1、1設函數(shù) f(x)ax(1a2)x2，其中 a0，區(qū)間 Ix|f(x)0 (1)求 I 的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為 )； (2)給定常數(shù) k(0,1)，當 1ka1k 時，求 I 長度的最小值 解：(1)因為方程 ax(1a2)x20(a0)有兩個實根 x10，x2， a 1a2 所以 f(x)0 的解集為x|x1xx2 因此區(qū)間 I，I 的長度為. ( 0， a 1a2) a 1a2 (2)設 d(a)，則 d(a). a 1a2 1a2 1a22 令 d(a)0，得 a1. 由于 0k1，故 當 1ka0，d(a)單調遞增； 當 1a1k 時，d(a)0，d(a)單調遞減 所以當

2、1ka1k 時，d(a)的最小值必定在 a1k 或 a1k 處取得 而1，故 d(1k)d(1k) d1k d1k 1k 11k2 1k 11k2 2k2k3 2k2k3 因此當 a1k 時，d(a)在區(qū)間1k,1k上取得最小值. 1k 22kk2 2(2013淄博模擬)設 f(x) xln x，g(x)x3x23. a x (1)如果存在 x1，x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立，求滿足上述條件的最大整數(shù) M； (2)如果對于任意的 s，t，都有 f(s)g(t)成立，求實數(shù) a 的取值范圍 ，2 解：(1)存在 x1，x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立，等價于g(x1)

3、g(x2)maxM. g(x)x3x23，g(x)3x22x3x. ( x2 3 ) g(x)，g(x)隨 x 變化的情況如下表： x0 ( 0，2 3 ) 2 3 ( 2 3，2 ) 2 g(x)0 g(x)3極小值85 27 1 由上表可知 g(x)ming，g(x)maxg(2)1. ( 2 3 ) 85 27 g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以滿足條件的最大整數(shù) M4. 112 27 (2)對于任意的 s，t，都有 f(s)g(t)成立， ，2 等價于在區(qū)間上，函數(shù) f(x)ming(x)max. ，2 由(1)可知，在區(qū)間上，g(x)的最大值 g(2)1.

4、，2 在區(qū)間上，f(x) xln x1 恒成立，等價于 axx2ln x 恒成立， ，2 a x 記 h(x)xx2ln x，則 h(x)12xln xx，h(1)0. 當 x0；當 1x2 時，h(x)0. 1 2 即函數(shù) h(x)xx2ln x 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間(1,2)上單調遞減，所以 h(x)max (，1) h(1)1，即實數(shù) a 的取值范圍是1，) 3(2013鄭州模擬)設函數(shù) f(x) x3bxc(b，cR) 1 3 (1)若 f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為 y2x1，求 b，c 的值； (2)若 b1，c ，求證：f(x)在區(qū)間(1,2)內存在唯一零點； 1

5、3 (3)若 c0，求 f(x)在區(qū)間0,1上的最大值 g(b) 解：(1)f(x)x2b，所以 1b2，得 b1. 又 f(1)213，所以 bc3，得 c . 1 3 5 3 故 b1，c . 5 3 (2)證明：f(x) x3x . 1 3 1 3 因為 f(1)f(2) 10，所以 f(x)在(1,2)上單調遞增，故 f(x)在區(qū)間(1,2)內存 在唯一零點 (3)f(x) x3bx，f(x)x2b. 1 3 當 b0 時，在0,1上 f(x)0，f(x)在0,1上單調遞增，所以 g(b)f(1) b. 1 3 當 b0 時，由 f(x)0 得 x或 x(舍).bb x0(0，)b b

6、 (，)b f(x)0 f(x)0極小值 由 f(x)0 得 x0 或 x.3b ()當1，即 b 時，g(b)f(0)0；3b 1 3 ()當1，即 0b0， f(x) 1(x0) a x 2a2 x2 根據題意，有 f(1)2，即 2a2a30， 解得 a1 或 a . 3 2 (2)f(x) 1(x0) a x 2a2 x2 x2ax2a2 x2 xax2a x2 ()當 a0 時， 由 f(x)0 及 x0 得 xa； 由 f(x)0 得 0x0 時，函數(shù) f(x)在(a，)上單調遞增，在(0，a)上單調遞減 ()當 a0 及 x0 得 x2a； 由 f(x)0 得 0x2a. 所以當 a0 時，函數(shù) f(x)在(0，2a)上單調遞減，在(2a，)上單調遞增 (3)證明：由(2)知，當 a(，0)時，函數(shù) f(x)的最小值為 f(2a)， 故 g(a)f(2a)aln(2a)2aaln(2a)3a. 2a2 2a g(a)ln(2a)a3ln(2a)2， 2 2a 令 g(a)0，得 a e2. 1 2 當 a 變化時，g(a)，g(a)的變化情況如下表： a ( ，1 2e 2 ) e2 1 2 ( 1 2e 2，0 ) g(a)0 g(a)極大值 所以 a e2是 g(a)在(，0)上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是 g(a)的最 1 2 大值點 所