1、2.2.3 拉氏變換的主要定理 根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換 和反變換，但利用以下的定理，則對(duì)一般的函數(shù)可使運(yùn)算簡(jiǎn)化。 1.疊加定理 拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。 1）齊次性 設(shè) ，則 式中 常數(shù)。 （2）疊加性 設(shè) ， ，則 兩者結(jié)合起來(lái)，就有 這說(shuō)明拉氏變換是線性變換。,（2.18）,（2.19）,2.微分定理 設(shè) 則 式中 函數(shù) 在 時(shí)刻的值，即初始值。 同樣，可得 的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是,（2.20）,式中 ， ，原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在 時(shí)刻的值。 如果函數(shù) 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為零初始 條件），則 各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為 3.復(fù)微分定理 若 可以

2、進(jìn)行拉氏變換，則除了在 的極點(diǎn)以外， 式中， 。同樣有,（2.21）,（2.22）,一般地，有 4.積分定理 設(shè) ，則 式中 積分 在 時(shí)刻的值。 當(dāng)初始條件為零時(shí)， 對(duì)多重積分是,（2.23）,（2.24）,（2.25）,（2.26）,當(dāng)初始條件為零時(shí)，則 5.延遲定理 設(shè) ，且 時(shí)， ，則 函數(shù) 為原函數(shù) 沿 時(shí)間軸延遲了 ， 如圖2.11所示。,（2.27）,（2.28）,6.位移定理 在控制理論中，經(jīng)常遇到 一類的函數(shù)，它的象函數(shù) 只需把 用 代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù) 坐標(biāo)中， 有一位移 。 設(shè) ，則 例如 的象函數(shù) ，則 的象函數(shù)為 7.初值定理 它表明原函數(shù)在 時(shí)的數(shù)值。 即原函數(shù)

3、的初值等于 乘以象函數(shù)的終值。,（2.29）,（2.30）,8.終值定理 設(shè) ，并且 存在，則 即原函數(shù)的終值等于 乘以象函數(shù)的初值。 這一定理對(duì)于求瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。 9.卷積定理 設(shè) ， ，則有 即兩個(gè)原函數(shù)的卷積分的拉氏變換等于它們象函數(shù)的乘積。 式（2.32）中， 為卷積分的數(shù)學(xué)表示，定義為 10.時(shí)間比例尺的改變,（2.31）,（2.32）,式中 比例系數(shù) 例如， 的象函數(shù) ，則 的象函數(shù)為 11.拉氏變換的積分下限 在某些情況下， 在 處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須 明確拉普拉斯積分的下限是 還是 ，因?yàn)閷?duì)于這兩種下限， 的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號(hào)予以區(qū)分：,（

4、2.33）,若在 處 包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則 因?yàn)樵谶@種情況下 顯然，如果 在 處沒(méi)有脈沖函數(shù)，則有 2.2.4 拉普拉斯反變換 拉普拉斯反變換的公式為 式中 表示拉普拉斯反變換的符號(hào) 通常用部分分式展開(kāi)法將復(fù)雜函數(shù)展開(kāi)成有理分式函數(shù)之 和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的 原函數(shù) 。,（2.36）,1.部分分式展開(kāi)法 在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是 的有理分式 為了將 寫(xiě)成部分分式，首先將 的分母因式分解， 則有 式中， ， ， 是 的根的負(fù)值，稱為 的極 點(diǎn)，按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來(lái)研究。 2. 的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時(shí)的拉氏反變換,，,，,（2.37）,式

5、中， 是待定系數(shù)，它是 處的留數(shù)，其求法如下 再根據(jù)拉氏變換的疊加定理，求得原函數(shù) 例 2.1 求 的原函數(shù)。 解: 首先將 的分母因式分解，則有,（2.38）,即得 3.含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換 如果 有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， ，其余極點(diǎn)均為 各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。將 展成,式中， 和 可按下式求解 即 因?yàn)?（或 ）是復(fù)數(shù)，故式（2.39）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)，令 等號(hào)兩邊的實(shí)部、虛部分別相等，得兩個(gè)方程式，聯(lián)立求解， 即得 、 兩個(gè)常數(shù)。 例 2.2 已知 ，試求其 部分分式。 解: 因?yàn)?（2.39）,、,（2.40）,含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， 和一個(gè) 極點(diǎn) ，故可將 式（2.40）因式分

6、解成 以下求系數(shù) 、 和 。 由式（2.40）和式（2.41）相等，有 用 乘以上式兩邊，并令 ，得到,（2.41）,（2.42）,上式可進(jìn)一步寫(xiě)成 由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，可得 聯(lián)立以上兩式，可求得 為了求出系數(shù) ，用 乘方程（2.42）兩邊，并令 ， 將 代入，得 將所求得的 、 、 值代入（2.41），并整理后得 的 部分分式,查拉氏變換表便得 ， 結(jié)果見(jiàn)式（3.16）。 例 2.3 已知 求 。 解: 將 的分母因式分解，得,利用方程兩邊實(shí)部、虛部分別相等得 解得 ， 所以,，,這種形式再作適當(dāng)變換： 查拉氏變換表得,4. 中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換 設(shè) 有 個(gè)重根，則 將上式展開(kāi)

7、成部分分式 式中， ， ， ， 的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況下相同。 ， ， ， 的求法如下：,（2.43）,例 2.4 設(shè) ，試求 的部分分式。 解: 已知 含有2個(gè)重極點(diǎn)，可將式（2.45）的分母因式分解得 以下求系數(shù) 、 和 。,(2.44）,（2.45）,（2.46）,、,將所求得的 、 、 值代入式（2.46），即得 的部分 分式 查拉氏變換表可得 。 例 2.5 求 的拉氏反變換。 解: 將 展開(kāi)為部分分式,上式中各項(xiàng)系數(shù)為 于是 查拉氏變換表，得,應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于在 分母中包含有較高階次多項(xiàng)式的復(fù)雜函 數(shù)，用人工算法進(jìn) 行部分分式展開(kāi)則相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)力。這種情況 下，采用MATLAB工具就方

