1、等比數(shù)列,2020年7月24日星期五,全力以赴的最大障礙是自以為全力以赴!,美國(guó)普林斯頓大學(xué),武漢大學(xué),2012年大學(xué)中國(guó)排名第8名,2012年大學(xué)世界排名第8名,如果一碗面由256根面條組成,請(qǐng)問(wèn)需要拉面師傅拉幾次才能得到?,拉面時(shí)前9次拉伸成的面條根數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,曰：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”,莊子,意思：“一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完” 。,如果將“一尺之棰”視為一份， 則每日剩下的部分依次為：,9，92，93，94，95，96， 97,堤 、木， 巢、 鳥(niǎo)、 雛、 毛、 色依次構(gòu)成數(shù)列：,出門(mén)見(jiàn)九

2、堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鳥(niǎo)，每鳥(niǎo)有九雛，每雛有九毛，每毛 有九色，問(wèn)共有幾堤，幾木，幾巢，幾鳥(niǎo)，幾 雛，幾毛，幾色？,孫子算經(jīng)有下面的問(wèn)題：,某富豪購(gòu)買(mǎi)了一輛賓利雅致汽車(chē)，購(gòu)買(mǎi)時(shí)的價(jià)格是1000萬(wàn)元，每年的折舊率是10%,問(wèn)這輛車(chē)各年開(kāi)始時(shí)的價(jià)格分別是多少? （單位：萬(wàn)元）,1000，10000.9，10000.92 , 10000.93, 10000.93,各年汽車(chē)的價(jià)格組成數(shù)列：,賓利雅致,銀行利息復(fù)利計(jì)算,（1）1，2，4，8，16，32, 64, 128, 256,探究:觀(guān)察歸納：,（2）,（4） 1000，10000.9，10000.92,10000.93, 10000

3、.93,共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)。,定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) 的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.,常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用 q 表示.,（3） 9，92，93，94，95，96， 97,請(qǐng)同學(xué)們思考，這四個(gè)數(shù)列有何共同特點(diǎn)?,定義符號(hào)表示是：,或,等比數(shù)列的定義的理解,是等比數(shù)列,.,如寫(xiě)成行不行？,為什么不能？,(1) 1，3，9，27，,(3) 5， 5， 5， 5，,(4) 1，-1，1，-1，,(2),(5) 1，0，1，0，,練 習(xí),判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪些不是？如果是，寫(xiě)出首項(xiàng)a1和公

4、比q, 如果不是，說(shuō)明理由。,是,是,是,是,a1=1, q=3,a1=5, q=1,a1=1, q= -1,不是,(6) 0，0，0，0，,(7) 1, a, a2, a3 , ,(8) x0, x, x2, x3 , ,(9) 1，2，6，18，,不是,不是,小結(jié)：主要是由定義進(jìn)行判斷：,a1=x0, q=x,是,不是,看 是不是同一個(gè)常數(shù)？,注意：,(2)公比q一定是由后項(xiàng)比前項(xiàng)所得，而不 能用前項(xiàng)比后項(xiàng)來(lái)求，且q0；,(1) 等比數(shù)列an中, an0；,(3)若q1，則該數(shù)列為常數(shù)列,(4)常數(shù)列 a, a , a , a , ,時(shí),既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;,時(shí),只是等差數(shù)列，而不

5、是等比數(shù)列.,思考：,如果在a與b的中間插入一個(gè)數(shù)G，使a, G, b成等比數(shù)列，那么G應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？,反之，若,即a,G,b成等比數(shù)列.,a, G, b成等比數(shù)列,則,分析：,由a, G, b成等比數(shù)列得：,(ab0),如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a, G，b成等比數(shù)列，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)G為a與 b的等比中項(xiàng).,3.等比中項(xiàng)：,即：,注意：若a，b異號(hào)則無(wú)等比中項(xiàng), 若a，b同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng).,練習(xí)：,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：累乘法,注： a1為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，q為公比,以a1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：,4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：,5.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：,7.等比數(shù)

6、列通項(xiàng)公式的應(yīng)用：知三求一,6.等比數(shù)列的公比公式：,例、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).,解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是 ,公比是q ，那么,解得， ，,因此,答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是 與 8.,例2已知數(shù)列an滿(mǎn)足Sn4an2， 求an的通項(xiàng)公式.,課堂小結(jié),從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),公差(d ),d 可正、可負(fù)、可零,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),公比(q ),q可正、可負(fù)、不可零,作業(yè),P53習(xí)題2.4A組1,6,7,例、有三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積 等于64，和等于14，求此三個(gè)數(shù)？,注意：等比數(shù)列

7、中若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為,練習(xí)：已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的立方和為81，求這三個(gè)數(shù)。,例、有四個(gè)數(shù)，若其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列， 它們的積等于216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們 的和等于12，求此四個(gè)數(shù)？,注意：等比數(shù)列中若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為,因?yàn)檫@種設(shè)法表示公比大于零！,變式、在160與5中間插入4個(gè)數(shù)，使它們同這兩 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%.這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精確到1年)？,放射性物質(zhì)衰變到原來(lái)的一半所需時(shí)間稱(chēng)為這種物質(zhì)的半衰期,1.等差數(shù)列：銀行利息按單利計(jì)算（利息沒(méi)有利息） 本利和=本金（

8、1+利率存期）,例如：存入10000元，利率為0.72%,特點(diǎn)：每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),2.等比數(shù)列：銀行利息按復(fù)利計(jì)算（利滾利） 本金和=本金（1+利率）存期,例如：存入10000元，利率為1.98%,特點(diǎn)：后一頂與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù),若數(shù)列an的首項(xiàng)是a1=1,公比q=2,則用通項(xiàng)公式表示是：,an=2 n1,上式還可以寫(xiě)成,可見(jiàn)，表示這個(gè)等比數(shù)列 的各點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上，如右圖所示。,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,(1)若a10,q1或a10,0q1,則數(shù)列an是遞增數(shù)列.,(2)若a10,01,則數(shù)列an是遞減數(shù)列.,(3)若q=1,則數(shù)列

9、an是常數(shù)列.,(4)若q0,則數(shù)列an是擺動(dòng)數(shù)列且各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)間隔.,等比數(shù)列與數(shù)列分類(lèi)的關(guān)系,思考：,等比數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，公比q應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？,練習(xí)：,作業(yè),P53習(xí)題2.4A組2,4，8,練習(xí)：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)。,15,9,3,1或0,4,8,16,結(jié)論：如果是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列,證明：設(shè)數(shù)列 的公比為p， 的公比為q，那么數(shù)列 的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為 與 ，即 與 因?yàn)?它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列,特別地，如果是 等比數(shù)列

10、，c是不等于的常數(shù)，那么數(shù)列 也是等比數(shù)列,探究,對(duì)于例中的等比數(shù)列與，數(shù) 列也一定是等比數(shù)列嗎？,是,1、若anbn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，,都是等比數(shù)列,則anbn和,2、若an是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)， 那么can也是等比數(shù)列,等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì) : 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且,那么：,等比數(shù)列的性質(zhì)4,判斷對(duì)錯(cuò)：,1.在等比數(shù)列an中， （1）若a7a12=5，則a8a9a10a11=_ （2）已知an是等比數(shù)列，an0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20,（4）已知等比數(shù)列an中，a3a5a784，a3a5a74