1、3.1.4空間向量的正交 分解及其坐標表示,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐標表示,復習：,在空間中，能得出類似的結(jié)論:,任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。,一、空間向量基本定理：,如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。,注：對于基底a,b,c,除了應知道a,b,c不共面， 還應明確：,（2） 由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是 。,（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是

2、相關連的不同概念。,由此可知，如果 是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量 ，存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量。,這種分解我們把它叫做空間向量的正交分解.,二、空間直角坐標系下空間向量的直角坐標,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,空間向量的直角坐標：,給定一個空間坐標系和向量 ,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組( x, y, z)叫做p在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z)其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z

3、叫做點A的豎坐標.,已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N，分別是對邊OA，BC的中點，點P，Q是線段MN三等分點，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,空間向量基本定理的考查,例1,例2、 1、在空間坐標系o-xyz中， ( 分別是與x軸、 y軸、 z軸的正方向相同的單位向量)則 的坐標為 。 2、點M（2，-3，-4）在坐標平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正投影的坐標分別為 ，關于原點的對稱點為 ，關于軸的對稱點為 ，,空間直角坐標的考查,空間向量運算的坐標表示, 則,設,一、向量的直角坐標運算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則,空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個 向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.,二、距離與夾角的坐標表示,1.距離公式,（1）向量的長度（模）公式,注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。,在空間直角坐標系中，已知、 ，則,（2）空間兩點間的距離公式,2.兩個向量夾角公式,注意： （1）當 時，同向； （2）當 時，反向； （3）當 時，。,解：設正方體的棱長為1，如圖建 立空間直角坐標系，則,例1如圖, 在正方體中， ，求與所成的角的余弦值.,證明:,設正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標系,小結(jié)： 1、空間向量的坐標運算； 2、利