8、便多了。 5.用MATLAB展開(kāi)部分分式 (1) 概述 MATLAB是美國(guó)Math Works公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí) 的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件，其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力和完美 的圖形可視化功能，使得它成為國(guó)際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算 機(jī)工具。 SIMULINK是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是 MATLAB的一個(gè)工具箱，它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段， 它不需要過(guò)多地了解數(shù)值問(wèn)題，而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、分析與 設(shè)計(jì)。其良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和 工程界所采用。 (2) 用MATLAB進(jìn)行部分分式展開(kāi),MATLAB有一個(gè)命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展開(kāi)式。

9、 設(shè)s 的有理分式為 式中 （i= ）和 （j= ）的某些值可能為零。 在MATLAB的行向量中，num和den分別表示F(s)分子和分母的 系數(shù)，即 num= den= 1 命令 MATLAB將按下式給出F(s)部分分式展開(kāi)式中的留數(shù)、極點(diǎn)和余 項(xiàng)：,r,p,k=residue(num,den),上式與式（2.37）比較，顯然有p(1)=- ，p(2)=- ， p(n)=- ；r(1)= ,r(2)= ，r(n)= ；k（s）是余項(xiàng)。 例2.6 試求下列函數(shù)的部分分式展開(kāi)式 解：對(duì)此函數(shù)有 num=1 11 39 52 26 den= 1 10 35 50 24 命令 于是得到下列結(jié)果 r,

10、p,k=residue(num,den) r= 1.0000 2.5000 -3.0000,r,p,k=residue(num,den),0.5000 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 1 則得 如果F(s)中含重極點(diǎn)，則部分分式展開(kāi)式將包括下列諸項(xiàng) 式中，p(j)為一個(gè)q重極點(diǎn)。 例2.7 試將下列函數(shù)展開(kāi)成部分分式,解：對(duì)于該函數(shù)有 num=0 1 4 6 den =1 3 3 1 命令 r,p,k=residue(num,den) 將得到如下結(jié)果： r,p,k=residue(num,den) r= 1.0000 2.0000 3.0000 p=

11、 -1.0000 -1.0000 -1.0000 k= ,所以可得 注意，本例的余項(xiàng)k為零。 2.2.5 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時(shí)，采用下列步驟： (1) 對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變 為 的代數(shù)方程； (2) 解代數(shù)方程， 得到有關(guān)變量的拉氏 變換表達(dá)式； (3) 用拉氏反變 換得到微分方程的時(shí) 域解。 整個(gè)求解過(guò)程如圖2.12所示。,圖2.12 應(yīng)用拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)程,設(shè)系統(tǒng)微分方程為 若 ，初始條件分別為 、 ，試求 。 解: 對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換 利用迭加定理將上式逐項(xiàng)相加，即得方程左邊的拉氏變換 對(duì)方程右邊進(jìn)行拉

12、氏變換,例2.8,得 寫(xiě)成一般形式 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出 是微分方程的特征方程，也 是該系統(tǒng)的特征方程。 利用部分分式將 展開(kāi)為,求待定系數(shù) 、 、 、 、 : 代入原式得,查拉氏變換表得 當(dāng)初始條件為零時(shí)，得 2.3 傳 遞 函 數(shù) 在控制工程中，直接求解系統(tǒng)微分方程是研究分析系統(tǒng)的基 本方法。系統(tǒng)方程的解就是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，通過(guò)方程的表達(dá) 式，可以分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，可以繪出輸出響應(yīng)曲線，直觀地 反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。但是，由于求解過(guò)程較為繁瑣，計(jì)算復(fù)雜 費(fèi)時(shí)，而且難以直接從微分方程本身研究和判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性 能，因此，這種方法有很大的局限性。顯然，僅用微分方程這一 數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)，顯得

13、十分不便。,對(duì)于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的一種數(shù)學(xué)模型，它是 在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的。用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)可以免去求解 微分方程的麻煩，間接地分析 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān) 系，并且可以根據(jù)傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的形狀直接判斷系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)性能，找出改善系統(tǒng)品質(zhì)的方法。因此，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制 理論的基礎(chǔ)，是一個(gè)極其重要的基本概念。 2.3.1 傳遞函數(shù)的概念和定義 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏 變換與引起該 輸出的輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)。圖2.1所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，由二階微分方程式（2.1） 來(lái)描述它的動(dòng)態(tài)特性，即 在所有初始條件均為零的情況

14、下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得,按定義，傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換 為 同樣，在零初始條件下，對(duì)式（2.3）進(jìn)行拉氏變換，可得 圖2.4所示 無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 式（2.47）和式（2.49）表明， 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù) 域中的 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，它僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，而與輸入 、 輸出的形式無(wú)關(guān)。 由式（2.48）可知，如果 給定，則輸出 的特性 完全由傳遞函數(shù) 決定，因此，傳遞函數(shù) 表征了系統(tǒng),（2.47）,（2.48）,（2.49）,本身的動(dòng)態(tài)本質(zhì)。這是容易理解的，因?yàn)?是由微分方程式 經(jīng)過(guò)拉氏變換得來(lái)的，而拉氏變換是一種線性變換，只是將變 量從時(shí)間域變換到復(fù)數(shù)域，將微分方程變換

15、為 域中的代數(shù)方 程來(lái)處理，所以不會(huì)改變所描述的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)本質(zhì)。 必須強(qiáng)調(diào)指出，根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，傳遞函數(shù)是通過(guò)系統(tǒng) 的輸入量與輸出量之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)固有特性的，即以系統(tǒng) 的外部特性來(lái)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部特性，這就是傳遞函數(shù)的基本思 想。之所以能夠用系統(tǒng)外部的輸入-輸出特性來(lái)描述系統(tǒng)內(nèi)部特 性，是因?yàn)閭鬟f函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)使線性定常系統(tǒng)的輸出和 輸入建立了聯(lián)系。傳遞函數(shù)的概念和基本思想在控制理論中具有 特別重要的意義，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不清楚，或者根本無(wú)法弄 清楚它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，借助從系統(tǒng)的輸入來(lái)看系統(tǒng)的輸出，也可 以研究系統(tǒng)的功能和固有特性?，F(xiàn)在，對(duì)系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)觀測(cè) 的方法，已發(fā)展成為

