1、 考點(diǎn) 21 直線、平面之間的位置關(guān)系考點(diǎn) 21 直線、平面之間的位置關(guān)系 1.（2010湖北高考文科4）用a，b，c表示三條不同的直線，y表示平面，給出下列命題： 若ab，bc，則ac； 若ab，bc，則ac； 若ay，by，則ab； 若ay，by，則ab. 其中真命題的序號(hào)是（ ） （A）（B）（C） （D） 【命題立意】本題主要考查立體幾何中的線線、線面關(guān)系，考查考生的邏輯推理和空間想象能力 【思路點(diǎn)撥】空間中線線平行具有傳遞性，線線垂直不具有傳遞性，線面平行不具有傳遞性. 【規(guī)范解答】選 C.由空間直線的平行公理知正確；ab，bc時(shí)，a與c可以平行、相交也可以異 面，故錯(cuò)；ay，by時(shí)

2、，a與b可以平行、相交也可以異面，故錯(cuò)；由直線與平面垂直的性質(zhì) 定理知正確. 2. （ 2010 江 西 高 考 文 科 ）如 圖 ，M是 正 方 體 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中點(diǎn)，給出下列命題 過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB， 11 BC都相交； 過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB， 11 BC都垂直； 過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB， 11 BC都相交； 過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB， 11 BC都平行. 其中真命題是：（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查空間中線與線的位置關(guān)系、線與 面的位置關(guān)系，考查空間想象力 【思路點(diǎn)撥】由線與線、

3、線與面關(guān)系定理直接判斷. 【規(guī)范解答】選 C.如圖：設(shè),P N分別為 1 AA， 1 CC的中點(diǎn)， 則平面ABNM I平面 11 BC MPEF,這個(gè)交線是唯一的， 且 11 ,EFBAF EFBCEII.正確. 這條唯一成立的直線是 1 DD,正確；顯然平面 11 ADC B, 平面 BDD1B1等與直線AB， 11 BC都相交，錯(cuò)誤;這樣的唯 一平面是過M且與上、下底面都平行的平面，正確.故選 C. 3.（2010全國(guó)高考卷文科6）直三棱柱 111 ABCA BC中，若90BAC， 1 ABACAA， 則異面直線 1 BA與 1 AC所成的角等于（ ） (A)30o (B)45o (C)6

4、0o (D)90o 【命題立意】本小題主要考查直三棱柱 111 ABCA BC的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角 的求法. 【規(guī)范解答】選 C. 如圖：延長(zhǎng)CA到D，使得ADAC，連結(jié) 1 ,AD BD,則 11 ADAC為平行四邊形， 1 DAB就是異面直線 1 BA 與 1 AC所成的角， 又三角形 1 ADB為等邊三角形， 1 60DAB o. 【方法技巧】求兩條異面直線所成的角的方法： （1）兩條異面直線所成的角，是借助平面幾何中的角的概念予以定義的，是研究空間兩條直線的基礎(chǔ). （2） “等角定理”為兩條異面直線所成角的定義提供了可能性與唯一性，過空間任一點(diǎn)，引兩條直線分別 平

5、行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無關(guān). （3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積公式： | ,cos ba ba ba 求解. 4.（2010全國(guó)高考卷理科7）正方體ABCD 1111 ABC D中， 1 BB與平面 1 ACD所成角的余弦值 為（ ） (A) 2 3 (B) 3 3 (C) 2 3 (D) 6 3 【命題立意】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，突出考查學(xué) 生的空間想象能力和運(yùn)算能力. 【思路點(diǎn)撥】 畫出正方體圖形，利用輔助線并結(jié)合正方體的性質(zhì)，找到線面垂直關(guān)系確定B 1 B與平面AC 1 D所成角. 【

6、規(guī)范解答】選 D.設(shè)上下底面的中心分別為 1, OO；如圖：則 1 OO 1 BB， 1 O O與平面 1 ACD所成角就是 1 BB與平面AC 1 D所成角， . 1 11 1 O O16 cosO OD OD36 2 【方法技巧】求立體幾何中的線面角的方法： （1）定義法：先作出斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影的夾角就是斜線與平面所成的夾角，然后在直 角三角形中，求出這個(gè)角的某種函數(shù)值， 最后求出這個(gè)角. （2）公式法：利用公式 21 coscoscos （3）向量法： 21 coscoscos | sin ABn ABn 5.（2010全國(guó)高考卷文科8）已知三棱錐SABC中，底面ABC為

