1、,二階常系數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第五節(jié)(2),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),時, 有兩個相異實根,方程有兩個線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 當(dāng),時, 特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設(shè)另一特解,代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回

2、 結(jié)束,3. 當(dāng),時, 特征方程有一對共軛復(fù)根,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié):,特征方程:,實根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項,則其通解中必含,對應(yīng)項,特征方程:,推廣:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求

3、初值問題的解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,補充 例題,例4.,解:,由第五節(jié)例1 知, 位移滿足,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始,求物體的運動規(guī)律,立坐標(biāo)系如圖,設(shè) t = 0 時物體的位置為,取其平衡位置為原點建,因此定解問題為,自由振動方程 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 ),機

4、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解的特征:,簡諧振動,A: 振幅, : 初相,周期:,固有頻率,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(僅由系統(tǒng)特性確定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,這時需分如下三種情況進(jìn)行討論:,2) 有阻尼自由振動情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( n k ),小阻尼自由振動解的特征 :,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運動周期:,振幅:,衰減很快,隨時間 t 的增大物體 趨于平衡位置.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 無振蕩現(xiàn)象

5、;,此圖參數(shù):,2) 對任何初始條件,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( n = k ),臨界阻尼解的特征 :,任意常數(shù)由初始條件定,最多只與 t 軸交于一點;,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無振蕩現(xiàn)象 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),特征根:,(1) 當(dāng),時, 通解為,(2) 當(dāng),時, 通解為,(3) 當(dāng),時, 通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),求方程,的通解 .,答案