16、控制理論研究方法的一個(gè)重要的分支，這就 是系統(tǒng)辨識(shí)，即通過(guò)外部觀測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)，辨識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及,參數(shù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 式中 系統(tǒng)輸出量； 系統(tǒng)輸入量； ， ， ， 及 ， ， ， 均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 參數(shù)所決定的實(shí)常數(shù)。 設(shè)初始條件為零，對(duì)式（2.50）進(jìn)行拉氏變換，可得系統(tǒng)傳 遞函數(shù)的一般形式,（2.50）,（2.51）,令 式（2.51）可表示為 稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)特征根。特征 方程決定著系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 傳遞函數(shù)的指導(dǎo)思想是通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系 描述系統(tǒng)固有特性。 2.3.2 特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) 根據(jù)多項(xiàng)式定理，系統(tǒng)傳

17、遞函數(shù)的一般形式即式（2.51）， 也可寫(xiě)成,（2.52）,（2.53）,式中， 的根 ，稱為傳遞函數(shù)的 零點(diǎn)； 的根 稱為傳遞函數(shù)的極 點(diǎn)。顯然，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn) 的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)諸參數(shù) ， ， 和 ， ， ， 即取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。一般地，零點(diǎn)和極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)（包括 零）或復(fù)數(shù)。若為復(fù)數(shù)， 必共軛成對(duì)出現(xiàn)，這是 因?yàn)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)均為 正實(shí)數(shù)的緣故。把傳遞 函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在 復(fù)平面上的圖形，稱為 傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分 布圖，如圖2.13所示。 圖中零點(diǎn)用“”表示， 極點(diǎn)用“”表示。,式中，,的根,的根,，,，,和,，,，,圖2.13 的零、 極點(diǎn)分布圖,

18、2.3.3 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明,(1) 傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性 積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。 (2) 傳遞函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)值和相應(yīng)微分方程中各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng) 相等，完全決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。如前所述，傳遞函數(shù)是系 統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)本身是 的復(fù)變函數(shù)。 (3) 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前， 系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)是處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的。因此，傳遞 函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 (4) 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，所 以只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述，而且系統(tǒng)內(nèi)部的中間

19、變 量的變化情況，傳遞函數(shù)也無(wú)法反映。 (5) 當(dāng)電器元件串聯(lián)時(shí)，若兩者之間存在負(fù)載效應(yīng)，必須將 它們歸并在一起求傳遞函數(shù)；如果能夠做到它們彼此之間沒(méi)有負(fù) 載效應(yīng)(如加入隔離放大器)，則可分別求傳遞函數(shù)，然后相乘。,2.3.4 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),機(jī)電控制系統(tǒng)一般由若干元件以一定形式連接而成，這些元 件的物理結(jié)構(gòu)和工作原理可以是多種多樣的，但從控制理論來(lái) 看，物理本質(zhì)和工作原理不同的元件，可以有完全相同的數(shù)學(xué)模 型，亦即具有相同的動(dòng)態(tài)性能。在控制工程中，常常將具有某種 確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán) 節(jié)，經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)則稱為典型環(huán)節(jié)。這樣，任何復(fù)雜的系統(tǒng)總 可歸結(jié)為由

20、一些典型環(huán)節(jié)組成，從而給建立數(shù)學(xué)模型、研究系統(tǒng) 特性帶來(lái)方便，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。 1.環(huán)節(jié)的分類 如前所述，線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可用式（2.53）所示的零 極點(diǎn)形式表示，即 假設(shè)系統(tǒng)有 個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)， 對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)， 個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，,對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和 個(gè)零極點(diǎn)，則 把對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零點(diǎn) 和實(shí)數(shù)極點(diǎn) 的因式變換成如下形式 式中 同時(shí)，把對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的因式變換成如下形式 式中,而 式中 于是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式可以寫(xiě)成 式中 系統(tǒng)放大系數(shù)，即,，,（2.54）,由于傳遞函數(shù)這種表達(dá)式含有六種不同的因子，因此，一般 說(shuō)來(lái)，任何系統(tǒng)都可以看作是由這六種因子表示的環(huán)節(jié)的串聯(lián)組 合，這六種因子就是前面提到的典型環(huán)

21、節(jié)。 與分子三種因子相對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)分別稱為 比例環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié) 與分母三種因子相對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)分別稱為 積分環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié) 實(shí)際上，在各類系統(tǒng)特別是機(jī)械、液壓或氣動(dòng)系統(tǒng)中均會(huì)遇 到純時(shí)間延遲現(xiàn)象，這種現(xiàn)象可用延遲函數(shù) 描述，其,時(shí)間起點(diǎn)在 時(shí)刻，因而有 所以典型環(huán)節(jié)還應(yīng)增加一個(gè)延遲環(huán)節(jié) 。 2典型環(huán)節(jié)示例 為了方便地研究系統(tǒng)，熟悉和掌握典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型是十 分必要的。下面對(duì)各種環(huán)節(jié)分別進(jìn)行研究。 (1) 比例環(huán)節(jié) 輸出量不失真、無(wú)慣性地跟隨輸入量，且成比例關(guān)系的環(huán) 節(jié)。比例環(huán)節(jié)又稱無(wú)慣性環(huán)節(jié)，其運(yùn)動(dòng)方程式為 式中 、 分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量； 環(huán)節(jié)的比例系數(shù)，等于輸出

22、量與輸入量之比。 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,（2.55）,、,（2.56）,圖2.14所示的齒輪傳動(dòng)副，若忽略齒側(cè)間隙的影響，則 式中 輸入軸轉(zhuǎn)速； 輸出軸轉(zhuǎn)速； 、 齒輪齒數(shù)。 上式經(jīng)拉氏變換后得 則 圖2.15所示數(shù)字運(yùn)算放大器。 圖中 為輸入電壓； 為輸出電壓； ， 為電阻。 已知,、,（2.57）,圖2.14 齒輪傳動(dòng)副,將上式經(jīng)拉氏變換后得 故,圖2.15 運(yùn)算放大器,(2) 慣性環(huán)節(jié) 凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程 形式的方程 顯然，其傳遞函數(shù)為 式中 環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）； 時(shí)間常數(shù)，表征了環(huán)節(jié)的慣性，它和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參 數(shù)有關(guān)。 由于慣性環(huán)節(jié)中含有一個(gè)儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)輸入量突然變化 時(shí)，輸出