7、邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形， SA垂直于底面ABC，3SA ,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（ ） (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【命題立意】本題考查線面角的概念及其求法. 【思路點(diǎn)撥】先找到與面SBC垂直的平面，再作出該平面的垂線，找 到直線AB在平面SBC上的射影，然后作出所求的線面角求解. 【規(guī)范解答】 選 D，如圖： 取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)SD ，AD， 過A作AESD，連結(jié)BE,則ABE即所求， 3SA ,2ABBCAC, 所以3,1.5ADAE, 3 sin 4 ABE. 【方法技巧】正確作出線面角是解決此類問題的關(guān)鍵,作線面角的方法是先找到平

8、面的垂線，可以利用面 面垂直的性質(zhì)，過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)向另一平面作交線的垂線，這樣就找到該斜線在平面內(nèi)的射影，從而找 到線面角.在求角的函數(shù)值時(shí)注意計(jì)算要準(zhǔn)確. 6.（2010江西高考理科）過正方體 1111 ABCDABC D的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱 1 ,AB AD AA所成的角都相等，這樣的直線l可以作( ). (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)4 條 【命題立意】本題主要考查空間中線面關(guān)系，空間角的概念，考查考生的空間想象能力 【思路點(diǎn)撥】建立空間想象能力是關(guān)鍵. 【規(guī)范解答】 選第一類：過點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線 1 AC；第二類：在圖形外部和 每條棱的外

9、角和另 2 條棱夾角相等，有 3 條，合計(jì) 4 條. 故選 D. 7.（2010重慶高考文科9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)（ ）. (A)只有 1 個(gè) (B)恰有 3 個(gè) （C）恰有 4 個(gè) （D）有無窮多個(gè) 【命題立意】本小題考查異面直線、空間距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查推理論證能力，考查 數(shù)形結(jié)合的思想方法. 【思路點(diǎn)撥】把兩條異面直線放在一個(gè)幾何模型內(nèi)，尋找符合題意的點(diǎn). 【規(guī)范解答】選 D.如圖：在正方體 1111 ABCDABC D 中， 直線AB與直線 11 BC是兩條互相垂直的異面直線， 則符合題意的點(diǎn)有正方體的中心O， 點(diǎn) 1 A， 點(diǎn)C ， 1 BB的中點(diǎn)

10、M等 4 個(gè)點(diǎn) ； 進(jìn)一步思考， 在平面 11 ABB A中，到點(diǎn) 1 B的距離就是到直線 11 BC的距離，所 以問題可以轉(zhuǎn)化為在平面 11 ABB A中，到定點(diǎn) 1 B的距離等于到定直線AB的 距離的點(diǎn)P的軌跡是拋物線，所以符合題意的點(diǎn)有無數(shù)個(gè). 【方法技巧】構(gòu)造幾何模型正方體，可以簡(jiǎn)捷解答. 8.（2010重慶高考理科0）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行 于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是( ). (A)直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 【命題立意】本小題考查立體幾何中的線線、線面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力，考查圓錐曲線的定義 和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)化與化

11、歸的思想. 【思路點(diǎn)撥】把空間問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上，抓住互相垂直的兩條異面 直線的距離是定值，利用空間幾何體模型，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行 推導(dǎo). 【規(guī)范解答】選 D.異面直線 1 l， 2 l是已知互相垂直的異面直線，以正方體為模型，如圖所示，設(shè) 1 l， 2 l 的距離是a，PAPBh，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)( , )P x y，那么 22 ,xPA yPBa，所以 22 yxa，所以 222 xya，點(diǎn) P 的軌跡為雙曲線. 【方法技巧】借助于正方體這個(gè)模型是解題的關(guān)鍵，注意到兩條異面直線之間的距離為定值，尋找等量關(guān) 系PAPB和 222 PBPCBC即可求出軌跡方程. 9.（2010全

12、國(guó)高考卷理科11） 到正方體 1111 ABCDABC D的三條棱 AB,CC1， A1D1所在直線的距離 相等的點(diǎn)( ). （A）有且只有 1 個(gè) （B）有且只有 2 個(gè) （C）有且只有 3 個(gè) （D）有無數(shù)個(gè) 【命題立意】本題考查了空間直線、平面間的距離. 【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用距離公式求解. 【規(guī)范解答】 選 D，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直 角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)( , , )M x y z，由點(diǎn)M分別作 111 ,AB CC AD的垂線，垂 足分別為 123 ,M MM，則 123 (1, ,0),(0,1, ),( ,0,1)MyMz Mx，根據(jù)兩點(diǎn) 間距離

