1、24.1.3 弧、弦、圓心角的關(guān)系,圓的性質(zhì),圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。 圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合。,復(fù)習(xí)回顧,垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦對的兩條弧。,圓心角：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.,O,一、概念,1、判別下列各圖中的角是不是圓心角， 并說明理由。,O,A,B,A,B,探究：若AOB=AOB那么有哪些等量關(guān)系？,閱讀課本P84上面思考中的問題，歸納并總結(jié),如圖，將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角AO

2、B繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置時，顯然AOBAOB，半徑OA與OA重合，OB與OB重合而同圓的半徑相等，OA=OA，OB=OB，從而點(diǎn)A與A重合，B與B重合,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,二、探究,因此，弧AB與弧A1B1 重合，AB與AB重合,在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角_， 所對的弦_； 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧_,弧、弦與圓心角的關(guān)系定理,相等,相等,相等,相等,三、定理,知一推二,思考,定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？,溫馨提示： 由弦相等推出弧相等時， 這里弧一般要求

3、 都是優(yōu)弧或劣弧,1.判斷下列說法是否正確： （1）相等的圓心角所對的弧相等。（ ） （2）相等的弧所對的弦相等。（ ） （3）相等的弦所對的弧相等。（ ）,小試身手,如圖，AB、CD是O的兩條弦 （1）如果AB=CD，那么_，_ （2）如果 ，那么_，_ （3）如果AOB=COD，那么_，_ （4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE與OF相等嗎？為什么？,AB=CD,AB=CD,四、練習(xí),答 ：OEOF 證明： OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RTAOERT COF OEOF,在圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中，有一組量相等，其余各組也相等。,知一推三,證明

4、：, AB=AC, ABC是等腰三角形,又ACB=60，, 是等腰三角形,AB=BC=CA., AOBBOCAOC.,A,B,C,O,五、例題,例1 如圖，在O中， ,ACB=60,求證AOB=BOC=AOC,如圖，AB是O 的直徑， COD=35，求AOE 的度數(shù),解：,六、練習(xí),七、思考,1.如圖，已知AB、CD為O的兩條弦， AD=BC, 求證AB=CD, ,2.如圖，已知OA、OB是O的半徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，M、N分別為OA、OB的中點(diǎn)，求證：MC=NC,提示：證 MOC NOC,3.如圖，BC為O的直徑，OA是O的半徑，弦BEOA, 求證：AC=AE, ,知識延伸,4.已知：如圖，

5、AOB=90，D、C將 AB三等分，弦AB與半徑OD、OC交于點(diǎn)F、E 求證：AE=DC=BF,1、三個元素： 圓心角、弦、弧、,歸納：,2、三個相等關(guān)系：,(1) 圓心角相等,(2) 弧相等,(3) 弦相等,知一得二,弦心距、 知一推三,例1、如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于O,連結(jié)OA,OB,OC, AOB、COB、AOC分別為多少度？,判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由。,若O的半徑為r,求等邊三角形ABC的邊長？,若等邊三角形ABC的邊長a,求O的半徑為多少？,當(dāng)a = 時求圓的半徑?,如圖，已知點(diǎn)O是EPF 的平分線上一點(diǎn)，P點(diǎn)在圓外，以O(shè)為圓心的圓與EPF 的兩邊分別相交

6、于A、B和C、D。 求證：AB=CD,.,做一做,.,P,B,E,D,F,O,A,C,.,P點(diǎn)在圓上，PB=PD嗎？,變式練習(xí)：,P,B,E,D,F,O,P點(diǎn)在圓內(nèi)，AB=CD嗎？,3、已知:如圖,A,B,C,D是O上的點(diǎn)，1=2。求證：AC=BD,3如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN=30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪音影響？試說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？,(2)四邊形ACBD有可能為正方形嗎？若有可能,當(dāng)AB、C

7、D有何位置關(guān)系時，四邊形ACBD為正方形？為什么？,例2、如圖, AB、CD是O的兩條直徑。,(1)順次連結(jié)點(diǎn)A、C、B、D，所得的四邊形是什么特殊四邊形？為什么？,(3)如果要把直徑為30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應(yīng)怎樣鋸？最大橫截面面積是多少？,(4)如果這根原木長15m，問鋸出地木材的體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計(jì)）？,思考 如圖，AOB=2COD，則 AB=2CD嗎？,想一想：點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn),B是弧NA的中點(diǎn),P是直徑MN上一動點(diǎn).O的半徑為1,問P在直線MN上什么位置時,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.,船能過拱橋嗎,解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm, 經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點(diǎn)C.根 據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是 的中點(diǎn),CD就是拱高. 由題設(shè)