23、量不能跟著突變，而是按指數(shù)規(guī)律逐漸變化，慣性環(huán)節(jié) 的名稱就由此而來(lái)。 圖2.16為彈簧 和阻尼器 組成的一個(gè)環(huán)節(jié)，其方程為,（2.60）,傳遞函數(shù)為 式中 為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)， 。,圖2.16 彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié),圖2.17所示的液壓缸驅(qū)動(dòng)剛度系數(shù)為 的彈性負(fù)載和阻尼 系數(shù)為 的阻尼負(fù)載。設(shè)流入油缸的油液壓力 為輸入量，活 塞的位移 為輸出量。液壓缸的作用力為 該力用于克服阻尼和 彈性負(fù)載，即 合并以上兩式，得其 運(yùn)動(dòng)方程式 傳遞函數(shù) 式中 慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)， 。,圖2.17 液壓缸與彈簧和阻尼器組成的環(huán)節(jié),(3) 微分環(huán)節(jié) 凡輸出量正比于輸入量的微分的環(huán)節(jié) 其運(yùn)動(dòng)方程式為 傳遞函數(shù)為

24、 式中 微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。 在工程中，測(cè)量轉(zhuǎn)速的測(cè)速發(fā)電機(jī)實(shí)質(zhì)上是一臺(tái)直流發(fā)電 機(jī)，如圖2.18所示。當(dāng)以發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)角 為輸入量，電樞電壓 為輸出量時(shí)，則有 式中 發(fā)電機(jī)常數(shù),（2.61）,（2.62）,傳遞函數(shù)為 微分環(huán)節(jié)的輸出是 輸入的微分，當(dāng)輸入為 單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出 就是脈沖函數(shù)，這在實(shí) 際中是不可能的。因此， 理想的微分環(huán)節(jié)難以實(shí) 現(xiàn)，它總是與其它環(huán)節(jié)同時(shí)出現(xiàn)。 圖2.19所示為機(jī)械-液壓阻尼器的原理圖。圖中 為活塞面 積， 為彈簧剛度， 為節(jié)流閥液阻， 、 分別為液壓缸左、 右腔油液的工作壓力， 為活塞位移，是輸入量， 為液壓缸位 移，是輸出量。 當(dāng)活塞作位移 時(shí)，液壓缸瞬時(shí)位移

25、 力圖與 相等，但,圖2.18 測(cè)速發(fā)電機(jī),由于彈簧被壓縮，彈簧恢復(fù)力加大，液壓缸右腔油壓 增大， 迫使油液以流量 通過(guò)節(jié)流閥反流到液壓缸左腔，從而使液壓 缸左移，直到液壓缸受力平衡時(shí)為止。 液壓缸的力平衡方程為 通過(guò)節(jié)流閥的流量為 由上兩式得 其傳遞函數(shù)為 式中 時(shí)間常數(shù)， 。,圖2.19 機(jī)械-液壓阻尼器,由此可知，此阻尼器為包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)， 此系統(tǒng)也稱為慣性微分環(huán)節(jié)。僅當(dāng) 時(shí)， ，才近 似成為微分環(huán)節(jié)。 圖2.20所示為無(wú)源微分 網(wǎng)絡(luò)。設(shè)電壓 為輸入量， 電阻 兩端電壓 為輸 出量?，F(xiàn)研究輸入電壓 和輸出電壓 之間的關(guān) 系。電路中的電流 為中 間變量。 根據(jù)電壓方程，可寫(xiě)

26、出,（2.63）,圖2.20 無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò),C電容 R電阻,將式（2.63）進(jìn)行拉氏變換，消去 ，整理后得 式中 時(shí)間常數(shù)， 。 顯然，它也是一個(gè)慣性微分環(huán)節(jié)。但當(dāng) ， 即C很小時(shí)，可得 。故工程技術(shù)中經(jīng)常將CR 串聯(lián)電路作微分器用。 此外，還有一種微分環(huán)節(jié)，稱為一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函 數(shù)為 式中 時(shí)間常數(shù)。 微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變 化趨勢(shì)，所以也等于給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因而， 微分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。,（2.64）,(4) 積分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量對(duì)積分時(shí)間成正比的環(huán)節(jié)。 即 其傳遞函數(shù)為 式中 積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) 積分環(huán)節(jié)的一個(gè)顯著特

27、點(diǎn)是輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積 累過(guò)程。輸入量作用一段時(shí)間后，即使輸入量變?yōu)榱悖敵隽咳?將保持在已達(dá)到的數(shù)值，故有記憶功能；另一個(gè)特點(diǎn)是有明顯的 滯后作用，從圖2.21可以看出，輸入量為常值 A 時(shí)，由于 是一斜線，輸出量需經(jīng)過(guò)時(shí)間 的滯后，才能達(dá)到輸 入量 在 時(shí)的數(shù)值。因此，積分環(huán)節(jié)常被用來(lái)改善控,（2.65）,（2.66）,制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性 能。 圖2.22a所示 為電樞控制式小 功率電動(dòng)機(jī)。略 去電樞繞組中的 電阻 和電感 的影響，在 無(wú)負(fù)載條件下， 近似有 式中 電動(dòng)機(jī)軸轉(zhuǎn)角； 電動(dòng)機(jī)增益； 作用在電樞兩端的電壓。,圖2.21 積分環(huán)節(jié)的性質(zhì),上式說(shuō)明，若輸一電壓 ，則電動(dòng)機(jī)軸將以

28、角速度 一 直轉(zhuǎn)動(dòng)下去?，F(xiàn)以電動(dòng)機(jī)軸轉(zhuǎn)角 為輸出，則有 其傳遞函數(shù)為 對(duì)于圖2.22b所示液壓缸， 為活塞面積，以流量 為輸 入，活塞位移 為輸出，則有 其傳遞函數(shù)為 式（2.67）和式（2.69）表明，圖2.22所示元件都可看作積分環(huán)節(jié)。,（2.67）,（2.68）,（2.69）,（2.70）,a) 電樞控制小功率電動(dòng)機(jī),b) 液壓缸,圖2.22 積分環(huán)節(jié)舉例,(5) 振蕩環(huán)節(jié) 含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)。 這種環(huán)節(jié)的微分方程式為 其傳遞函數(shù)為 式中 振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； 阻尼比； 比例系數(shù)。 振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為,（2.71

