1、2、3 極限的運(yùn)算和兩個(gè)重要極限,一、極限的四則運(yùn)算,二、兩個(gè)重要極限,三、無(wú)窮小量的比較,說(shuō)明：記號(hào)“l(fā)im”下面沒(méi)有標(biāo)明自變量的變化過(guò)程，實(shí)際上，下面的定理對(duì)xX0及x都成立。我們只證明xX0的情形。,定理,證,由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得,一、極限的四則運(yùn)算,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.,推論2,有界，,求極限方法舉例,例1,解,小結(jié):,解,商的法則不能用,由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(無(wú)窮小因子分出法),小結(jié):,無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.,例5,解,先變形再求極限.,例6,解,例7,解,

2、左右極限存在且相等,意義：,例8,解,小結(jié),1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;,2、極限求法;,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無(wú)窮小因子分出法求極限; d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,二、兩個(gè)重要極限,(1),注意：,例,解,(2),定義,模式,例4,解,例5,解,小結(jié),1.兩個(gè)準(zhǔn)則,2.兩個(gè)重要極限,迫斂準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 .,三、無(wú)窮小的比較,例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,定義:,例如，,例1,解,證,必要性,充分性,意義：用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式,例如,常用等價(jià)無(wú)窮小:,見(jiàn)課本357頁(yè),例,解,等價(jià)無(wú)窮小代換,定理(等價(jià)無(wú)窮小代換定理),證,例,解,若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限,不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.,切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.,注意,例,解,例,解,解,錯(cuò),例6,解,另解:,小結(jié),1、無(wú)窮小的比較,反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.,2、等價(jià)無(wú)窮小的代換:,求極限的又