程,例6,長為l質量為m的均質細桿AB位于鉛垂平面內。

7、開始時桿AB直立于墻面，受微小干擾后B端由靜止狀態(tài)開始沿水平面滑動。求桿在任意位置受到墻的約束反力（表示為 的函數(shù)形式，不計摩擦）。,剛體平面運動微分方程：,(a),(b),(c),解,取 為廣義坐標,解,桿脫離墻的條件：XA = 0,將式(a)和(b)代入(c)：,習題4-30,抽屜寬d，長b，與側面導軌之摩擦系數(shù)均為f。因抽屜較大，在距兩側面為l處裝置了兩個拉手，如圖所示。為了在使用一個拉手時抽屜也能順利抽出，各尺寸應如何選擇？ 從動力學角度研究一下？,開始抽屜與側壁不接觸，抽屜既平動又轉動,抽屜很快與側壁接觸，停止轉動，但保持平動,是抽屜被拉出的必要條件。,充分條件是什么？充分必要條件是

8、什么？,有同學得到充分必要條件是,進一步討論,設A為側壁上固定點。由于主矢量不為零，力系對C點主矩為零，對A點主矩不為零。 由對固定點的動量矩定理可知，抽屜角加速度不為零。 由對質心的動量矩定理可知，抽屜角加速度為零 上述兩條矛盾！為什么？,例7,1. 圓柱體的運動微分方程,圓柱體作平面運動，由剛體平面運動微分方程得：,圓柱體在圓槽上作大幅擺動的非線性運動微分方程,解,2. 圓槽對圓柱體的約束力,3. 微振動的周期,均質桿AB長為l，質量為m，用兩根細繩懸掛。當把B繩突然剪斷時，求桿AB角加速度和A繩中張力。,例8,解,AB桿的動力學方程：,需補充方程后求解,A,B,o,y,x,C,聯(lián)立求解,

9、A,B,o,y,x,C,討論,當突然把繩AB剪斷時，如何補充運動學方程？,例9,質量為m、半徑為R的均質圓盤沿傾角為 的斜面上只滾不滑，如圖所示。試求圓盤的質心加速度和斜面對圓盤的約束力。不計滾動摩阻。,解,取x為廣義坐標,討論,圓盤在自身平面內沿水平地面作純滾動，如果初始時刻輪心速度(角速度)為常數(shù)，則接觸點速度為零，加速度的水平分量也為零，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。在水平方向沒有主動力作用情況下，保持這種純滾動無需摩擦力，完全光滑的接觸也可以。 圓盤在自身平面內沿斜面作純滾動，如果初始時刻輪心速度(角速度)為常數(shù)，則接觸點速度為零，加速度的水平分量也為零

10、，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。如果此后仍然沒有摩擦力，這種純滾動則無法保持，因為重力會使質心加速，但沒有力矩使轉動加快。如果有摩擦力，它既可以加速轉動又可以減緩質心加速，從而保持純滾動。,討論,圓盤在斜面上不打滑的條件,若圓盤將又滾又滑，則補充方程為,討論,對瞬心A點的動量矩定理,由對A點的動量矩定理：,在例6中，對瞬心D的動量矩為：,由對D點的動量矩定理：,討論,對瞬心A點的動量矩定理,雜技演員使雜耍圓盤高速轉動，并在地面上向前拋出，不久雜耍圓盤可自動返回到演員跟前。求完成這種運動所需的條件?(設開始時盤心速度為 ，盤角速度為 ，求 與 應該滿足的關系),例

11、11,解：設任意時刻質心速度為 ，角速度為 ， 圓盤半徑為R，質量為m，與地面摩擦系數(shù)為圓盤與地面接觸點A的速度為,當 時，有,由質心運動定理,由對質心的動量矩定理,可見，如果初始時刻 ，則滑動摩擦力的作用將使 減小，直至 時刻，,當 時，滑動摩擦力也與 同時變?yōu)榱悖⒃诖丝桃院笠恢睘榱恪?可以滾回的條件為 即,因此當 時，由于圓盤在水平方向不受力，而且相對質心的動量矩也為零，因此圓盤將作等速純滾動，即,長為 的均勻桿AB，以鉸固連于A點，如果初始時桿自水平位置無初速度的開始運動， 當桿通過鉛直位置時去掉鉸使桿成為自由體。試分析桿的運動，并求去掉鉸以后，桿質心下降h時，桿轉了多少圈?,例12,解：1)解除約束之前，桿作定軸轉動，對A點動量矩定理：,設 時,再積分一次可得質心C軌跡：,拋物線,2)解除約束之后，桿