29、）,（2.72）,（2.73）,式中 無(wú)阻尼固有頻率。 2.1中討論過(guò)的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)（見(jiàn)圖2.1），其運(yùn)動(dòng)微分方程為 故得傳遞函數(shù)為 式中 當(dāng) 時(shí)，它是一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)。 在2.1中，圖2.3和圖2.4所示系統(tǒng)，都可看作為振蕩環(huán)節(jié)。但 必須指出，當(dāng) 時(shí)，二階特征方程才有共軛復(fù)根。這時(shí) 二階系統(tǒng)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)。當(dāng) 時(shí)，二階系統(tǒng)有兩個(gè)實(shí)數(shù) 根，而為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。,(6) 二階微分環(huán)節(jié) 輸出量不僅取決于輸入量本身，而且還決定于輸入量的一階 和二階導(dǎo)數(shù)。 這種環(huán)節(jié)的微分方程式為 式中 比例系數(shù)； 二階微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； 阻尼比。 其傳遞函數(shù)為 同樣必須指出，只有當(dāng)式（2.75）中 ， 具有一

30、對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，才能稱為二階微分環(huán)節(jié)。如果上式具有二 個(gè)實(shí)根，則可以認(rèn)為這個(gè)環(huán)節(jié)是由兩個(gè)一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)而成。,（2.74）,（2.75）,(7) 延遲環(huán)節(jié) 輸入量加上以后，輸出量要等待一段時(shí)間 后，才能不失真 地復(fù)現(xiàn)輸入的環(huán)節(jié)。 延遲環(huán)節(jié)不單獨(dú)存在，一般與其它環(huán)節(jié)同時(shí)出現(xiàn)。 延遲環(huán)節(jié)的輸入量 與輸出量 之間有如下關(guān)系： 式中， 為純延遲時(shí)間。 是 的延遲函數(shù)，或稱平 移函數(shù)。 延遲環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，故而其傳遞函數(shù)為 延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別在于：慣性環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始時(shí)刻起就 已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近于所要求的 輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始之初，在0到 的區(qū)間內(nèi)，并無(wú)輸 出，但

31、之后，輸出就完全等于輸入，如圖2.23所示。,（2.76）,（2.77）,延遲環(huán)節(jié)常見(jiàn)于 液壓、氣動(dòng)系統(tǒng)中， 施加輸入后，往往由 于管道長(zhǎng)度而延遲了 信號(hào)傳遞的時(shí)間。圖 2.24是純時(shí)間延遲例 子。圖2.24a所示為 軋制鋼板的厚度控制 裝置，帶鋼在 點(diǎn)軋 出時(shí)，厚度為 ， 但是這一厚度在到達(dá) 點(diǎn)時(shí)才為測(cè)厚儀所檢測(cè)到。測(cè)厚儀檢測(cè) 到的厚度 即為輸出量， 點(diǎn)處厚度 為輸入量。若測(cè)厚儀 距 點(diǎn)的距離為 ，帶鋼速度為 ，則延遲時(shí)間 。 輸出量與輸入量之間有如下關(guān)系,圖2.23 延遲環(huán)節(jié)輸入-輸出關(guān)系,此式表示，在 時(shí)， ，即測(cè)厚儀不反映 的值； 時(shí)，測(cè)厚儀在延時(shí) 后，立即反映 在 時(shí)的值及 其以后的

32、值。因而有 如圖2.24b所示是把兩種不同液體按一定比例進(jìn)行混合的一 種設(shè)備。為了保證能測(cè)到均勻的溶液，監(jiān)測(cè)點(diǎn)應(yīng)離開(kāi)混合點(diǎn)一定 距離。因此，混合點(diǎn)與測(cè)量濃度變化點(diǎn)之間就存在著傳輸延遲， 延遲時(shí)間為 。 如果假定混合點(diǎn)的濃度為 ，而且在時(shí)間 之后，溶 液在監(jiān)測(cè)點(diǎn)時(shí)，濃度沒(méi)有變化，則被測(cè)量 為 因此， 、 之間的傳遞函數(shù)為,以上是線性定常系統(tǒng)中， 按數(shù)學(xué)模型區(qū)分的幾個(gè)最基本 的典型環(huán)節(jié)。在實(shí)際系統(tǒng)中， 極難見(jiàn)到二階微分環(huán)節(jié)，它只 是一種數(shù)學(xué)抽象。 綜上所述，環(huán) 節(jié)是根據(jù)運(yùn)動(dòng)微分 方程劃分的，一個(gè) 環(huán)節(jié)不一定代表一 個(gè)元件，也許是幾 個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng) 特性才組成一個(gè)環(huán) 節(jié)。此外，同一元 件在不同系統(tǒng)

33、中的 作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。,a) 軋制鋼板的厚度測(cè)量,b) 液體混合裝置,圖2.24 延遲環(huán)節(jié)舉例,2.4 系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖,2.4.1 系統(tǒng)方框圖 控制系統(tǒng)一般是由許多元件組成的，為了表明元件在系統(tǒng)中的功能，形象直觀地描述系統(tǒng)中信號(hào)傳遞、變換的過(guò)程，以及便 于進(jìn)行系統(tǒng)分析和研究，經(jīng)常要用到系統(tǒng)方框圖。系統(tǒng)方框圖是 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式，在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用。此 外，采用方框圖更容易求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 1.方框圖的結(jié)構(gòu)要素 圖2.25為一 控制系統(tǒng)的方框 圖。從圖中可以 看出，方框圖是 由一些符號(hào)組成 的，有表示信號(hào) 輸入和輸出的通,圖2.25

34、 方框圖舉例,路及箭頭，有表示信號(hào)進(jìn)行加減的求和點(diǎn)，還有一些表示環(huán)節(jié)的 方框和將信號(hào)引出的引出線。一般認(rèn)為系統(tǒng)方框圖由三種要素組 成：函數(shù)方框、求和點(diǎn)和引出線。 (1) 函數(shù)方框 函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示。如圖2.26所 示，方框兩側(cè)為輸入量和輸出量，方框內(nèi)寫(xiě)入該輸入輸出之間的 傳遞函數(shù)。函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即 應(yīng)當(dāng)指出，輸出信號(hào)的量綱等于輸入信號(hào)的量綱與傳遞函數(shù) 量綱的乘積。 (2) 求和 點(diǎn) 求和點(diǎn)是 信號(hào)之間代 數(shù)加減運(yùn)算 的圖解，用符號(hào) 及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每一個(gè)箭頭前方的 號(hào)或 號(hào)表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。幾個(gè)相鄰的求和點(diǎn)可以,圖2.26 函數(shù)方框,互換、合并、分解，即滿足