13、公式，得方程組 222222 (1)(1)(1)xzxyyz，顯然 xyz時(shí)這個(gè)方程恒成立，即這個(gè)方程組有無窮多組解，故這樣的點(diǎn)有無窮多個(gè). 【方法技巧】利用方程思想求解.方程組 222222 (1)(1)(1)xzxyyz中的每個(gè)方程都是雙曲 拋物面的方程，本題中符合要求的點(diǎn)的集合就是兩個(gè)雙曲拋物面的交線.在一些錯(cuò)誤解答中認(rèn)為其軌跡為 柱面或者是平面是本質(zhì)性的錯(cuò)誤.這個(gè)題作為選擇題，命題者的目的是考查考生空間想象能力和直覺猜想 能力. 10.（2010全國(guó)高考卷理科9）已知正四棱錐SABCD中，2 3SA ，那么當(dāng)該棱錐的體積最 大時(shí)，它的高為（ ）. （A）1 （B）3 （C）2 （D）3

14、 【命題立意】本題考查了立體幾何棱錐的體積計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用. 【思路點(diǎn)撥】列出關(guān)于棱錐高的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 【規(guī)范解答】 選 C，如圖：設(shè)棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a, 則 222 2 ()(2 3) 2 ah, 22 2(12)ah， 2 1 2(12) 3 Vh h， 2 28Vh ，令0V ， 得2h 時(shí)棱錐的體積最大. 11.（2010江西高考理科）如圖，在三棱錐OABC中，三條 棱,OA OB OC兩兩垂直，且OAOBOC，分別經(jīng)過三條棱,OA OB OC 作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為 123 ,S SS，則 123 ,S SS的大 小 關(guān)系為_ 【命題立意

15、】本題主要考查棱錐的基本知識(shí)，考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查面積和體積的問題，考查 兩數(shù)大小的比較，考查空間想象力 【思路點(diǎn)撥】先確定截面的位置，如圖： ,OAOB OAOC,OABOC 平面. 即OA為底面BOC的高，則 1 3 A OBCBOC VSOA , 過棱OA的截面若要平分三棱錐的體積，只要平分底面即可， 故取BC的中點(diǎn)D,則截面AOD平分三棱錐的體積.過棱,OB OC的截面同理. 再確定截面面積，最后比較大小. 【規(guī)范解答】依次取ABCABC,的中點(diǎn)FED,，則截面三角形COFRtBOERtAODRt,所在平面 均平分三棱錐的體積，設(shè)cOCbOBaOA,，則 21 SS 22 1

16、 22 1 2222 ca b cb a = 4 22222222 cbbacaba ，又因?yàn)镺AOBOC ，即 cba ，所以 0 21 SS，即 21 SS .同理可得 32 SS . 【答案】 321 SSS. 【方法技巧】為了便于計(jì)算，可取特殊值，如3,2,1OAOBOC. 12. (2010四川高考理科15）如圖，二面角l 的大小是 60， 線段AB.Bl， AB與l所成的角為 30.則AB與平面所成的角的正弦值是 . 【命題立意】本題考查了空間幾何體的二面角，線面角的求法問題. 【思路點(diǎn)撥】 首先作出AB與平面所成的角，二面角l 的平面角，然后利用具有已知條件的直角 三角形求邊.

17、【規(guī)范解答】如圖：過A點(diǎn)作AO,垂足為O，連結(jié)AO，則ABO就是AB與平面所成的角. 再過O作OCl,垂足為C，連結(jié)BC，則ACO就是二面角 l 的平面角.即60ACO ，設(shè) ABa，在Rt ACB中， 30ABC ,sin30 2 a ACAB ， 在Rt AOC， 3 sin60 4 AOACa . 在Rt AOB中， 3 sin 4 AO BAO AB sinABO 【答案】 3 4 【方法技巧】本題主要利用三垂線定理及其逆定理把要求的角作出來再求解. 13. （2010 全國(guó)卷理科19 ）如圖，四棱錐SABCD中， SDABCD 底面， AB/DC，ADDC，1ABAD, 2DCSD，

