1、為什么說(shuō)2不是有理數(shù), 2為無(wú)理數(shù)的證明方法探究,探究,公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯有一種觀點(diǎn)，即“萬(wàn)物皆數(shù)”，一切量都可以用真實(shí)或整數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）表示，后來(lái)，當(dāng)這一學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示，即2不是有理數(shù)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到惶恐不安。由此還引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機(jī),下面請(qǐng)打開(kāi)八上P88,無(wú)理數(shù)，即非有理數(shù)之實(shí)數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。,那么，什么是無(wú)理數(shù)呢？,假設(shè)根號(hào)2為有理數(shù),那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p, q, 使得: 2=p/q于是： p= （2）q兩邊平方得：p2=2q2 由2q2

2、是偶數(shù)，可得p2是偶數(shù)。而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)。 因此可設(shè)p=2s,代入上式，得：4s2=2q2, 即，q2=2s2.所以q也是偶數(shù)。這樣，p, q都是偶數(shù)，不互質(zhì)，這與假設(shè)p, q互質(zhì)矛盾。這個(gè)矛盾說(shuō)明，2不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，即2不是有理數(shù)。,畢達(dá)哥拉斯，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。,把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個(gè)新的小正方形DEFG，那么顯然DE=EF=FC（EDF為等腰直角且BEFBCF）。接下來(lái)我們應(yīng)該在BC和DE間輾轉(zhuǎn)相除。BC就等于CD，CD減去一個(gè)DE相當(dāng)于減去一個(gè)FC，就只剩下一段DF了。現(xiàn)在輪到DE和DF之間輾轉(zhuǎn)相除，而它們是一個(gè)新的正方形的邊和對(duì)

3、角線，其比例正好與最初的BC和BD相當(dāng)。于是，這個(gè)操作再次回到原問(wèn)題，并且無(wú)限遞歸下去。,最后的結(jié)論用我們的話說(shuō)就是，不存在一個(gè)數(shù)x使得BC和BD的長(zhǎng)度都是x的整倍數(shù)。于是，BD/BC不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個(gè)x）。,假設(shè)(p/q)2=2，那么p2=2q2。我們將要證明，一個(gè)數(shù)的平方等于另一個(gè)數(shù)的平方的兩倍是根本不可能的。如果對(duì)一個(gè)平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它必然有偶數(shù)個(gè)因子。于是，p2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，q2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，2q2有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子。等號(hào)左邊的數(shù)有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，等號(hào)右邊的數(shù)有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子，大家都知道這是不可能的，因?yàn)橥粋€(gè)數(shù)只有一種分解質(zhì)因數(shù)的方法。,同樣是證明不存在整數(shù)p, q， 使得p2=2q2，這個(gè)證明只需一句話。假如p、q是最小的正整數(shù)使得p2=2q2，看圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為q的小正方形放在一個(gè)邊長(zhǎng)為p的大正方形里，那么圖中深灰色正方形的面積就等于兩個(gè)白色正方形面積之和，于是我們就找到了具有同樣性質(zhì)的更小的整數(shù)p和q。仔細(xì)體會(huì)一下這個(gè)“面積守恒”，如果A+B=C，那么A和B重復(fù)計(jì)算了的必然是C里還沒(méi)有算過(guò)的。,因?yàn)?n/m)2=2,所以n/m不可能是整數(shù)，于是把它寫(xiě)成小數(shù)形式，而有限小數(shù)的