35、代數(shù)加減運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分 配律，如圖2.27所示，它們都是等效的 。顯然，只有性質(zhì)和因 次相同的 信號(hào)才能 進(jìn)行比較、 疊加。,圖2.27 求和點(diǎn),注意，求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的，即使繪有 若干個(gè)輸出信號(hào)線，其實(shí)這些輸出信號(hào)的性質(zhì)和大小均相同，如 圖中虛線所示輸出信號(hào)仍是 信號(hào)。 (3) 信號(hào)引出線 同一個(gè)信號(hào)需要輸送到不同地方去時(shí)，可用 引出線表示，它表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向，如圖 2.28所示。從同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一 樣。 任何線性系統(tǒng)都可以由函數(shù)方框、求和點(diǎn)和引出線組成的方 框圖來(lái)表示。,圖2.28 引出線,2. 系統(tǒng)方框圖的建立 建立

36、系統(tǒng)方框圖的步驟 （1）建立系統(tǒng)各元部件的微分方程。列寫(xiě)方程時(shí)，應(yīng)特別注 意明確信號(hào)的因果關(guān)系，即分清元件方程的自變量(輸入量)、因 變量(輸出量)。 （2）對(duì)各元部件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并繪出相應(yīng)的方 框圖，為便于繪制，一般規(guī)定原因(輸入)項(xiàng)寫(xiě)在方程等式右側(cè)， 結(jié)果(輸出)項(xiàng)寫(xiě)在等式左側(cè)。 （3）按照信號(hào)在系統(tǒng)中傳遞、變換的過(guò)程，依次將各元部件 的方框圖連接起來(lái)(同一變量的信號(hào)通路連接在一起)，系統(tǒng)輸入 量置于左端，輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的方框圖。 下面舉例說(shuō)明系統(tǒng)方框圖的繪制。 圖2.29所示為無(wú)源 電路網(wǎng)絡(luò) 。設(shè)輸入端電壓 、輸 出端電壓 分別為系統(tǒng)的輸入量、輸出量。 從電容 充

37、電過(guò)程可知，輸入端施加電壓 后，在電阻,上將有壓降，從 而產(chǎn)生電流 ， 因此對(duì)電阻 而 言， 是因， 是果。 流經(jīng)電容 后，電容兩端才 有電壓 ，即 對(duì)于電容 來(lái)說(shuō)， 是因， 是果。由于 的存在，將使電阻上的壓降減 小，從而使 減小，當(dāng) 等于 時(shí)， 等于零，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。 根據(jù)上述討論，依據(jù)基爾霍夫定律，系統(tǒng)的因果方程組為,圖2.29 電網(wǎng)絡(luò),在零初始條件下，對(duì)上兩式進(jìn)行拉氏變換，得 為清楚起見(jiàn)，還可表示 成 根據(jù)上兩式，按其正確 的因果關(guān)系，繪得相應(yīng) 的方框單元，如圖2.30所示。 最后將各方框單元按信號(hào)傳遞關(guān)系正確連接起來(lái)，可得圖2.31所 示的系統(tǒng)方框圖。,圖2.30 電網(wǎng)絡(luò)方框單元,圖

38、2.32所示 為一機(jī)械系統(tǒng)。 設(shè)作用力 、 位移 分別 為系統(tǒng)的輸入量、 輸出量。 外力 的作用 使 產(chǎn)生速度并有位移 ， 的速度和位移分別使阻尼 器和彈簧產(chǎn)生粘性阻尼力 和彈性力 。 、 一方面作用于質(zhì)量塊 ，使 之產(chǎn)生速度并有位移 ； 另一方面，依牛頓第三定律， 有反饋?zhàn)饔糜?，從而影響,圖2.31 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖,圖2.32 機(jī)械系統(tǒng),到力 的作用效果。 位移 的結(jié)果是使彈簧 產(chǎn)生彈 性力 ，它反作用于 上。 根據(jù)以上分析，按牛頓定律， 系統(tǒng)方程組為 上面的方程中，等式右邊包含了 原因項(xiàng)，等式左側(cè)包含著結(jié)果項(xiàng) (各元件的輸出)。,圖2.33機(jī)械系統(tǒng)方框單元,對(duì)系統(tǒng)方程組進(jìn)行拉氏變換，得

39、 各方程對(duì)應(yīng)的方框單元如圖2.33所示。然后將各單元方框圖 按信號(hào)傳遞順序及關(guān)系連接起來(lái)，如圖2.34所示，即得到該系統(tǒng) 的方框圖。 圖2.35所示為電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī)。在此系統(tǒng)中， 、 分別為電樞繞組的電阻和電感； 為電樞電流； 為磁場(chǎng)勵(lì)磁電 流； 為加到電樞上的電壓，而 為電樞中的反電動(dòng)勢(shì)； 為,圖2.34 機(jī)械系統(tǒng)方框圖,圖2.35 電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī),電動(dòng)機(jī)軸的角位移； 為電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，而 為負(fù)載轉(zhuǎn) 矩； 、 則分別為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折算到電動(dòng)機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量和粘性阻尼系數(shù)。 通常，伺服電動(dòng)機(jī)在磁化曲線的線性范圍內(nèi)使用，因而氣隙 磁通 比例于勵(lì)磁電流，即 式中 常數(shù)。 由

40、電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩 比例于電樞電流和氣隙磁通的乘 積，即 式中 常數(shù)。 在電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)中，勵(lì)磁電流為常數(shù)，故上式可寫(xiě) 成 式中 電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)。 由控制輸入電壓 開(kāi)始，系統(tǒng)的因果方程為,電樞電壓方程 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩 轉(zhuǎn)矩平衡方程 電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)正比于速度 式中 反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)。 顯然， 為全部起因， 為 的直接結(jié)果， 使電動(dòng)機(jī) 產(chǎn)生了轉(zhuǎn)矩 ，而 引起角位移 (或角速度 )，角速度 又產(chǎn)生了反電動(dòng)勢(shì) 。 假設(shè)零初始條件，系統(tǒng)因果方程的拉氏變換為,由此，可繪得直流伺服電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的方框圖如圖2.36所示。 當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩 時(shí)，由上式消去中間變量，可得到該 伺服電動(dòng)機(jī)以 為輸入量、 為輸出量的傳遞函數(shù)