18、 E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC. （1）證明：2SEEB； （2）求二面角ADEC的大小 . 【命題立意】 “似曾相識(shí)燕歸來”. 本小題主要考查空間直線與直線、 直 線與平面、 平面與平面的位置關(guān)系， 二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力立體 幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況，命題人在這里一定會(huì) 照顧雙方的利益.學(xué)生在備考中也應(yīng)注意這一點(diǎn)，兩種方法都應(yīng)重視，不可偏頗. 【思路點(diǎn)撥】本題很常規(guī)，給人感覺很熟悉，尤其給出，底面ABCD為直角梯形，SDABCD 底面， 這就為解答提供很大的方便，大部分考生會(huì)考慮到用建立空間直角

19、坐標(biāo)系，運(yùn)用向量解答.再者，此題與 2007 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷第 19 題，2009 全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷第 18 題非常類似，給人似曾相識(shí)的感覺，如 果考前接觸過這道試題，解決今年的這道考題不會(huì)有太大的困難. 【規(guī)范解答】方法一：(1)連結(jié)BD,取DC的中點(diǎn)G,連結(jié)BG,由此知1DGGCBG,即DBC 為直角三角形,故BCBD,又SDABCD 平面,故BCSD,所以, BCBDS 平面, BCDE. 作BKEC,K為垂足,因平面EDC平面SBC,故BKEDC 平面,BKDE.DE與平面SBC 內(nèi)的兩條相交直線BK，BC都垂直. DESBC 平面,DEEC,DESB, 22 6SBSDDB, 2 3

20、 SD DB DE SB , 22 6 3 EBDBDE, 2 6 3 SESBEB. 所以, 2SEEB. (2)由 22 5SASDAD,1AB , 2SEEB,ABSA,知 22 12 ()()1 33 AESAAB,又1AD , 故ADE是等腰三角形. 取ED中點(diǎn)F,連結(jié)AF,則AFDE, 22 6 3 AFADDF. 連結(jié)FG,則FGEC,FGDE. 所以,AFG是二面角ADEC的平面角. 連結(jié)AG,2AG , 22 6 3 FGDGDF, 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG . 所以,二面角ADEC的大小為120o. 方法二:以D 為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸

21、的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系Dxyz. 則(1,0,0)A, (1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,2)S. (1)(0,2, 2)SC uu r ,( 1,1,0)BC uu u r .設(shè)平面SBC的法向量為( , , )na b c r ,由,nSB nBC ruu r ruu u r , 得0,0n SCn BC r uu rr uu u r ,.故022 cb,0 ba.令1 a, 則1,1bc，(1,1,1,)n r .又設(shè))0( EBSE, 則) 1 2 , 1 , 1 ( E. 2 (,) 111 DE uuu r ,)0 , 2 , 0( DC. 設(shè)平面CDE的法

22、向量( , , )mx y z u r , 由,mDE mDC u ruuu r u ruuu r , 得0,0m DEm DC u r uuu ru r uuu r . 故0 1 2 11 zyx ,02 y.令2 x,則(2,0,)m u r .由平面EDC平面SBC，mn u rr , 0m n u r r ,02 ,2 .故EBSE2 . (2)由(I)知) 3 2 , 3 2 , 3 2 (E,取DE中點(diǎn)F,則) 3 1 , 3 1 , 3 1 (F, 211 ( ,) 333 FA uu r , 故0 DEFA,由此得DEFA .又 2 42 (,) 3 33 EC uu u r

23、,故0 DEEC,由此得 DEEC ,向量FA與EC的夾角等于二面角CDEA 的平面角. 于是 2 1 | ,cos ECFA ECFA ECFA,所以,二面角CDEA 的大小為 120. 【方法技巧】求二面角的方法 求二面角的方法說明 定義法在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的 垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角 垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面 三垂線定理自二面角的一個(gè)平面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再 由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足） ，斜足 與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為 二面角的平面角. 14. （ 2010 湖 北 高 考 文 科 18 ）

24、 如 圖 ， 在 四 面 體ABOC中 ， ,OCOA OCOB，120AOB o ， 且1OAOBOC. （1）設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且3ABAQ，證明：PQOA； （2）求二面角OACB的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及二面角等，同時(shí)考查考生的空間 想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力 【思路點(diǎn)撥】 （1）由三垂線定理，可先在AB上找一點(diǎn)N，使CNOA,再證明CN PQ即可. （2）可利用三垂線法作出二面角OACB的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空間向量求解). 【規(guī)范解答】方法一：（1）在平面OAB內(nèi)過O點(diǎn)作ONOA交AB于N