41、。即 最后必須指出，同一系統(tǒng)的方框圖不是唯一的，當(dāng)選擇的輸入 量、輸出量不同時(shí)，方框圖可以變換。,圖2.36 直流伺服電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)方框圖,2.4.2 系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化,為了分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，需要對(duì)系統(tǒng)的方框圖進(jìn)行運(yùn)算和 變換，求出總的傳遞函數(shù)。這種運(yùn)算和變換，就是設(shè)法將方框圖 化為一個(gè)等效的方框，而方框中的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為系統(tǒng)的總傳遞 函數(shù)。方框圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對(duì)方框圖 的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后輸入輸出之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系 應(yīng)保持不變。顯然，變換的實(shí)質(zhì)相當(dāng)于對(duì)所描述系統(tǒng)的方程組進(jìn)行消元，求出系統(tǒng)輸入與輸出的總關(guān)系式。 1.方框圖的運(yùn)算法則 從前述的一些示例中可以看出，方

42、框圖的基本組成形式可分 為三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接 。 (1) 串聯(lián)連接 方框與方框首尾相連，前一方框的輸出就是后 一方框的輸入，如圖2.37a所示，前后方框之間無(wú)負(fù)載效應(yīng)。 方框串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)，等于每個(gè)方框單元傳遞函數(shù)的乘 積，見(jiàn)圖2.37b。,(2) 并聯(lián)連接 多個(gè)方框具有同 一個(gè)輸入，而以 各方框單元輸出 的代數(shù)和作為總 輸出，如圖2.38a 所示。,圖2.37 方框圖串聯(lián)連接,圖2.38 方框圖并聯(lián)連接,方框并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)，等于所有并聯(lián)方框單元傳遞函數(shù) 之和，見(jiàn)圖2.38b。 (3) 反饋連接 一個(gè)方框的輸出，輸入到另一個(gè)方框，得到的 輸出再返回作用于前一個(gè)方框的輸入端，這種

43、結(jié)構(gòu)稱為反饋連 接，如圖2.39a所示。 由圖2.39a，按 信號(hào)傳遞的關(guān)系， 可寫(xiě)出 消去 、 ， 得,圖2.39 方框圖反饋連接,因此，得閉環(huán)傳遞函數(shù) 式中，分母上的加號(hào)對(duì)應(yīng)于負(fù)反饋；減號(hào)對(duì)應(yīng)于正反饋。 即方框反饋連接后，其閉環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函 數(shù)除以1加(或減)前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積，見(jiàn)圖 2.39b。 任何復(fù)雜系統(tǒng)的方框圖，都不外乎是由串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三 種基本連接方式交織組成的，但要實(shí)現(xiàn)上述三種運(yùn)算，則必須將 復(fù)雜的交織狀況變換為可運(yùn)算的狀態(tài)，這就要進(jìn)行方框圖的等效變換。,2.方框圖的等效變換法則 方框圖變換就是將求和點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置，在等效原則上作 適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)

44、，消除方框之間的交叉連接，然后一步步運(yùn)算，求出 系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。 (1) 求和點(diǎn)的移動(dòng) 圖2.40表示了求和 點(diǎn)后移的等效結(jié)構(gòu)。將 方框前的求和后 移到 的輸出端， 而且仍要保持信號(hào)A、 B、C的關(guān)系不變，則 在被移動(dòng)的通路上必須 串入 方框，如圖 2.40b所示。,圖2.40 求和點(diǎn)后移,則移動(dòng)前圖中信號(hào)關(guān)系為 移動(dòng)后，信號(hào)關(guān)系為 因?yàn)?，所以它們是等效的。 圖2.41表示了求和 點(diǎn)前移的等效結(jié)構(gòu)。 移動(dòng)前，有 移動(dòng)后，有 兩者是完全等效的。,圖2.41 求和點(diǎn)前移,(2) 引出點(diǎn)的移動(dòng) 圖2.42給出了引出點(diǎn)前移的等效結(jié)構(gòu)。將 方框輸出端的 引出點(diǎn)移動(dòng)到 的輸入端，仍要保持總的信號(hào)不變；

45、則在被 移動(dòng)的通路上應(yīng)該串入 的方框，如圖2.42b所示。 移動(dòng)前，引出 點(diǎn)引出的信號(hào)為 移動(dòng)后，引出 點(diǎn)引出的信號(hào)仍要 保證為 ，即 圖2.43給出了 引出點(diǎn)后移的等效 變換。顯然，移動(dòng) 后的輸出 仍為,圖2.42 引出點(diǎn)前移,為了便于計(jì)算，建議讀者盡可能采用求和點(diǎn)后移和引出點(diǎn)前 移的等效變換法則。,圖2.43 引出點(diǎn)后移,3.由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 以圖2.44a所示多回路系統(tǒng)為例，具體說(shuō)明如何運(yùn)用等效變 換法則，逐步將一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)方框，最后求得 其傳遞函數(shù)。簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是移動(dòng)求和點(diǎn)和引出點(diǎn)，消去交叉回 路，變換成可以運(yùn)算的反饋連接回路。 步驟是：首先將引出點(diǎn) 前移到 輸入端

46、，消去交叉 回路，得圖2.44b。然后，由里向外逐個(gè)消去內(nèi)反饋回路，得圖 2.44c、d。最后得圖2.44e所示的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，即 必須說(shuō)明，方框圖簡(jiǎn)化的途徑不是唯一的，但總有一條路徑 是最簡(jiǎn)單的。,圖2.44系統(tǒng)方框圖簡(jiǎn)化過(guò)程,2.4.3 系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅森公式,對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的簡(jiǎn)化過(guò)程是冗長(zhǎng)的。梅森 (S.J.Mason)提出了一種信號(hào)流圖 法，可以不需要經(jīng)過(guò)任何簡(jiǎn) 化，直接確定系統(tǒng)輸入和輸出變量間的聯(lián)系，再利用梅森公式求 出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 1.信號(hào)流圖及其術(shù)語(yǔ) 與圖2.45所示系統(tǒng)方框圖 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)信號(hào)流圖如圖2.46 所示。由圖可以看出，信號(hào)流 圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段 將

47、一些節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)組成的。 下面說(shuō)明這些線段和節(jié)點(diǎn)的含義。 (1)節(jié)點(diǎn) 表示變量或信號(hào)，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào) 之和。例如： 、 和 是圖2.46中的節(jié)點(diǎn)。,圖2.45 系統(tǒng)方框圖,(2)輸入節(jié)點(diǎn) 它是只 有輸出的節(jié)點(diǎn)，也稱源點(diǎn)。 例如，圖2.46中 是 一個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)。 (3)輸出節(jié)點(diǎn) 它是只 有輸入的節(jié)點(diǎn)，也稱匯點(diǎn)。 然而這個(gè)條件并不總是能 滿足的。為了滿足定義的 要求可引進(jìn)增益為1的線 段。例如，圖2.46中右端點(diǎn) 為輸出節(jié)點(diǎn)。 (4)混和節(jié)點(diǎn) 它是既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。例如，圖2.46 中 是一個(gè)混和節(jié)點(diǎn)。 (5)支路 定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號(hào)的流向， 各支路上還標(biāo)明了

48、增益，即支路的傳遞函數(shù)。例如，圖2.46中從 節(jié)點(diǎn) 到 為一支路，其中 為該支路的增益。,圖2.46 與圖2.45對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖,(6)通路 沿支路箭頭方向穿過(guò)各相連支路的路徑稱為通路。 (7)前向通道 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn) 不多于一次的通路稱為前向通道。例如，圖2.46中的 是前向通道。 (8)回路 始端與終端重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通 道稱為回路。例如，圖2.46中 是一條回路。 (9)不接觸回路 沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路稱為不接觸回路。 2.信號(hào)流圖的繪制 繪制系統(tǒng)的信號(hào)流圖，首先必須將描述系統(tǒng)的線性微分方程 變換成以 為變量的代數(shù)方程；其次，線性代數(shù)方程組中每

49、一 個(gè)方程都要寫(xiě)成因果關(guān)系式。且在書(shū)寫(xiě)時(shí)，將作為“因”的一些變 量寫(xiě)在等式右端，而把“果”的變量寫(xiě)在等式左端。 下面以圖2.47所示的二級(jí) 電路網(wǎng)絡(luò)為例說(shuō)明信號(hào)流圖的 繪制步驟。,對(duì)于由兩個(gè)環(huán)節(jié)（這里是兩個(gè) 電路）串聯(lián)而成的系統(tǒng)， 由于后一環(huán)節(jié)的存在，影響前一環(huán)節(jié)的輸出，因此兩相鄰環(huán)節(jié)間 存在著負(fù)載效應(yīng)。這時(shí)必須將它們視為一個(gè)整體來(lái)考慮。所以， 根據(jù)基爾霍夫定律，可寫(xiě)出下列原始方程 將以上各式作拉氏 變換，得方程組,圖2.47 二級(jí) 電路網(wǎng)絡(luò),取 、 、 、 、 為信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)， 其中把 作為輸入節(jié)點(diǎn)， 作為輸出節(jié)點(diǎn)。接著，確 定各節(jié)點(diǎn)的位置，如圖2.48a所示。 然后，按方程組中方程式的順

50、序逐個(gè)繪制其信號(hào)流向，分別 示于圖2.48 b、c、d 和 e 中。將這些圖綜合起來(lái)，就形成了完 整的系統(tǒng)信號(hào)流圖，如圖2.48f所示。,、,圖2.48 二級(jí) 電路網(wǎng)絡(luò) 信號(hào)流圖 的繪制步 驟,3.梅森公式 對(duì)于一個(gè)確定的信號(hào)流圖或方框圖，應(yīng)用梅森公式可以直 接求得輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。梅森公式可表示為 式中 系統(tǒng)總傳遞函數(shù)； 第 條前向通路的傳遞函數(shù)； 流圖的特征式 式中 所有不同回路的傳遞函數(shù)之和； 每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和； 每三個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和；,（2.78）,第 條前向通路特征式的余因子 ，即對(duì)于流 圖的特征式 ，將與第 條前向通路相接觸的回 路傳

51、遞函數(shù)代以零值，余下的 即為 。 下面通過(guò)求圖2.48f所示二級(jí) 電路網(wǎng)絡(luò)信號(hào)流圖的傳遞 函數(shù)來(lái)說(shuō)明梅森公式的用法。 這個(gè)系統(tǒng)中，輸入變量 與輸出變量 之間只有一 條前向通道，其傳遞函數(shù)為 信號(hào)流圖里有三個(gè)不同回路，它們的傳遞函數(shù)分別為,回路 不接觸回路 （回路 接觸回路 ，并且回路 接觸 回路 ），因此，流圖特征式為 從 中將與通道 接觸的回路傳遞函數(shù) 、 和 都代 以零值，即可獲得余因子 。因此，得到 所以 將式（2.79）和式（2.80）代入式（2.78）便可得到二級(jí) 電 路網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，即,（2.79）,（2.80）,2.4.4 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)在工作過(guò)程中會(huì)受到兩類

52、信號(hào)的作用，統(tǒng)稱外作 用。一類是有用信號(hào)，或稱輸入信號(hào)、給定值、指令以及參考輸 入等，依系統(tǒng)的輸入信號(hào)形式而有不同的稱呼。另一類則是擾 動(dòng)，或稱干擾。輸入 通常是加在系統(tǒng)控制裝置的輸入端， 也就是系統(tǒng)的輸入端。而干擾 一般是作用在受控對(duì)象上， 但也可能出現(xiàn)在其它元部件上，甚至夾雜在指令之中。一個(gè)考慮 擾動(dòng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖2.49所示方框圖表示。圖 中 到 的信號(hào)傳遞通路稱為前向通道，而 到 的通路稱為反饋通道。 研究系統(tǒng)輸出量 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只考慮輸入量 的 作用是不完全的，往往還需要考慮干擾 的影響。 1.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 在圖2.49中，將 的輸出通道斷開(kāi)，亦即將系統(tǒng)的主反 饋通 道斷開(kāi)，這時(shí)前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘,積 ，稱為該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為偏差信號(hào) 和反饋信號(hào) 之間的傳 遞函數(shù)，即 式中 閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 必須強(qiáng)調(diào)指出，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要 概念，它