25、,連接NC.在等腰AOB中， 0 120AOB120, 0 30OABOBA 30, 在Rt AON中， 0 30OAN30, 1 2 ONAN,在ONB中 000 1209030NOBNBO 120- 90=30 000 1209030NOBNBO ， 1 2 NBONAN.又3ABAQ, Q為AN的中點(diǎn).在CAN中，,P Q分別為,AC AN的 中點(diǎn)，CN PQ.由ONOA，OCOA知 ：OAONC 平面， 又NCONC 平面，OANC， 由CN PQ知：PQOA. （2） 連接,PN PO.由,OCOA OCOB知：OCOAB 平面.又ON平面OAB,OCON.由 ONOA知：ONAOC

26、 平面.OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影.在等腰直角AOC中，P為AC 的中點(diǎn)，ACOP.由三垂線定理知：ACNP.因此OPN為二面角OACB的平面角.在等 腰直角AOC中，1OCOA, 2 2 OP.在Rt AON中， 0 3 tan30 3 ONOA.在Rt PON 中， 22 30 6 PNOPON. 2 15 2 cos 530 6 PO OPN PN . 方法二: (1)取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,OA OC所在直線為x軸， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz（如圖所示） 則 13 (1,0,0),(0,0,1), (,0) 22 ACB , P為AC的中點(diǎn)， 11 ( ,0, ) 22 P

27、. 33 (,0) 22 AB ,又由已知可得 113 (,0) 326 AQAB , 又OQ 13 ( ,0) 26 OAAQ , 31 (0,) 62 PQOQOP , 31 (0,) (1,0,0)0 62 PQ OA .故PQOA .即PQOA. (2)記平面ABC的法向量為 123 ,)nn n n （，則由,nCA nAB 且(1,0, 1)CA uu r ,得 13 12 0 33 0 22 nn nn ，故可取1, 3,1)n （，又平面OAC的法向量為(0,1,0)e ， (1, 3,1) (0,1,0)15 cos, 55 1 n e ，二面角OACB的平面角是銳角，記為，

28、則 15 cos 5 . 【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可通過三垂線定理或線面垂直兩個(gè)途徑來實(shí)現(xiàn)，也可由已有 的線線垂直，借用線線平行實(shí)現(xiàn)新的線線垂直. 2.求二面角的大小一般有以下五種辦法： 三垂線法（過其中一個(gè)半平面內(nèi)某點(diǎn)易作出另一個(gè)半平面的垂線時(shí)最適合用此法）. 垂面法（有一個(gè)平面與二面角的棱垂直時(shí)適合用此法）. 定義法. 射影面積法（無棱二面角或容易找出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)圖形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)適合用此 法）. 向量法. 15.（2010上海高考理科21）如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作 4 個(gè)全等的矩形骨架， 總計(jì)耗用 9.6 米鐵絲，骨架把圓柱底面 8 等

29、份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上 底面）. (1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到 0.01 平方米）; （2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為 0.3 米時(shí)，求圖中兩根 直線 13 AB與 35 A B所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示） 【命題立意】本題是個(gè)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，涉及函數(shù)求最值，立體幾何中 求角等問題 【思路點(diǎn)撥】 （1）建立S關(guān)于r的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值； （2）按求異面直線所成的角的步驟進(jìn)行 【規(guī)范解答】 （1）設(shè)圓柱形燈籠的高為h，則4(

30、42 )9.6rh， 所以1.22hr 所以 22 22(.22 )SSSrrhrrr 側(cè)底 （1.2-2r） 2 2.43rr(00.6)r 所以，當(dāng)4 4 . . 0 0 ) )3 3( (2 2 4 4 . . 2 2 r r時(shí) S 有最大值 最大值為5 51 1. . 1 1) )4 4 . . 0 0( (3 34 4 . . 0 04 4 . . 2 2 2 2 （平方米） （2）由（1）知0.3r 時(shí)，0.6h ， 如圖，連接 135713 ,A A B B B B， 易得 135713 A AB BB B，且相互平行，所以四邊形 1357 A A B B為平行四邊形， 所以 3

31、5 A B 17 AB，且 3517 A BAB，所以 317 B AB為異面直線 13 AB與 35 A B所成的角， 3 33 31 1 B BA AA AR Rt t 中可 得2 23 3 . . 0 0 3 31 1 A AA A，6 6 . . 0 0 3 33 3 B BA A，所以6 63 3 . . 0 0 3 31 1 B BA A；同理可得6 63 3 . . 0 0 7 71 1 B BA A；在 7 71 13 3 B BA AB B 中， 6 63 3. .0 0 3 31 1 B BA A，6 63 3. .0 0 7 71 1 B BA A，6 6 . . 0 0

32、 7 73 3 B BB B，由余弦定理, 可得 3 3 2 2 ) )6 63 3 . . 0 0( (2 2 6 6 . . 0 0) )6 63 3 . . 0 0( () )6 63 3 . . 0 0( ( 2 2 c co os s 2 2 2 22 22 2 7 71 13 31 1 2 2 7 73 3 2 2 7 71 1 2 2 3 31 1 7 71 13 3 B BA AB BA A B BB BB BA AB BA A B BA AB B， 所以 7 71 13 3 B BA AB B 3 3 2 2 a ar rc cc co os s 異面直線 13 AB與 35

33、 A B所成的角為 3 3 2 2 a ar rc cc co os s 【方法技巧】求異面直線所成的角按如下步驟進(jìn)行: （1）作角：通過作輔助線，作出或找到異面直線所成的角； （2）證明：由異面直線所成的角的定義證明前面所作的角是滿足條件的角； （3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（這里僅一句話即可） ； （4）求角：在三角形中求出這個(gè)角的大小 16.（2010湖北高考理科18）如圖, 在四面體ABOC中，OCOA, OCOB, 0 120AOB120， 且OAOB1OC . (1) 設(shè)P為AC的中點(diǎn).證明：在AB上存在一點(diǎn)Q,使PQOA, 并計(jì)算 AB AQ 的值； (2) 求二面

34、角OACB的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的求法等，同時(shí)考查考生的空間 想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力 【思路點(diǎn)撥】 (1)由OCOAB 面,利用三垂線定理在AB上找一點(diǎn)N，使CNOA，過P作PQ NC， 交AB上一點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q.在AOB中即可計(jì)算 AB AQ 的值. (2)由()利用三垂線法作出二面角OACB的平面角，再解直角三角形求出二面角OACB的平 面角的余弦值.(也可利用空間向量求解) 【規(guī)范解答】方法一:(1)在平面OAB內(nèi)過O點(diǎn)作ONOA交AB于N,連接 NC.OCOA,OAONC 平面.NCONC平面, OANC.取

35、Q為AN的中點(diǎn)，則,PQ NCPQOA. 在等腰AOB中， 0 120AOB, 0 30OABOBA , 在Rt AON中， 0 30OAN, 1 2 ONANAQ,在ONB中， 000 1209030NOBNBO ,NBONAQ3 AB AQ . (2)連接,PN PO.由,OCOA OCOB知：OCOAB 平面.又ON平面OAB,OCON.由 ONOA知：ONAOC 平面.OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影.在等腰直角AOC中，P為AC 的中點(diǎn)，ACOP.由三垂線定理知：ACNP.因此OPN為二面角OACB的平面角.在等 腰直角AOC中，1OCOA, 2 2 OP.在Rt AON中， 0 3

36、tan30 3 ONOA.在Rt PON 中， 22 30 6 PNOPON. cos PO COSOPN PN 2 2 30 6 15 5 . 方法二: (1)取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,OA OC所在直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz（如 圖所示） 則 13 (1,0,0),(0,0,1), (,0) 22 ACB , P為AC的中點(diǎn)， 11 ( ,0, ) 22 P. 設(shè)AQAB ,且（0，1） ， 33 (,0) 22 AB ,OQOAAQ =(1,0,0)+ 33 (,0) 22 = 3 (1 2 , 3 ,0) 2 , PQOQOP 1331 (,) 2222 ,0PQOAPQ OA ,即 13 0 22 ， 1 3 ，因此存 在點(diǎn) 13 ( ,0) 26 Q,使得3 AB PQOA AQ 且. (2) 記 平 面ABC的 法 向 量 為 123 ,)nn n n （， 則 由,nCA nAB 且(1,0, 1)CA uu r ,